1、整式乘法因式分解)(cbamma mb mc 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解因式分解，也，也叫叫分解因式分解因式。（一）因式分解的定义：（一）因式分解的定义：基本概念基本概念即：即：一个多项式一个多项式 几个整式的积几个整式的积练习题：练习题：一个多项式分解因式的结果为（一个多项式分解因式的结果为（x+3)(x+4),则这个多项式为（则这个多项式为（）x2 7 x 12（二）因式分解的方法：（二）因式分解的方法：（1）、提取公因式法提取公因式法（2）、运用公式法运用公式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个如果多项式的各项有公因式，可以把
2、这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。练习题：练习题：分解因式分解因式 2.p2.p（y yx x）q q（y yx x）（1）、提取公因式法：）、提取公因式法：解：解：p（yx）q（yx）=（yx）（）（p q）即：即：ma+mb+mc=m（a+b+c）1.X2 9=_(x+3)(x-3)1.公因式确定公因式确定（1）系数：）系数：取各系数的取各系数的最大公约数；最大公约数；（2）字母：）字母：取各项相同的字母取各项相同的字母；（3）相同字母的指数：）相同字母的指数：取最
3、低指数取最低指数。2.变形规律：变形规律：（1）x-y=-(y-x)(2)-x-y=-(x+y)(3)(x-y)2=(y-x)2 (4)(x-y)3=-(y-x)33.一般步骤一般步骤（1）确定应提取的公因式；）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。）把多项式写成这两个因式的积的形式。练习题：练习题：.分解因式分解因式:ax2y+axy2=axy(x+y)（2）运用公式法：）运用公式法：如果把乘法公式反过来应用，就可以把多如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分
4、解因式目的。这种方项式写成积的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做公式法。法叫做公式法。a2b2（ab）（）（ab）平方差公式平方差公式 练习练习 a2 2ab b2（ab）2 完全平方和公式完全平方和公式 练习练习 a2 2ab b2（ab）2 完全平方差公式完全平方差公式 公式法中主要使用的公式有如下几个：公式法中主要使用的公式有如下几个：用平方差公式分解因式的关键：用平方差公式分解因式的关键：多项式是否多项式是否能看成两个数的平方的差；能看成两个数的平方的差；用完全平方公式分解因式的关键：用完全平方公式分解因式的关键：在于判断在于判断一个多项式是否为一个完全平方式；一个多项式是否为一个完
5、全平方式；平方差公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 练习题：练习题：分解因式分解因式 x x2 2（2y2y）2 2a2b2（ab）（）（ab）平方差公式平方差公式 解：解：x2（2y）2 =（x2y）（）（x2y）练习题：练习题：下列各式能用完全平方公式分解因式的是（下列各式能用完全平方公式分解因式的是（）A、x2x2y2 B、x2 4x4C、x24xyy2 D、y2 4xy4 x2 a2 2ab b2（ab）2 a2 2ab b2（ab）2 D因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤
6、：一提：一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；提取公因式；二套：二套：再看有几项，再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；式；四查：四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。，如能分解，应分解到不能再分解为止。一般步骤一般步骤三变：三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提提”或能或能“套套”。如如(
7、x+y)(x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1-x-y=(x+y)(x+y-1）第二步第第二步第二环节二环节1.分解因式分解因式:m2 n2+2m-2n (北京市北京市)解解:原式原式=(m2-n2)+(2m 2n)=(m+n)(m n)+2(m n)=(m-n)(m+n+2)2.分解因式分解因式:x3 xy2 (沈阳市沈阳市)解解:原式原式=x(x2 y2)=x(x+y)(x y)（x y）3 （x y）解：解：（x y）3 （x y）=（x y）（x y 1）（x y 1）分解因式分解因式:x3 x=_ x(x 2 1)=x(x+1)(x-1)解解:x(x+1)(x-1)分解因式分解因
8、式:(4x2+1)2 16x2 解解:(4x2+1)2 16x2=(4x2+1+4x)(4x2+1-4x)=(2x+1)2(2x-1)2=(4x2+4x+1)(4x2-4x+1).将将 x xy2 分解因式分解因式_ 解解:x xy2=x(1-y2)=x(1+y)(1-y)x(1+y)(1-y)=3(m+n)2-(m-n)2=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)9（m+n)2-(m-n)2=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)(广西广西)简化计算简化计算主要应用主要应用多项式的除法多项式的除法解方程解方程简化计算简化
9、计算(1)56(1)562 2+56+5644 (2)10144 (2)1012 2-99-992 2变式变式若若a=99,b=-1,a=99,b=-1,则则a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=_=_；超级变变变超级变变变解方程：解方程：x x-9x=0-9x=0变式变式解下列方程：解下列方程：(3x-4)-(3x+4)=48多项式的除法多项式的除法(2mp-3mq+4mr)(2p-3q+4r)变式：变式：20052+2005能被能被2006整除吗？整除吗？第三步第三步求证：对于自然数求证：对于自然数n，2n+4-2n能被能被30整除整除.解：解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(
10、16-1)=152n =1522n-1=302n-1.n为自然数时，为自然数时，2n-1为整数，为整数，2n+4-2n能被能被30整除整除.典型例题解析典型例题解析335,6,_x yxyx y xy 若则大大 已知已知a a、b b、c c是一个三角是一个三角形的三边，判断代数式形的三边，判断代数式a a2 2-b-b2 2-c-c2 2 2bc2bc 的正负性。的正负性。（提示：（提示：a a2 2-b-b2 2-c-c2 2 2bc2bc =a=a2 2-（b b2 2+c+c2 2+2bc+2bc ）比比一个矩形的面积为一个矩形的面积为a3-2ab+a,宽为宽为 a,则矩形的长为则矩形
11、的长为_(安徽安徽)解解:矩形的长矩形的长=(a3-2ab+a)a=a2 2b+1a2 2b+1(黄冈黄冈)若若a2-2a+1=0,2a2-4a=_解法一解法一:由由a2-2a+1=0得得(a-1)2=0,a=1 2a2-4a=212-41=-2解法二解法二:由由a2-2a+1=0得得a2-2a=-1,2a2-4a=2(a2-2a)=2(-1)=-2解法三解法三:2a2-4a=2a2-4a+2-2=2(a2-2a+1)-2=20-2=-2-2(广州广州)如果如果 x2+x-1=0,那么代数式那么代数式 x3+2x2-7的值为的值为()x2+x-1=0得得x2=1-x,则则x3+2x2-7=x(
12、1-x)+2(1-x)-7=x-x2+2-2x-7=-x2-x-5=-(x2+x)-5=-(x2+x-1)-6=-6解解:A.6 B.8 C.-6 D.-8C(福州市福州市)(厦门市厦门市)已知已知:a+b=m,ab=-4,化简化简:(a-2)(b-2)的结果是的结果是()A.6;B.2m-8;C.2m,D.-2m D(厦门市厦门市)解解:(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=-4-2m+4=-2m已知已知 2n+2-n=k(n为正整数为正整数),则则4n+4-n=_(用含用含k的代数式示的代数式示).(烟台市烟台市)K2-2 解解:4n+4-n=(2n)2+(2
13、-n)2 =(2n+2-n)2-2n2-n =k2-2 在多项式在多项式4x2+1中添加一个单项式中添加一个单项式,使使其成为一个完全平方式其成为一个完全平方式,则添加的单项则添加的单项式是式是_ (只写一个即可只写一个即可)4x或或-4x已知已知 ab=b-c=3/5,a2+b2+c2=1,ab+bc+ca=_(宁波市宁波市)解解:252由已知得由已知得a+c=2b(1),a=3/5+b,(3/5+b)2+b2+(b-3/5)2=1c=b-3/5,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2cab2=7/75,)()(212222cbacbacabcab19211)3(2122bb
14、252)17559(21若若 ()的值是求1,31242xxxxxA.B.C.D.811012141(潍坊市潍坊市)解解:1242 xxx22111xx112)1(12xxxx1231281A 在日常生活中取款、上网等都需要密码在日常生活中取款、上网等都需要密码,有一种用有一种用“因式分解因式分解”法产生的密码法产生的密码,方便方便记忆记忆.原理是原理是:如对于多项式如对于多项式 x4 x4,因式分因式分解的结果是解的结果是(x y)(x+y)(x2+y2),若取若取x=9,y=9时时,则各个因式的值是则各个因式的值是:(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把于是
15、就可以把“018162”作为一个六位数的密码作为一个六位数的密码,对于多对于多项式项式 4x3 xy2,取取x=10,y=10 时时,用上用上述方法产生的密码述方法产生的密码是是:_101030;(写一个即可写一个即可)(浙江浙江)或或103010;或或3010104x3 xy2=x(2x-y)(2x+y)x=10 ,2x-y=10,2x+y=30因式分解应进行到底因式分解应进行到底.如：分解因式：如：分解因式：x x4 4-4=(x-4=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-2)-2)=(x=(x2 2+2)(x+)(x-).+2)(x+)(x-).应在实数范围内将它分解到底应在实数范围内将它分解到底.22
