1、专题01函数的基本性质第四季1对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为_.【答案】由与联立，可得在有解，由，当且仅当时，取得等号，即有，则的取值范围是，故答案为2如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动, 设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是， 有下列结论:函数的值域是；对任意的，都有；函数是偶函数；函数单调递增区间为.其中正确结论的序号是_. (写出所有正确结论的序号)说明: “正三角形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动. 沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转, 当顶点落在轴上时, 再以顶点为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地
2、, 正三角形可以沿轴负方向滚动. 【答案】【解析】点运动的轨迹如图所示. 由图可知：的值域为, 错； 是一个周期函数,周期为,正确；函数的图象关于轴对称，为偶函数, 正确；函数的增区间为和, 错，故答案为.3函数f（x）ax2x+a在1，2上是单调增函数，则实数a的取值范围为_【答案】a|a0或a4【解析】当时，为常数函数，不符合题意.当时，由于，故函数，函数开口向上，对称轴为，故函数在上递增，符合题意.当时，令，解得.此时，故函数在上递减，在上递增，所以是的子集，故，解得，故的取值范围是或.4设a，bR，ab，函数g（x）=|x+t|（xR），（其中表示对于xR，当ta，b时，表达式|x+t
3、|的最大值），则g（x）的最小值为_【答案】（b-a）当-bx-，f（a）f（b），可得g（x）=f（a）=-a-x；当-xa即x-a时，区间a，b为增区间，可得g（x）=f（b）=b+x则g（x）= ，当x-b，g（x）b-a；-x-a时，g（x）（b-a）；当-bx-，g（x）（b-a）；x-a时，g（x）b-a则g（x）的最小值为（b-a）故答案为：（b-a）5关于函数，下列命题中所有正确结论的序号是_其图象关于轴对称； 当时，是增函数；当时，是减函数；的最小值是； 在区间上是增函数；【答案】【解析】函数，定义域为，定义域关于原点对称，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故正确；令，函数在
4、上单调递减，证明如下：任取，且，则，因为，所以，而，所以，故函数在上单调递减。同理可以证明函数在上单调递增，又因为在单调递增，利用复合函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增。由于函数是偶函数，可知在上单调递增，在上单调递减。的最小值为.所以错误，正确。综上正确的结论是.6已知函数f（x）=x3+lg（+x）+5，若f（a）=3，则f（-a）=_【答案】7【解析】根据题意，当x=a时，f（a）=3代入化简可得f（a）=a3+lg（+a）+5=3，即a3+lg（+a）=-2当x=-a时，代入得f（-a）= (-a)3+lg（-a）+5=-a3+lg（-a）+5=-a3+5=-a3+5=-a3
5、+5=-2 +5=77已知函数，若，则a的取值范围是_【答案】【解析】函数，由函数y=sinx，y=在-1，1内都为奇函数，可得函数f（x）在-1，1内为偶函数，由函数y=sinx，y=在0，1内都为增函数，且函数值均为非负数，可得函数f（x）在0，1内为增函数，|a-1|，解得或则a的取值范围是故答案为：8某同学在研究函数f（x）=（xR）时，分别给出下面几个结论：等式f（-x）=-f（x）在xR时恒成立；函数f（x）的值域为（-1，1）若x1x2，则一定有f（x1）f（x2）；方程f（x）=x在R上有三个根其中正确结论的序号有_（请将你认为正确的结论的序号都填上）【答案】【解析】对于，任取
6、，都有，正确； 对于，当时， 根据函数的奇偶性知时， 且时，正确； 对于，则当时， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；再由的奇偶性知，在上也是增函数，且 时，一定有，正确； 对于，因为只有一个根， 方程在上有一个根，错误 正确结论的序号是 故答案为：9已知函数f（x）=（x（-1，1），有下列结论：（1）x（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；（2）m0，+），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；（3）x1，x2（-1，1），若x1x2，则一定有f（x1）f（x2）；（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三个零点则其中正确
7、结论的序号为_【答案】（1）（3）（4）【解析】（1）因为f（x）=（x（-1，1），所以f（-x）=即函数为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0在x（-1，1）恒成立所以（1）正确；（2）因为f（x）=（x（-1，1）为奇函数，所以|f（x）|为偶函数，当x=0时，|f（0）|=0，所以当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，不满足题意，所以（2）错误故x0，1）时，f（x）f（0）=0，因为函数f（x）在（-1，1）上是奇函数，所以当x-1，0）时，f（x）单调递增，且f（x）f（0）=0，综上可知，函数f（x）=在（-1，1）上单调递增，即x1，x2（-1，1），若x1x2，则一定
8、有f（x1）f（x2）成立，故（3）正确.（4）由g（x）=f（x）-kx=0，即，当x=0时，显然成立，即x=0是函数的一个零点，当x（0，1）时，解得，令，解得即（）是函数的一个零点，由于g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+kx=-（f（x）-kx）=- g（x），即g（x）是（-1，1）上的奇函数，故在区间（-1，0）上一定存在（）是函数的另一个零点，所以（4）正确故（1），（3），（4）正确故答案为：（1），（3），（4）10对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一
9、个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则_.【答案】【解析】依题意得，令，得， 函数的对称中心为，则， ，故答案为.11已知函数与都是定义在上的奇函数， 当时，则（4）的值为_【答案】2【解析】根据题意，f（x1）是定义在R上的奇函数，则f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（x）f（2x），又由f（x）也R上的为奇函数，则f（x）f（x），且f（0）0；则有f（2x）f（x），即f（x）f（x2），则函数是周期为2的周期函数，则f（）f（）f（），又由f（）log2（）2，则f（）2，f（4）f（0）0，故f（）+f（4）2+02；故答案为：212已知，函数在区间上的最大
10、值是2，则_【答案】3或【解析】当时， =函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或.13已知,函数在上的最大值为,则_.【答案】或【解析】由题可知且使得等号成立，等价于恒成立且等号至少取到1处所以若则,或所以或可得或若则所以则综上所诉：由于所以或故答案为：或14函数在上的所有零点之和等于_.【答案】8【解析】零点即 ，所以即，画出函数图像如图所示函数零点
11、即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为815已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，若集合，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】若=，则等价为f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立，当x0时若a0，则当x0时， ，f（x）是奇函数，若x0，则-x0，则f（-x）=-x=-f（x），则f（x）=x，x0，综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x-1）f（x）恒成立；若a0，若0xa时， ；当ax2a时， ；当x2a时， 即当x0时，函数的最小值为-a，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）的最大值为a，作
12、出函数的图象如图：由于xR，f（x-1）f（x），故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合图可得 ，即6a2，求得0a ，综上a ，故答案为：16定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是_【答案】【解析】设 则又因为对任意实数x，有所以所以为减函数因为定义在R上的函数为奇函数，由奇函数定义可知=0，即不等式所以，同时除以得，即因为为减函数所以 ，即不等式的解集为17定义在上的函数满足：对，都有，当时，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： _.对，有；函数的值域为；存在，使得；【答案】【解析】因为,所以对;因为当时，当时，当时，当时，因
13、此当时，从而函数的值域为；所以对;因为，所以由上可得,即，无解.所以错；综上正确结论的序号是18时，恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】当时，函数的图象如下图所示：因为对于任意，总有恒成立，则的图象恒在的上方因为与的图象相交于 时代入对数函数，求得 所以此时a的取值范围为19已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，在下列结论中，正确命题的序号是_ 对任何，都有； 函数的值域是； 存在，使得； “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”；【答案】对于，x（1，3时，f（x）=3-x，对任意x（0，+），恒有f（3x）=3f（x）成立，nZ，所以解得n=2，正确；对于，令则所以 函数f（x）在区间（a，b）（3k，3k+1）上单调递减，正确；综上所述，正确结论的序号是故答案为：20定义函数，其中，符号表示数中的较大者，给出以下命题：是奇函数；若不等式对一切实数恒成立，则时，最小值是2450“”是“”成立的充要条件以上正确命题是_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】函数等价于，.这是一个偶函数，故命题错误.对于命题，不等式等价于，即由于，故，所以，故命题是真命题.对于，当时，两式相加得，而，以此类推，可得.故为假命题.对于，即，这对任意的都成立，故不是它的充要条件.命题错误.故填.
