1、导数及其应用导数的运算1. 几种常见的函数导数：、 （c为常数）； 、 （）； 、= ；、 = ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 .2. 求导数的四则运算法则：； 注： 必须是可导函数.3. 复合函数的求导法则： 或 一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义：表示函数在点(，)处切线L的斜率；函数在点(，)处切线L方程为1.曲线在点处的切线方程为（ ）。A:B:C:D:答案详解B正确率: 69%, 易错项: C解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，所以切线方程为即。故本题正确答案为B。2. 变式一：3.设函数，曲线在点处的切线
2、方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )ABCD4.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 变式二：5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 6.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 7.已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 A、0,) B、 C、 D、变式三：8. 已知直线y =x1与曲线相切，则的值为( ) A.1 B. 2 C.1 D.29.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( ) A或 B或 C或 D或10.若曲线在点处
3、的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 A、64 B、32 C、16 D、8 11.（本小题满分13分） 设.（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值.12.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .二、求单调性或单调区间1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数在某个区间D内可导，如果0，则在区间D上为增函数；如果0，则在区间D上为减函数；如果=0恒成立，则在区间D上为常数.2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式0的解集与函数定义域的交集，就是的增区间；不等式0的解集与函数定义域的交集，就是的减区间.1、函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1
4、,4) D. 2.函数的单调减区间为 . 3.已知函数，讨论的单调性。答案详解由题意，的定义域是，所以有。设，二次方程的的判别式。当，即时， 对一切都有。此时，在上是增函数；当时，此时在上也是增函数；当，即时，方程有两个不同的实根，。此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。4. 已知函数。（）当时，求
5、曲线在点处的切线的斜率；（）当时，求函数的单调区间与极值。答案详解（）当时，故。所以曲线在点处的切线的斜率为。（）。令，解得或，由知，。以下分两种情况讨论：（1）若，则。当变化时，的变化情况如下表：所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。（）求出这种情况下，函数在处的导数，即为切线斜率。（）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。三、求函
6、数的极值与最值1、极值的判别方法：当函数在点处连续时， 如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极大值； 如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件为点两侧导数异号，而不是=0. 2、最值的求法：求f (x)在a，b 上的最大值与最小值的步骤如下：(1) 求 f (x) 在区间 (a，b) 内的极值(极大值或极小值)；(2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.1.设函数，则（ ）A. 为的极大值点 B
7、.为的极小值点C. 为的极大值点 D. 为的极小值点答案详解D正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查函数极值的计算。令导函数求得，且在上小于零，在上大于零，则在上单调递减，在上单调递增，为的极小值点。2.函数在 处取得极小值.3.（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分.）设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（） 求的值；（）求函数的极值. 4. (本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（I）求a的值.（II）若该商
8、品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.5请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设.（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.答案详解（1），所以时侧面积最大。（2），所以。当时，递增，当时，递减，所以，当时，最大。此时，包装盒的高与底
9、面边长的比值为。解析:本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。（1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。（2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。四、判断函数的零点1.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A.（2，1）； B.（1,0）； C.（0,1）； D.（1,2）答案详解B正确率: 64%, 易错项: C解析:本题主要考查连续函数的性质。由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解。A项，故A项错误；B项，则零点定理知有零
10、点在区间上，故B项正确；C项，故C项错误；D项，故D项错误。综上所述：符合题意的是B项。故本题正确答案为B。2.设函数则( )A.在区间内均有零点； B.在区间内均无零点；C.在区间内有零点，在区间内无零点；D.在区间内无零点，在区间内有零点. 答案详解D正确率: 33%, 易错项: C解析:本题主要考查导数的应用。定义域为，先对求导，解得在单调递减，单调递增。讨论上，在其上单调，故在上无零点；讨论上，在其上单调，故在上有零点。故本题正确答案为D。易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个
11、零点却无法处理。3.已知函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，则cA.2或2 ； B.9或3 ； C.1或1； D.3或1答案详解A正确率: 53%, 易错项: C解析:本题主要考查导数在函数中应用。对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2，极小值为2。可知，。故本题正确答案为A。4. 16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数 的极值点. 已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数答案详解（1）由题设知，且，解得。（2）由（1）知
12、，因为，所以的根为，于是函数的极值点只可能是或。当时，当时，故是的极值点，当或时，故不是的极值点，所以的极值点为。（3）由（1）知，其函数图象如下图所示，先讨论（）的零点，即与的交点的个数：时，由图象得的零点为和；时，由图象得的零点为和；时，由图象得的零点为，；时，由图象得的零点分别在，三个区间内；时，由图象得的零点分别在，三个区间内。令，现在考虑（）的零点：当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。当时，有三个不同的根，满足，而（，）有三个不同的根，故有个零点。综
13、上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出的值。（2）由（1）问所得的，求出的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真假后列出结果。（3）先结合图象分类讨论（）的零点，再令，分类讨论（）的零点。五、导数与图像1函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是A B C D2.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露
14、出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为六、导数与不等式利用导数求解（证明）不等式 主要方法是：将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明.1.若，则0的解集为A B. C. D. 答案详解C正确率: 50%, 易错项: B解析:本题主要考查导数的运算和不等式的解法。本题的易错点是容易忽视函数的定义域。的定义域为，即，结合解得。故本题正确答案为C。易错项分析：本题的易错点是容易忽视函数的定义域，忽视在对数函数中真数要大于的隐含条件，从而在解不等式时出现负数，使函数没有意义，这是解对数不等式以及对数函数有关的问题时常见
15、的错误。2.函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，则f（x）2x4的解集为A.（1，1） B.（1，） C.（，1） D.（，）3.本小题满分12分）设函数(1) 求函数的单调区间； (2) 若，求不等式的解集4.设函数有两个极值点、且，。（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点和区域；（2）证明：。答案（1），依题意知，方程有两个根，且等价于，。由此得满足的约束条件为满足这些条件的点的区域为图中阴影部分。（2）由题设知：，故，于是，由于，而由（）知，故，又由（1）知，所以。解析本题主要考查导数、线性规划以及方程根的综合运用。（1）本题应该根据先求出的
16、导函数，然后再利用二分法得到关于三个参量的不等式，进而便可得出的取值范围，进而便可作出满足这些约束条件的平面区域。（2）该题主要利用已知条件，将表示为与其他参量的等式，并利用，便可得到的大致范围，再将其他参量的取值范围代入该式，便可得到欲证结论。5. (本题满分12分) 设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： 解: （I），令，其对称轴为.由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 当时，在内为增函数； 当时，在内为减函数； 当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则 当时，在单调递增； 当时，在单调递减. ，故6.（本小题满分12分）已知函
17、数f (x)=xax(a1)，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有.解析： (1)的定义域为. 2分（i）若，即，则，故在单调增加.(ii) 若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减少，在单调增加.(iii) 若，即，同理可得在单调减少，在单调增加.(2) 考虑函数 则由于1a0，知在R上恒成立，因此由此并结合a0，知.3. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。），由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，。而，故当时，可得；当时，可得，；从而当，且时，即。（ii）
18、设。由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾。（iii）设。此时，而，故当时，可得，而，与题设矛盾。综合得，的取值范围为。解析:本题主要考查函数求导和函数的单调性，以及分类讨论思想。（）先对函数求导，将点代入到导函数，得出斜率，又在直线上，从而得到两个方程，联立解得的值。（）本问为不等式与函数的问题，要进行分类讨论，讨论时应注意不要漏情况。首先将不等式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移，得讨论函数，这里应注意的取值范围。通过分类讨论可得取值范围为。解读本题（2）中，若直接对作差后所得的函数求导，形式繁杂，且不易得出导数零点。由于只是判断函数的正负号，可以提出，这样，余下的部分的求导变得
19、简单可行，且的正负容易判断。4本小题满分100分）已知函数。（1）求的单调区间；（2）若对于任意的，都有，求的取值范围。答案详解（1）。令，得。当时，与的情况如下：所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是。当时，与的情况如下：所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是。（2）当时，因为，所以不会有，。当时，由（1）知在上的最大值是，所以等价于，解得。解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。（1）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。（2）利用函数的单调性，求得的最大值，代入不等式，即可求得的取值范围。5. 本小题满
20、分12分）已知函数，其中，（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调区间；（3）若的最小值为，求的取值范围。答案详解（1）因为，所以，又在处取得极值，所以。（2）令，当，即时，在定义域内恒成立，所以函数在内单调递增；当，即时，在区间内，函数递减；在区间内，函数递增。综上所述，当时，函数在区间内单调递增；当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增。（3）当时，函数在区间内单调递增，此时，所以满足条件；当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，此时，所以不满足题意，所以的取值范围为。解析:本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。（1）对函数求导，在函数极值点处导数有意义时导数为零，然后
21、计算求解；（2）导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，然后分类讨论的取值范围进行求解；（3）分两种情况讨论函数的最小值，满足函数最小值为的的取值范围即为解。6. 设函数。（1）若为的极值点，求实数；（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。注：为自然对数的底数。答案详解（1）求导得。因为是的极值点，所以，解得或，经检验，符合题意，所以或。（2）当时，对于任意的实数，恒有成立。当时，由题意，首先有，解得，由（1）知，令，则，且又在内单调递增，所以函数在内有唯一零点，则，从而，当时，；当时，；当时，。即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要是对恒成立，只要成立。由，知将代入得
22、。又，注意到函数在内单调递增，故。再由以及函数在内单调递增，可得。又解得，。所以。综上，的取值范围为。解析:本题主要考查导数以及不等式的综合运用。（1）本题应该先对函数求导，又因为为的极值点，所以，据此便可解的实数的取值范围。（2）由于当时，所以此时恒成立，所以只需讨论当时的情况即可。本题应该先判断出的零点即的极值点，从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增，在中单调递减，在中单调递增。所以应该使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足，这样便可解得的取值范围。7. 已知，函数。（1）证明：当时，（i）函数的最大值为；（ii）；（2）若对恒成立，求的取值范围。答案详解（1）（i）。当时，有，
23、此时在上单调递增。当时，。此时在上单调递减，在上单调递增。所以当时，（ii）由于，故当时，当时，设，则。所以，。所以当时，。故。（2）由（i）知，当时，所以。若，则由（ii）知，。所以对任意恒成立的充要条件是，即，或，在直角坐标系中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，做一组平行直线，得，所以的取值范围是。解析:本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。（1）（i）先对函数求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得。（ii） 分别讨论和两种情况下，对进行放缩。再令，对其求导，分析其单调性，求得。故可得。（2）列出对任意恒成立的充要条件，画出不等式组的
24、平面区域图，设目标函数为，可求得的取值范围为。8.（本小题满分13分）已知函数=，其中a0.(1) 若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合.(2) 在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当 .令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知， 令则 令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又 因为函数在
25、区间上的图像是连续不断的一条曲线，存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .综上所述，存在使成立.且的取值范围为9. (本题满分14分) 已知函数的最小值为0，其中（）求的值；（）若对任意的有成立，求实数的最小值；（）证明（）.、解：（）函数的定义域为 ，得时，（）设 则在上恒成立 （*） ， 当时，与（*）矛盾 当时，符合（*）， 实数的最小值为（）由（2）得：对任意的值恒成立 取： 当时， 得：当时， 得：.10.（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 （1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ，即 ， ，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解， ， 函数有一零点 综上，当时， 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.
