1、第二部分 导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法1.利用定义求导数2.导数的四则运算法则3.复合函数的求导法则若与均可导，则也可导，且 即 4.反函数的求导法则若与互为反函数，且单调、可导，则，即5.隐函数求导法求由方程确定的隐函数 的导数。只需将方程两边同时对x求导（注意其中变量y是x的函数），然后解出即可。6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题：(1)幂指数函数y=；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如y=, ,等等。7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 确定的函数为y=f(x)，其中可导，且0，则
2、y=f(x)可导，且8.求高阶导数的方法二、求导数公式1.基本初等函数求导公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)2.常见函数的高阶导数(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 3.两个函数乘积的阶导数公式(莱布尼兹公式) 三、微分在近似计算中的应用1.微分可以用来求函数在某点的近似值：当|x|很小时， (x0+x) (x0)+(x0)x2.微分可以用来求函数增量的近似值当|x|很小时，ydy=(x0)x3.微分可以用来求函数的近似公式当|x|很小时，特别当 时, 有近似公式 常用的近似公式有sinxx
3、(x以弧度为单位)，tanxx，ln(1+x) x，ex1+x，(1+x)n1+nx四、导数的应用1.函数单调性的判别法设且在内可导，（1）若在内，则在上单调递增；（2）若在内，则在上单调递减. 说明：闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论仍成立.2.函数取极值的充分条件第一充分条件：设函数设在内可导且（或在内可导且在处连续），（1）若在内，当时，；当时，则在处取得极大值；（2）若在内，当时，；当时，则在处取得极小值；（3）若在内，在的左右同号，那么不是的极值点.3.曲线凹凸性的判定法设函数在区间内二阶可导，（1）若在内，则曲线在上是凹的（2）若在内，则曲线在上是凸的案例分析一、利用导数定
4、义计算若干问题1.利用导数定义求极限如果存在注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同例1设在点可导，求下列极限（1）（2）已知，利用导数定义求极限解：（1）（2）= =02.利用导数定义求函数的导数例2 (1) 设，求解：由于，则故因为在处二阶可导，故、在处连续，即、所以注意：函数仅在处存在二阶导数，故求时不能直接利用求导公式。（2）设周期函数的周期为5，可导，如，求曲线在点处的切线方程。解：因为函数的周期为5，故 而 故，即所以在点处的切线为（3）设，求解： 3.求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数 分析:（1）当xa 当xa （2）当x
5、=a （3）如 则存在,且=B.否则不存在（4）写出的解析式例3设，其中，求解：当时，；当时，故 因为，故不存在，即4.分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数已知 在处可导,求中的待定系数分析：（1）在处可导,则在处连续,即（2）求,而 （3）由和,求待定系数例4已知 在处可导, 求a,b5.求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数 ,求,并讨论的连续性分析:（1）先求 (见求导数部分)（2）然后讨论在定义域内的连续性例5设 问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数，但在x=0处却不存在二阶导数。6.利用导数求函数例6（1）设f(x)在（0，+）内有定义，且，又对，
6、有，求解：令，有得 ()而 ()由 ()、()得 注意：有乘积的，一般令、互为倒数（2）设函数满足等式，且存在，求解：令， 则有得 1令 有 2由1、2得 有 得令得 即注意：有和的，一般令、互为相反数；有差的，一般令、相等二、根的存在性问题1.利用零点定理证明方程有实根利用零点定理证明方程在内至少有一个实根方法：（1）令，在上连续（2）计算，（或，）（3）如果（或），则在内至少有一个实根例7（1）设在时连续，当时，则在内有唯一的实根证明：因为，则在上单调增加（中值定理）而故在内有唯一的实根（2）设在上可导，且，证明方程在内有唯一一个实根证明：令，因为，故要么恒正或恒负，即是单调函数，故方程在
7、内有唯一一个实根2.利用中值定理证明方程有实根若可导，证明方程=0的相邻两个实根之间必有方程=0的一个实根。例8若=，不用求导数，指出=0的实根个数及所在的区间。证明：因是方程=0的根，即，又因在1,2上连续，在（1,2）内可导，故在1,2上满足罗尔定理的条件，则在（1,2）内至少存在一个点，使得=0，即是方程=0的一个实根。同理，在（2,3）内至少存在一个点，使得=0，即是方程=0的另一个实根。另外，由于为二次函数，=0最多有两个实根。综上，=0有两个实根，分别在（1,2）和（2,3）内。例9设在连续，在可导，且，证明：方程在内必有唯一实根。证法一：令，则有，. 由题义得，推出：，得：，而在
8、上由介值定理知，存在，使，即在内有实根。又，知单调减，故有唯一实根。 证法二：设，在上用拉格朗日定理得,由设知，即，取，即，得由题设知，在上用介值定理，推知方程在内有实根，故函数单调，知其根唯一。3.求含有待定系数的方程在区间上的根的个数例10（1）解：令 则由=0 得，当时，；当时，；当时，； 当时，有唯一根在上；当时，有唯一根在上；当时，有三个根分别在，上（2）解：令 则（i）当时，即为增函数因为；此时有一根（ii）当，有一根（iii）当，由得时，；时，因；，即时有一根；，即时有两根4.已知方程在（或）上有若干个根，求待定系数的范围方法：（1）令并求（2）当待定系数满足条件时，（或），此时
9、在（或）上单调，考察的正负性，判断是否有唯一根（3）找和不存在的点，再分区间讨论例11设时，方程有且只有一根，求的范围解：（1）当时，是方程的唯一根（2）令 则当时， 即为单调递减函数 故此时在时有唯一的根（3）当时，令 即得时 ，为减函数；时 ，为增函数又因为 令 得 故只有或时方程有唯一的根三、利用微分中值定理证明1.利用中值定理证明等式成立（1）将等式变形，使含的表达式分别在等式的两端（2）两端分别使用中值定理(或柯西定理)例12设在上可微，且，则在内存在唯一点，使证明：（i）存在性 构造辅助函数，在连续，且，由连续函数的介质定理，存在使，即（ii）唯一性（反证法）设还存在，使，且，在区
10、间上应用拉格朗日定理，存在使，这与题设矛盾。（证明过程对仍正确）例13设在连续，在内可导，且，证明在内至少 一点，使证明：令，则，由罗尔定理有，使即， 得：例14已知函数在0 ,1上连续，在（0 ，1）内可导，证明存在，使解：利用柯西中值定理而 则（后面略）2.结论为的命题证明方法：（1）对用罗尔定理 （2）利用的阶泰勒公式例15设函数在区间内具有二阶导数，且（）。证明在开区间内至少有一点，使解：因为，则在内存在一点，使同理,因为，则在内存在一点，使故在内存在一点，使例16设函数在区间内具有二阶导数，又，证明在内至少存在一点，使 解：因为，而所以 其中当时， 有 其中即3.(1)利用泰勒公式证
11、明含有抽象函数及其导数的不等式例17设在上二阶可导，且，证明解： 其中即 由于， 所以因为在上，的最大值为2，故例18设在上三阶可导、连续，且，证明在内至少存在一点，使解：由于当时，有 当时，有 两式相减得而 即令,则(2)题中已知或，则在的最值点处展开，此时例19设在上二阶可导，且又，证明在上存在一点，使解：设在处取得最小值，此时，且由泰勒公式知 得 得令 则因为的最值为8，故四、求函数的单调区间和极值（最值）方法：（1）确定函数的定义域（2）求，在内求出不存在的点和的点（3）判断这些点左右的增减性（4）求极值（5）再考虑函数在的端点处的取值，最终确定最值例20（1）设在和两点处取得极值，求
12、解：因为函数在和两点处取得极值，故 即 得 （2）设（），记求解：令 即 得因为 而故，即(3) 设可导函数由所确定，讨论的极值解：两边对求导有 得令 得把代入原方程有，求，因为，所以在，处有极小值（4）求数列中的最大项(提示：令)（5）设函数，问为何值时，取极值（提示：对每一段和分段点讨论）（6）求函f(x)= 在0，2上的最大值与最小值。（提示：利用变上限积分的求导讨论）注意：（1）如果，存在且，则为函数的极值（2）极小值，极大值例21设满足（）（1）如果在有极值，证明为极小值（2）如果在处有极值，是极大还是极小值解：（1）因为在有极值，所以，而，即因为 所以，即为极小值（2）因为二阶可导
13、，所以连续，在处有极值，有及 此时为极小值五、证明不等式1.利用函数的单调性来证明例22证明不等式（）恒成立证明：设，则有在内连续，且在开区间因此在上函数单调增加，从而当时，而所以有，即2.利用微分中值定理来证明例23证明：当时，不等式成立恒成立.证明：设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有由于，因此上式即为又因为，故有即强化训练一、求下列函数导数1. 2.3. 4.5. 6.二、设为等价无穷小，求 三、设，求四、设函数在内有意义，且f（0）=0 又，其中，求五、设 ，求六、用对数求导法求下列函数的导数：1. 2. 3七、求方程 所确定的隐函数y的二阶导数 八、求参数方程所确定的函数的导数九、设函数在0，1上连续，在（0，1）内可导，且=0，试证：至少存在一点 使：十、当a为何值时， 在 处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。参考答案一、1. 2. 3. 4. 5.6.二、2 （提示：用导数定义求 ）三、1（提示：用导数定义求）四、（提示：又）五、（提示：利用莱布尼茨公式）六、1. 2.3.七、八、， 九、略（提示：设，利用定理证明）十、，极大值23
