1、 高考数学真题分类汇编平面解析几何专题（综合题）1.已知椭圆 的中心在坐标原点，左右焦点分别为 和 ，且椭圆 经过点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过椭圆的右顶点 作两条相互垂直的直线 ， ，分别与椭圆交于点 （均异于点 ），求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标. 2.已知抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 做圆 的两条切线，切点为 . （1）求抛物线 的方程； （2）若直线 是讲过定点 的一条直线，且与抛物线 交于 两点，过定点 作 的垂线与抛物线交于 两点，求四边形 面积的最小值. 3.如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= ，且过点A（2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到
2、A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）（1）求椭圆标准方程； （2）求证：直线PQ的斜率为定值； （3）求OPQ的面积的最大值 4.已知椭圆的短轴长为2 ，焦点坐标分别是(1,0)和(1,0) （1）求这个椭圆的标准方程； （2）如果直线yxm与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围 5.已知椭圆 + =1（ab0）的离心率为 ，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成的三角形的面积为 ，圆C方程为（xa）2+（yb）2=（ ）2 （1）求椭圆及圆C的方程； （2）过原点O作直线l与圆C交于A，B两点，若 =2，求直线l的方程 6.已知圆F1：（x+1）2+y2=r2与F2：（x1
3、）2+y2=（4r）2（0r4）的公共点的轨迹为曲线E （1）求E的方程； （2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl，求四边形F1MNF2面积S的最大值 7.已知椭圆 的方程为 ，其焦点在 轴上，点 为椭圆上一点 （1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点 满足 ，其中 、 是椭圆 上的点，直线 与 的斜率之积为 ，求证： 为定值 8.抛物线 的焦点为F ， 斜率为正的直线l过点F交抛物线于A、B两点，满足 （1）求直线l的斜率； （2）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 的面积的最小值 9.已知椭圆 的
4、长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半 （1）求椭圆的方程； （2）经过点 作直线 ，交椭圆于 ， 两点如果 恰好是线段 的中点，求直线 的方程 10.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 的椭圆过点（ ， ） （1）求椭圆的方程； （2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围 11.如图是一种加热食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑已知镜口圆的直径为8m，镜深1m （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦
5、点的位置； （2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度 12.已知椭圆 的长轴长为4,且椭圆 与圆 : 的公共弦长为 .（1）求椭圆 的方程 （2）椭圆 的左右两个顶点分别为 ,直线 与椭圆 交于 两点,且满足 ,求 的值. 答案1. （1）设椭圆 的标准方程为 ， 所以，椭圆的标准方程为 .（2）直线 斜率存在，设直线 ： ， ， ，联立方程 消去 得 ， ， ， ，又 ，由 得 ，即， ， ， ， .解得： ， ，且均满足 ，当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾；当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 .由椭圆的对称性所得，当直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，易得
6、直线 ： ， ： ，直线 ， 分别与椭圆交于点 ， ，此时直线 斜率不存在，也过定点 综上所述，直线 恒过定点 2.（1）解：由已知得 设 与 轴交于点 ，由圆的对称性可知， .于是 ，所以 ，所以 ，所以 .故抛物线 的方程为 （2）解：设直线 的方程为 ，设 ，联立 得 ，则 .设 ，同理得 ，则四边形 的面积令 ，则 是关于 的增函数，故 ，当且仅当 时取得最小值 3.（1）解：设椭圆方程为 ，椭圆经过点（2，1）， ， ， ，椭圆方程为 （2）证明：设直线AP方程为y=k（x+2）+1，则直线AQ的方程为y=k（x+2）+1由 可得（1+2k2）x2+4k（2k+1）x+8k2+8k4
7、=0，0，设P（x1 ， y1），由A（2，1）可得 ，P（ ， ），同理可得Q（ ， ），kPQ=1（3）由（2），设PQ的方程为y=x+m，代入椭圆方程得：3x24mx+2m26=0令0，得3m3，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），则 ， 设原点O到直线的距离为d，则 ， ，当 时，OPQ面积的最大值为 4. （1）解：设椭圆的方程为 1(ab0)， 2b2 ，c1，b ，a2b2c24.故所求椭圆的标准方程为 1（2）解：联立方程组 消去y并整理得7x28mx4m2120. 若直线yxm与椭圆 1有两个不同的交点，则有(8m)228(4m212)0，即m27，解得 m .即m
8、的取值范围是( ， )5.（1）解：由题意可得： ， = ，a2=b2+c2 ， 联立解得a=2，b=1，c= 椭圆的标准方程为： =1圆C的方程为：（x2）2+（y1）2=4（2）解：C（2，1），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）直线l的斜率存在，设直线AB的方程为：y=kx， 联立 ，化为：（1+k2）x2（4+2k）x+1=0，=（4+2k）24（1+k2）0，解得： x1x2= ，x1+x2= ， =2，（x12）（x22）+（y11）（y21）=2，又y1=kx1 ， y2=kx2 ， （1+k2）x1x2（2+k）（x1+x2）+7=0，（1+k2） （2+k） +7=
9、0，化为：3k24k=0，解得k=0，k= 直线l的方程为y=0，或y= 6.（1）解：设F1 F2的公共点为Q， 由已知得|F1F2|=2，|QF1|=r，|QF2|=4r，故|QF1|+|QF2|=4|F1F2|，曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2c2=3，曲线E的方程为 （2）解：将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中， 得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，由直线l与椭圆C仅有一个公共点，知=64k2m24（4k2+3）（4m212）=0，化简，得m2=4k2+3，设 ， ，当k0时，设直线l的倾斜角为，则d1d2=MNtan，
10、MN= ，S= | |（d1+d2）=| |= = = ，m2=4k2+3，当k0时，m ，m+ = ，S2 ，当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2 ，四边形F1MNF2面积S的最大值为2 7.（1）解：因为点 为椭圆上一点，所以 ，解得 ，所以椭圆方程为 （2）解：设 ， ，则 ， ，即 ， ，由已知 ，化简得 ，所以 （定值） 8. （1）解：依题意 ，设直线 方程为 ， 则 ，消去 得 ，设 ， ，由韦达定理可得， ， 因为 ，所以 ， 联立和，消去 得 ，所以直线l的斜率是 （2）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线l的距离相等，所以四边形
11、的面积等于 ，因为 所以 ，四边形 的面积的最小值 9. （1）解：根据题意，椭圆 的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半 即 ，则 ，则 ，故椭圆的方程为 （2）解：由（1）得故椭圆的方程为： ，设直线l的方程为： ， 将直线 代入椭圆方程，得 ，设 ， ，则 ，恰好是线段 的中点， ，即 ，解得 ，则直线 的方程为 ，变形可得 10.（1）解：由题意可设椭圆方程为 （ab0），则 则 故 所以，椭圆方程为 （2）解：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 故可设直线l的方程为y=kx+m（m0），P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由 消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21
12、）=0，则=64k2b216（1+4k2b2）（b21）=16（4k2m2+1）0，且 ， 故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以 =k2 ， 即 +m2=0，又m0，所以k2= ，即k= 由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22且m21设d为点O到直线l的距离，则SOPQ= d|PQ|= |x1x2|m|= ，所以SOPQ的取值范围为（0，1） 11. （1）解：在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，如图所示； 使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径；由已知，得A点坐标是（1，4），设抛物线方程为y2=2px（p0），则16=2p1，求得p=8；所以所求抛物线的标准方程是y2=16x，所以焦点坐标是F（4，0）（2）解：盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长. 计算|AF|=x1+ =1+4=5，即每根铁筋的长度是5m12. （1）解：由题意可得 ，所以 . 由椭圆 与圆 ： 的公共弦长为 ，即为圆 的直径，所以椭圆 经过点 ，所以 ，解得 .所以椭圆 的方程为 （2）解：由 得 ， 显然0恒成立设 ，则 ， 又 ， ，又 ， ，整理得 解得 第 10 页 共 10 页
