1、l1.1.形状相同的图形形状相同的图形l表象：大小不等，表象：大小不等，形状相同形状相同.l实质：各实质：各对应角对应角相等、各相等、各对应边对应边成比例成比例.l2.2.相似多边形相似多边形l各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做叫做相似多边形相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似多边形对应边的比叫做相相似比似比(相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).l3.3.相似多边形性质：相似多边形性质：l相似多边形的相似多边形的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.l相似多边形周长的比相似多边形周长的比等于相似比等于相似比.l相似多边
2、形面积的比相似多边形面积的比等于相似比的平方等于相似比的平方.一、一、l4.4.相似三角形相似三角形l三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做角形叫做相似三角形相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似三角形对应边的比叫做做相似比相似比(相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).).l5.5.相似三角形性质：相似三角形性质：l相似三角形的相似三角形的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.l相似三角形对应相似三角形对应中线中线的比的比,对应角对应角平分线平分线的的 比，比，对应对应高高的比的比,对应对应周长周长的比都的比都等于相似比等于
3、相似比.l相似三角形面积的比相似三角形面积的比等于相似比的平方等于相似比的平方.l6.6.相似相似三角形与三角形与全等全等三角形的三角形的关系关系：l相似比等于相似比等于1 1的两个三角形全等的两个三角形全等.l7.7.两个极具代表性的两个极具代表性的益智益智“模型模型”：“A A”型和型和“X X”型相似三角形型相似三角形.ABCDEABCDEEDCBAAEDBCl1.1.预备定理预备定理 平行于三角形一边直线截其它两平行于三角形一边直线截其它两边边(或其延长线或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似;二、二、三角形相似的判定方法有哪些三角形相似的判定方法有哪些
4、?l2.2.定理定理 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似.l3.3.定理定理 两边对应成比例两边对应成比例,且夹角相等的两个三且夹角相等的两个三角形相似角形相似;l4.4.定理定理 有两个角对应相等的两个三角形相似有两个角对应相等的两个三角形相似基本图形基本图形ABCDEABCDABCDEEDCBAAEDBC三、三、相似图形的特例相似图形的特例图形的位似图形的位似l1.1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形那么这样的两个图形叫做叫做位似图形位似图形,这个点叫做这
5、个点叫做位似中心位似中心,这时的相似这时的相似比又称为比又称为位似比位似比.l2.2.性质：性质：l位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比离之比等于位似比.DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似图形如何作位似图形(放大放大).l5.5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像.l4.4.如何作位似图形如何作位似图形(缩小缩小).OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFPl1,1,如图如图,添加一个条件添加一个条件,使则使则ABCABCAED,AED,则这则这条件可以是条件可以是 .
6、AEDCB练习练习n2下列说法正确的是（下列说法正确的是（）A 所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似 C所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似 D有一个角相等的两个等腰三角形都相似有一个角相等的两个等腰三角形都相似DCBOAE3：53：53：51：2BADEC5.ABC中，中，DEBC，EFAB，已知，已知ADE和和EFC的面积分别为的面积分别为4和和9，求，求ABC的面积。的面积。FEDCBA6.6.如图，如图，ABCDABCD是面积为是面积为a a2 2的任意四边形，顺次连接各边中的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形点
7、得四边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再顺次连接，再顺次连接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四边形得到四边形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重复同样的方法直到得到四边形，重复同样的方法直到得到四边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，则四，则四边形边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面积为的面积为 。na22练习练习7.在在AB=20米米,AD=30米的矩形米的矩形ABCD的花坛四的花坛四周修筑小路周修筑小路:(1)如果四周的小路的宽均相等如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围那么小路四所围成的矩形和矩
8、形成的矩形和矩形ABCD相似吗相似吗?请说明理由请说明理由(2)如果相对两条小路的宽均相等如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽试问小路的宽x与与y的比值为多少时的比值为多少时,能使小路四周所围成矩能使小路四周所围成矩形和矩形形和矩形ABCD相似相似?请说明理由请说明理由.ABCDxxxxABCDABCDxyyxABCDCBD1FEGH23A10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全全等三角形除外等三角形除外）11+2+32+3 度度 11、RtABC中，中，AC
9、B90，CDAB于于D。（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由。对说明理由。（2）若）若AD1cm,BD4cm,请你求出请你求出CD的长度。的长度。BDAC例例2 如图，已知如图，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE，求证：，求证：2ED DM=AD CD。ECDMAECDMAFG结论成立。由条件得是可得又知，使到，可延长要得出），（还应考虑系数积的形式转化成比例式成立，应把证法一：要证,2,222FCDAMDRtCDFEFDECEDEEFFDEEDDMCDADEDCDADDMED故结论成立。，由题易证得即只需证明性质，得，根据等
10、腰三角形的作证法二：过点DAMDEGDMADDGEDDMADCDEDDGCDCDEGE,2,2 例例3.如图：在如图：在ABC中，中，C=90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的速度移动秒的速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的速度移动。秒的速度移动。如果如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：经过多少秒时经过多少秒时CPQ CBA;AQPCBAQPCB 经过多少秒时以经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与为顶点的三角形恰好与ABC相似？相似？例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学
11、们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出xCDABE的两个根，求的两个根，求DE的长和的长和 的值。的值。例例5 如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=10AC=10，BC=24BC=24，点，点D D在在ACAC上运动上运动（不运动至点（不运动至点A A），过点），过点D D作作DE ABDE AB，设，设AD=xAD=x，AE=
12、yAE=y。（。（1 1）求）求y y关于关于x x的函数关系式和自变量的取值范围；（的函数关系式和自变量的取值范围；（2 2）若点）若点D D运动到运动到ACAC上有某个位置时，上有某个位置时，ADAD、AEAE的长恰好是一元二次方程的长恰好是一元二次方程062atta(1)由题意知，易得由题意知，易得 ABC ADE,ADE,得得y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。100135xxy,24260,243622DExyDEyx的两个根，的长恰好是方程06,2attAEAD965,4aDE242610DExyADEABC)2(现有一块三角形余料现有一块三角形余料ABC，它的一边，它的一
13、边BC=12cm，高线高线AD=8cm.E为为AB上一动点上一动点(E不与不与A、B重合重合)，且，且EFBC交交AC于点于点F，以，以EF为边向下做一个正方形为边向下做一个正方形EFGH，设正方形，设正方形EFGH与三角形与三角形ABC的重合部分面积的重合部分面积为为y,EF=x.求求(1)当当HG落在落在BC上时上时,求求x PNMGHFDABCE 议一议(2)当当HG不落在不落在BC边上时边上时,求求y关于关于x的关系式的关系式 有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，如图（如图（1）所示，已知）所示，已知A=90，AB=8cm，BC=10cm，用
14、这批不锈钢片裁出面积最大的正方，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉得哪种方案更好，为什么？得哪种方案更好，为什么？ABCGHFABCEHGABCE如图（如图（1）甲甲乙乙 变 一 变MN，、9221ABPSBxPBPCAyxxy为为垂垂足足轴轴内内一一点点是是该该直直线线上上在在第第一一象象限限轴轴于于点点分分别别交交如如图图，直直线线拓拓展展ACPBOxy；的坐标的坐标求点求点P132632，PABABAO2004，CA 42421AOCS9ABPSABPAOC，942ABPAOCSSABAOACPBOxy
15、ACPBOxyRT，点的坐标点的坐标试求试求相似时相似时与与当当为垂足为垂足轴轴作作的右侧的右侧在直线在直线且点且点象上象上在同一个反比例函数图在同一个反比例函数图与点与点设点设点RAOCBTRTxRTPBRPR22323，Ryx xyP6322，得得由由反反比比例例函函数数()yxR，设设时时当当AOCBRTyxRTBTOCAO22421131132113113，Ryx时时当当CAOBRT224xyBTRTOCAO 例例2 在方格纸中，每个小格的顶点称为在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的点三角形，如图所示
16、的55的方格纸中，的方格纸中，如果想作格点如果想作格点ABC与与OAB相似相似(相似比相似比不能为不能为1)，则，则C点坐标为点坐标为_OxAByOxABy125C1(5，2)55252C2(4，4)例例3、在直径为、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为使三角形的一边为AB，顶点，顶点C在半圆周上，现要在半圆周上，现要建造一个内接于三角形建造一个内接于三角形ABC的矩形水池的矩形水池DEFN，其，其中中DE在在AB上，如图设计方案是使上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求求(1)三角形三角形AB边上的高线边上的高线CH。(2)设设DN=x
17、,NF=y,求求y关于关于x的函数解析式。的函数解析式。(3)当当x为何值时，水池为何值时，水池DEFN的面积最大，的面积最大，最大为多少？最大为多少？EFNADBCHG练习练习（2003，潍坊）在，潍坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（1）如图）如图1，四边形，四边形DEFG为为ABC的内接正方形，求正方形的内接正方形，求正方形的边长。的边长。CEDBAFG练习练习（2003，潍坊）在，潍坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（2）如图）如图2，三角形内有并排的，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与矩形内接
18、与ABC，求正方形的，求正方形的边长边长（1）如图）如图1，四边形，四边形DEFG为为ABC的内接正方形，求正方形的内接正方形，求正方形的边长。的边长。CEDBAFGCEDBAFGKH练习练习（2003，潍坊）在，潍坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（3）如图）如图3，三角形内有并排的，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于矩形内接于ABC，求正方形的，求正方形的边长。边长。（2）如图）如图2，三角形内有并排的，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与矩形内接与ABC，求正方形的，求正方
19、形的边长边长（1）如图）如图1，四边形，四边形DEFG为为ABC的内接正方形，求正方形的内接正方形，求正方形的边长。的边长。CEDBAFGCEDBAFGKHCBA练习练习（2003，潍坊）在，潍坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（4）如图）如图4，三角形内有并排的，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节个正方形，它们组成的矩形内节于于ABC，请写出正方形的边长。，请写出正方形的边长。CEDBAFGCEDBAFGKHCBACBA正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；MCNRtABMRt:1 求证ABCDMN（3）当点M运动到什么位置时Rt ABM Rt AMN求x的值ABCDMN练习练习ECACAECBEBEEACDABABAACABABC:)2(36:)1(,36,.3求证求证连接于交于的垂直平分线交线段中在如图ABCED
