1、中考数学反比例函数综合练习题及答案一、反比例函数1如图，直线y=x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使SPAC= SAOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=x+b和 得：4=1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x4或0x1（3）解：过A作ANx轴，过B作BMx轴， 由（1）知，b=5，k=4，直线的表达式
2、为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或x=1，B（4，1）， ， ， ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），SPAC= OPCD+ OPAE= OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=3，P（0，3）或P（0，3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AMx轴，过B作BNx轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B（4，1），于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即
3、可得到结论2如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较PAQ与PBQ的大小，并说明理由 【答案】（1）解：k=4，SPAB=15提示：过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点
4、B（4，1）代入y= ，得k=4解方程组 ，得到点A的坐标为（4，1），则点A与点B关于原点对称，OA=OB，SAOP=SBOP ， SPAB=2SAOP 设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（4，1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，SAOP=SAOC+SPOC= OCAR+ OCPS= 34+ 31= ，SPAB=2SAOP=15；（2）解：过点P作PHx轴于H，如图2B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立 ，解得直线PA的方程为y= x
5、+ 1，联立 ，解得直线PB的方程为y= x+ +1，M（m4，0），N（m+4，0），H（m，0），MH=m（m4）=4，NH=m+4m=4，MH=NH，PH垂直平分MN，PM=PN，PMN是等腰三角形；（3）解：PAQ=PBQ理由如下：过点Q作QTx轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有 ，解得： ，直线AQ的解析式为y= x+ 1当y=0时， x+ 1=0，解得：x=c4，D（c4，0）同理可得E（c+4，0），DT=c（c4）=4，ET=c+4c=4，DT=ET，QT垂直平分DE，QD=QE，QDE=QEDMD
6、A=QDE，MDA=QEDPM=PN，PMN=PNMPAQ=PMNMDA，PBQ=NBE=PNMQED，PAQ=PBQ【解析】【分析】（1）过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得SPAB=2SAOP ， 要求PAB的面积，只需求PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PHx轴于H，如图2可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根
7、据垂直平分线的性质可得PM=PN，即PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QTx轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3可设点Q为（c， ），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有QDE=QED然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到PAQ=PBQ3如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上 （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象回答：当x为何范围时，y1y2； （3
8、）求PAB的面积 【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y1= ，得k=4反比例函数的表达式为y1= （2）解：点A与点B关于原点对称， A的坐标为（4，1），观察图象得，当x4或0x4时，y1y2（3）解：过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图，点A与点B关于原点对称，OA=OB，SAOP=SBOP ， SPAB=2SAOP y1= 中，当x=1时，y=4，P（1，4）设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（4，1）、P（1，4）代入y=mx+n，则 ，解得 故直线AP的函数关系式为y=x
9、+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，SAOP=SAOC+SPOC= OCAR+ OCPS= 34+ 31= ，SPAB=2SAOP=15【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1= ，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1y2的解集；（3）过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么SAOP=SBOP ， SPAB=2SAOP 求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关
10、系式，得到点C的坐标，根据SAOP=SAOC+SPOC求出SAOP= ，则SPAB=2SAOP=154如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c0）的图象相交于点B（3，2）、C（1，n）（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出y1y2时x的取值范围； （3）在y轴上是否存在点P，使PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）解：把B（3，2）代入 得：k=6反比例函数解析式为： 把C（1，n）代入 ，得：n=6C（1，6）把B（3，2）、C（1，6）分别代入y1=ax+
11、b，得： ，解得： 所以一次函数解析式为y1=2x4（2）解：由图可知，当写出y1y2时x的取值范围是1x0或者x3（3）解：y轴上存在点P，使PAB为直角三角形如图，过B作BP1y轴于P1 ， B P1 A=0，P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2AB交y轴于P2P2BA=90，P2AB为直角三角形在RtP1AB中， 在RtP1 AB和RtP2 AB P2（0， ）综上所述，P1（0，2）、P2（0， ） 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定
12、理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论5如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tanOAC= （1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式； （2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由； （3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求BMC的度数 【答案】（1）解：A（5，0），OA=5 ， ，解得OC=2，C（0，2），BD=OC=2，B（0，3），BDx轴，D（2，3），m=23=6， ，设直线AC关系式为y=kx+b，过A
13、（5，0），C（0，2）， ，解得 ， ；（2）解：B（0，3），C（0，2），BC=5=OA，在OAC和BCD中 OACBCD（SAS），AC=CD，OAC=BCD，BCD+BCA=OAC+BCA=90，ACCD；（3）解：BMC=45如图，连接AD，AE=OC，BD=OC，AE=BD，BDx轴，四边形AEBD为平行四边形，ADBM，BMC=DAC，OACBCD，AC=CD，ACCD，ACD为等腰直角三角形，BMC=DAC=45 【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出 反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定OACBCD，得出AC=C
14、D，OAC=BCD，进而ACCD；（3） 由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出 OACBCD，AC=CD，ACCD，ACD为等腰直角三角形，BMC=DAC=45.6如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）（1）点C的坐标_； （2）若反比例函数y= （k0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式； （3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得SPEF= SCEF ， 求点P的坐标 【答案】（1）（3
15、，0）（2）解：AB=CD=3，OB=1，A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则 ，解得： ，直线AC的解析式为y= x+ 点E（2，m）在直线AC上，m= 2+ = ，点E（2， ）反比例函数y= 的图象经过点E，k=2 =3，反比例函数的解析式为y= （3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则SEFM= SEFC ， M（3，0.5）在y= 中，当x=3时，y=1，F（3，1）过点M作直线MPEF交直线AB于P，则SPEF=SMEF 设直线EF的解析式为y=ax+b， ，解得 ，y= x+ 设直线PM的解析式为y= x+c，代入M（3，0.5）
16、，得：c=1，y= x+1当x=1时，y=0.5，点P（1，0.5）同理可得点P（1，3.5）点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5） 【解析】【解答】解：（1）D（3，3），OC=3，C（3，0）故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至
17、M，使CM=CF，连接EM，则SEFM=SEFC ， M（3，0.5）求出F（3，1），过点M作直线MPEF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到SPEF=SMEF 此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标7如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，2）. （1）求反比例函数的解析式；
18、 （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； （3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移 个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论. 【答案】 （1）解：设反比例函数的解析式为 （k0） A（m，2）在y=2x上，2=2m，解得m=1。A（1，2）。又点A在 上， ，解得k=2。，反比例函数的解析式为 （2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为1x0或x1。（3）解：四边形OABC是菱形。证明如下： A（1，2）， 。由题意知：CBOA且CB= ，CB=OA。四边形OABC是平行四边形。C（2，n）在 上， 。C
19、（2，1）。 。OC=OA。平行四边形OABC是菱形。【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为 （k0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式。（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CBOA且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC8如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数 的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）
20、解：在矩形OABC中，OA=6，OC=4，B（6，4），F为AB的中点，F（6，2），又点F在反比例函数 （k0）的图象上，k=12，该函数的解析式为y= （x0）（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（ ，4），F（6， ）， ，= = = = ，当k=12时，S有最大值S最大=3 【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可9如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k0）与双曲线y= （m0）交于点A（2，3）和点B（n，2） （1）求直线与双曲线的
21、表达式； （2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点动点P是双曲线y= （m0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标 【答案】（1）解：双曲线y= （m0）经过点A（2，3）， m=6双曲线的表达式为y= 点B（n，2）在双曲线y= 上，点B的坐标为（3，2）直线y=kx+b经过点A（2，3）和点B（3，2）， 解得 ，直线的表达式为y=x1（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，6）或（6，1） 【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代
22、入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可10在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m0）和双曲线y= （n0），如果m=2n，则称双曲线y= （m0）和双曲线y= （n0）为“倍半双曲线”，双曲线y= （m0）是双曲线y= （n0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n0）是双曲线y= （m0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是_；双曲线y= 的“半双曲线”是_；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求AOB的面积；（3）如图2，已知
23、点M是双曲线y= （k0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若MNP的面积记为SMNP ， 且1SMNP2，求k的取值范围【答案】（1）y= ；y= （2）解：如图1，双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，AOD的面积为2，BOD的面积为1，AOB的面积为1（3）解：解法一：如图2，依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， ），点N坐标为（m， ），CM= ，CN= MN= = 同理PM=m = SPMN= MNPM= 1SPMN2，1 24k8，解法二：如
24、图3，依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， ），点N坐标为（m， ），点N为MC的中点，同理点P为MD的中点连接OM， ，PMNOCM SOCM=k，SPMN= 1SPMN2，1 24k8【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；双曲线y= 的“半双曲线”是y= 故答案为y= ，y= ；【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出PMN的面
25、积，进而建立不等式即可得出结论11如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且 （1）求抛物线的解析式和顶点 的坐标； （2）判断 的形状，证明你的结论； （3）点 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值 【答案】 （1）解： 点在抛物线上， ，解得 ， 抛物线解析式为 ， ， 点坐标为 ；（2）解： 为直角三角形，证明如下： 在 中，令 可得 ，解得 或 ， 为 ，且 为 ， ， ， ，由勾股定理可求得 ， ，又 ， ， 为直角三角形；（3）解： ， 点关于 轴的对称点为 ，如图，连接 ，交 轴于点 ，则 即为满足条件的点，设直线 解析式为 ，把 、 坐标代入可得 ，解得
26、， 直线 解析式为 ，令 ，可得 ， 【解析】【分析】（1）把A点坐标代入可求得b的值，可求得抛物线的解析式，再求D点坐标即可；（2）由解析式可求得A、B、C的坐标，可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可判定ABC为直角三角形；（3）先求得C点关于x轴的对称点E，连接DE，与 轴交于点M，则M即为所求，可求得DE的解析式，令其y=0，可求得M点的坐标，可求得m12如图，抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C ， 且OCOA （1）求抛物线解析式； （2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N 已知M点的横坐标为
27、m ， 试用含m的式子表示MN的长及ACM的面积S ， 并求当MN的长最大时S的值 【答案】 （1）解：由A（3，0），且OCOA可得C（0，3） 设抛物线解析式为ya（x+3）（x1），将C（0，3）代入解析式得，3a3，解得a1，抛物线解析式为yx22x+3（2）解：如图， 设直线AC解析式为ykx+dA（3，0），C（0，3）， ，解得 ，直线AC解析式为yx+3，设M（m ， m22m+3），则N（m ， m+3），则MNm22m+3（m+3）m23m（3m0），SACMSAMN+SCMN MN3 m2 m ， MNm23m（m+ ）2+ ，a10，3m1.50，m 时，MN最大，此时S 【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC的解析式，用m表示点M，N的坐标，即可表示线段MN的长度；根据SACMSAMN+SCMN即可用m表示SACM；运用二次函数分析MN最值即可；
