1、用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.AB D C本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面内的ABC
2、在平面的射影为，作于D，连结AD.于，在内的射影为.又，（三垂线定理的逆定理）.为二面角BC的平面角.设ABC和的面积分别为S和，则.A BD1 C1D CA1 B1E典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图, 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A A1棱的中点，则面BE C1与面AC所成的二面角的大小为( )A. B. C. D. 解：连结AC，则在面AC内的射影是ABC，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为 .A BD1 C1D CA1 B1E设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，A BD CS BM BD.故答案选D.例2（04北京）如图, 已
3、知四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形, SD面AC, SB = . (1) 求证:BCSC;(2) 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;(3) 设棱SA的中点为M, 求异面直线DM与SB所成的角的大小.（1）证明： SD面AC， SC在面AC内的射影是SD. 又四边形ABCD是正方形，面AC， BCSC（三垂线定理）.（2）解： SD面AC，面AC，.又四边形ABCD是正方形，. 而，CD面ASD. 又ABCD，BA面ASD.A BD CS BM BDE SBC在面SAD的射影是SAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为 . 故.所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为.（3）
4、解：取AB的中点E，连结DE、ME.，MESB.异面直线DM与SB所成的角就是，设.A BD CS BM BD，. 故.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.解法二：面SAD，SB在面SAD 内的射影是SA.D AMC BEF又.而面SAD，（三垂线定理）.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB = ，AF = 1，M是线段EF的中点. (1) 求证：AM平面BDE；(2) 求证：面AE平面BDF；D AMC BEFO(3) 求二面角ADFB的大小.证明：（1）设，则，连结OE.四边形ACEF是矩形，EMAO.
5、四边形AOEM是平行四边形，从而AMEO.又平面BDE， AM平面BDE.（2）四边形ABCD是正方形，.又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，面BD面AE= AC ，从而.而，.平面BDF，面AE平面BDF.（3）解：，.BDF在面ADF上的射影是ADF，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为. AB = ，AF = 1，.D AMC BEFO连结FO，则.故.所以二面角ADFB的大小为.例4 （08天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩PA DB C形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，.（1）证明：AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大
6、小；（3）求二面角PBDA的大小.（1）证明： . ，即. 又四边形ABCD是正方形，.而，AB、PA面PAB，AD平面PAB.（2）ADBC，异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角，即.在PAB中，AB = 3，PA = 2，PA DB CE.由（1）得，AD平面PAB.，即. 又BC = AD = 2，. .所以异面直线PC与AD所成的角的大小为.（3）作于E，连结DE.由（1）知，而，面ABCD.PBD在面ABCD内的射影是EBD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为 .，.所以二面角PBDA的大小为.点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱
7、二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！VD CA B金指点睛1.（05全国）如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.（1）证明：AB平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.C BADE2.（06全国）如图，在直三棱柱ABC中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；（2）设，求二面角的大小.EB CA DP3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，PA平面
8、ABCD，PA = 4，AD = 2，BC = 6.（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角APCD的大小.SA BD CE4. （09湖北）如图，四棱柱SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD = AD = a ，点E是SD上的点，且（0）.（1）求证：对任意，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小为，求的值.金指点睛的参考答案1.（05全国）如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.VD CA B（1）证明：AB平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.（1）证明：取AD的中点E，连结VE. . 又平面VAD
9、底面ABCD，VE平面VAD， VE底面ABCD. VA在底面ABCD的射影是AD.ABAD，AB底面ABCD， ABVA（三垂线定理）. 而VA、AD平面VAD，故AB平面VAD.（2）由（1）可知，AB平面VAD， VBD在平面VAD的射影是VAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为. 设正方形的边长为1，则.C BADE .，.所以面VAD与面VDB所成二面角的大小为.2.（06全国）如图，在直三棱柱ABC中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；（2）设，求二面角的大小.（1）证明：取AC的中点F，连结EF、BF. .在直三棱柱ABC中，面A
10、BC，C BADEFDB，EF= DB，面ABC.四边形BDEF是矩形. 从而.在RtABD和Rt中，. RtABDRt. 而 所以ED为异面直线和的公垂线.（2）解：连结. ，即面C BADE在面内的射影是.在面内的射影是.设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.设AB = BC = 1，则. 所以二面角的大小为.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，PA平面ABCD，PA = 4，AD = 2，BC = 6.（1）求证：BD平面PAC；EB CA DP（2）求二面角APCD的大小.（1）证明：在RtABD和RtABC中， AD = 2，BC = 6. . 而
11、，即. 又 PA平面ABCD，平面ABCD，.，PA、AC平面PAC，故BD平面PAC.（2）解：连结PE. 由（1）知，BD平面PAC.PDC在平面PAC内的射影是PEC，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.PA平面ABCD，（三垂线定理）.，从而. EB CA DP.所以二面角APCD的大小SA BD CEO4. （09湖北）如图，四棱柱SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD = AD = a ，点E是SD上的点，且（0）.（1）求证：对任意，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小为，求的值.（1）证明：连结BD. 四边形ABCD是正方形，. 又 SD平面ABCD，SD = a ，点E是SD上的点，且（0）， 点E在线段SD上，且不与点D重合，因而BE在平面ABCD 内的射影是BD. 对任意，都有ACBE（三垂线定理）.（2）解：设，连结EO. SD平面ABCD，点E是SD上的点，平面ABCD， .又四边形ABCD是正方形，.而，SD、AD面SAD. CE在平面SAD内的射影是AE. CAE在在平面SAD 内的射影是DAE. 设它们的面积分别为S和，所成的二面角为，则. . .解得，所以的值为.
