1、二次函数知识梳理知识点1 二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义 形如：f(x)ax2bxc (a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_ ax2bxc (a0)_ _. 顶点式：f(x)_ a(xm)2n(a0)_ _.零点式：f(x)_ a(xx1)(xx2) (a0)_ _.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.已知三个点的坐标时，宜用一般式.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，
2、选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a0定义域xR(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a0a0y，)y(，a0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当的图像与x轴无交点无实根的解集为或者是R; 当的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是R;当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根 的解集为或者是。知识点3 一元二次方程实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令（）（同理讨论的结论）(1) x1, x2
3、, x2,则(3) x1b, x2b,则(4) x1b (2xm恒成立，求实数m的取值范围.变式训练4：(1)已知， 如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；如果对，恒成立，求实数的取值范围 (2)已知二次函数（R，0）如果0，1时，总有|试求的取值范围题型五二次函数与方程 例5已知二次函数（1）若abc,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;（2） 在(1)的条件下,是否存在mR,使池f(m)= - a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.（3）若对,有2个不等实根,证明必有一个根属于例6 二次函数 的零点分别为（1）证明 （2）证明（3）若满足不
4、等式|，试求的取值范围.例7 已知二次函数 （1）若在区间-1，1内至少存在一个实数m，使得，求实数a的取值范围；（2）若对区间-1，1内的一切实数m都有，求实数a的取值范围。题型六二次函数与不等式例8已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x （1）求函数g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)f(x)|x1|； （3）若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围变式训练6：设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；一、选择题1.设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是
5、 ( )2.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是 ()A.m2 B.m2 C.m1 D.m13.已知函数f(x)ax2(bc)x1 (a0)是偶函数，其定义域为ac，b，则点(a，b)的轨迹是()A.线段 B.直线的一部分C.点 D.圆锥曲线4.设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A.(，0 B.2，) C.(，02，) D.0,25.已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 ()A.(0,2) B.(0,8) C.(2
6、,8) D.(，0)6.函数f(x)x2(2a1)|x|1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是() A.a B.a D.a0，12，则实数m的取值范围是_.13.若方程x211x30a0的两根均大于5，则实数a的取值范围是_.14.已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则yf(x)的值域为_.三、解答题15.是否存在实数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.16.已知二次函数f(x)ax2bx (a，b为常数，且a0)，满足条件f(1x)f(1x)，且方程f(x)x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n (mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和3m,3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.
