1、1. 均值不等式法例1 设求证例2 已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证： 例3 求证.例4 已知，求证：1.2利用有用结论例5 求证例6 已知函数求证：对任意且恒成立。例7 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）例8 已知不等式。表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证再如：设函数。 （）求函数最小值；（）求证：对于任意，有例9 设，求证：数列单调递增且3. 部分放缩例10 设,求证：例11 设数列满足，当时证明对所有 有：； .4 . 添减项放缩例12 设，求证.例13 设数列满足 证明对一切正整数成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数的最大值不大于，又当时
2、 （）求的值；（）设，证明例15 数列由下列条件确定：，（I） 证明：对总有；(II) 证明：对总有6 . 换元放缩例16 求证例17 设，求证.7 转化为加强命题放缩 例18 设，定义，求证：对一切正整数有例19 数列满足证明 例20 已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1a2an0)，设曲线y=f(x)在点（xn,f(xn)）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）(nN*). () 用xn表示xn+1； （）求使不等式对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；（）若x1=2，求证：例1 解析 此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度
3、”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 ，其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例2 简析 例3 简析 不等式左边=，故原结论成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：因为，所以有 其实，上述证明完全可以改述成求的最大值。本题还可以推广为： 若， 试求的最大值。 请分析下述求法：因为，所以有 故的最大值为，且此时有。上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“”的条件是，即必须有，即只有p=q时才成立！那么，呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：则有 于是，当且仅当 结合其结构特征，还可构造向
4、量求解：设，则由立刻得解： 且取“”的充要条件是：。2利用有用结论例5 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得，例6 简析 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！例7 解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即【注】：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即例8 【简析】 当时，即 于是当时有 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结
5、论来进行有效地放缩；再如：【解析】（）1；（）证明：由（）得，对x1有，利用此结论进行巧妙赋值：取，则有即对于任意，有例9 解析 引入一个结论：若则，（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）整理上式得（），以代入（）式得。即单调递增。以代入（）式得。此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩：故有3. 部分放缩例10 解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），于是例11 【解析】 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的
6、结论来放缩通项，可得 【注】上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。例12 简析 观察的结构，注意到，展开得即，得证.例13简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；法2 则例14 解析 （）=1 ；（）由得 且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例15 解析 构造函数易知在是增函数。当时在递增，故。对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。【注】数列单调递减有下界因而有极限：是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。例16 简析 令，这里则有，从
7、而有注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。例17 简析 令，则，应用二项式定理进行部分放缩有，注意到，则（证明从略），因此.7 转化为加强命题放缩例18 解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有（证略）例19 简析 将问题一般化：先证明其加强命题 用数学归纳法，只考虑第二步：。因此对一切有 例20 解析：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1（2）证：据1得，a1a2an，为证a1a2an2 显然，左端
8、每个因式都是正数，先证明一个加强不等式： 对每个nN*，有1（）3（用数学归纳法，证略）利用3得1（）11。故2式成立，从而结论成立。8. 分项讨论例21 简析 （）略，（） ；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是, 当且为偶数时，当且为奇数时，（添项放缩）由知。由得证。9. 借助数学归纳法例22 解析 科学背景：直接与凸函数有关！（）略，只证（）：考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有：法1（用数学归纳法）（i）当n=1时，由（）知命题成立。（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数（*）为利用归纳假设，将（
9、*）式左边均分成前后两段：令则为正数，且由归纳假定知 （1）同理，由得（2）综合（1）（2）两式即当时命题也成立. 根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.法2 构造函数利用（）知，当对任意 （式是比式更强的结果）. 下面用数学归纳法证明结论.（i）当n=1时，由（I）知命题成立.（ii）设当n=k时命题成立，即若正数 对（*）式的连续两项进行两两结合变成项后使用归纳假设，并充分利用式有由归纳法假设 得 即当时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立.【评注】（1）式也可以直接使用函数下凸用（）中结论得到；（2）为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：而变成项；（3）本题用凸函数知
10、识分析如下：先介绍詹森（jensen）不等式：若为上的下凸函数，则对任意，有 特别地，若，则有若为上凸函数则改“”为“”。由为下凸函数得 ，又，所以（4）本题可作推广如下：若正数满足，则。简证：构造函数，易得故10. 构造辅助函数法例23 【解析】(1) 求导可得在上是增函数,（2）（数学归纳法证明）当时，由已知成立；假设当时命题成立，即成立，那么当时，由（1）得， ，这就是说时命题成立。由、知，命题对于都成立（3） 由, 构造辅助函数，得，当时，故，所以g(0)=f(0)-2=0，0,即0，得。例24 【解析】（）（）提供如下两种思路：思路1 观察式子右边特征，按为元进行配方，确定其最大值。
11、法1 由（）知，原不等式成立思路2 将右边看成是关于x的函数，通过求导研究其最值来解决：法2 设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）思路1 考虑本题是递进式设问，利用（）的结论来探究解题思路：由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x进行巧妙赋值，当然，赋值方法不止一种，如：还可令，得 思路2 所证不等式是与正整数n有关的命题，能否直接用数学归纳法给予证明？尝试： （1）当时，成立； （2）假设命题对成立，即则当时，有 ，只要证明；即证，即证用二项式定理（展开式部分项）证明，再验证前几项即可。如下证明是否正确，请分析：易于证明对任意成立；于
12、是【注】上述证明是错误的！因为：是递增的，不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下：考虑是某数列的前n项和，则，只要证明思路3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证：由取倒数易得：，用n项的均值不等式：，例25 【解析】() （）使不等式对一切正整数n都成立的充要条件是x11. () 基本思路：寻求合适的放缩途径。 探索1 着眼于通项特征，结合求证式特点，尝试进行递推放缩： 即。于是由此递推放缩式逐步放缩得 探索2 从求证式特征尝试分析：结论式可作如下变形： 逆向思考，猜想应有：（用数学归纳法证明，略）。 探索3 探索过渡“桥”，寻求证明加强不等式：由（2）知xn1，由此得。有尝试证明 证法1（数学归纳法，略）； 法2 （用二项展开式部分项）：当n2时2n=(1+1)n 此题还可发现一些放缩方法，如：。（每一项都小于1），而再证即，则需要归纳出条件n4.(前4项验证即可)技巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15)
