1、专题 02 分段函数及其应用第三季1已知函数 若方程 有且仅有一个实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）A 1 m 1 B 或 m 1 C D 或 m 1【答案】 D【解析】原问题等价于 在区间 1,1 内只有一个实数根，即函数 f x 与函数 的图象在区间 1,1 内只有一个交点，据此绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知：或 g 0 1，由 可得 ，由 g 0 1可得 m 1，综上可得：实数 m的取值范围是 或 m 1.本题选择 D选项.2已知函数 ，设方程 的四个不等实根从小到大依次为x1,x2, x3 ,x4 ，则下列判断中一定成立的是（ ）x xA 1 2 12B 1 x1 x2 4
2、C4 x x 9 D 3 4【答案】 C【 解 析 】 方 程 的 四 个 实 根 从 小 到 大 依 次 为 函 数与函数xy e b的图象有四个不同的交点，且交点的横 坐标从左到右为x1,x2, x3 ,x4 ，作函数 与函数xy e b 的图象如下，由图 可知， ，故x3 x4 4 ， x3 x4 12 ， 易知，即 ，即 ，即，即 ，又 ，故 ，故选 C.3设函数 ，若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】 B【解析】当 时， 在 上单调递增， ，当 时，令 得 或 （1）若 ，即 时， 在 上无零点，此时 ， 在1,+ ) 上有两 个零点，符合题意；（
3、2）若 ，即 时， 在( - ,1) 上有 1 个零点， 在 上只有 1 个零点，4定义在 R 上的函数 若关于 x的方程 ( 其中 m 2 )有 n个不同的实根x , x2 , , xn ,则（ ）1A 5e B 4e C 14eD 13e【答案】 C【解析】画出函数 的图象，如图，由图可知函数 f x 的图象关于 , x e 对称，解 方 程 方 程 ， 得 f x 1或 , f x 1时有 三 个 根 ，时有 两 个 根x4 x5 2e ， 所 以 关 于 x 的 方 程共 有 五 个 根 ，x4 x5 5e ，, 故选 C.5 为自然对数的底数， 已知函数 ，则函数 有唯一零点的充要条
4、件是 （ ）A 或 或 B 或C 或 D 或【答案】 A【解析】作出函数 的图像如图所示，其中 ，则 ，设直线 与曲线相切，则 ，即 ，设 ，则 ，当 时， ，分析可知，当 时，函数 有极大值也是最大值， ，所以当 时，有唯一解，此时直线 与曲线相切分析图形可知，当 或 或 时，函数 的图像与函数 的图像只有一个交点，即函数有唯一零点故选 .6已知定义在 R 上的函数 且 , 若方程 有三个不相等的实数根 , 则实数 k 的取值范围是A13,1B 1 1 ,3 4C D 【答案】 C【解析】因为 ，所以函数 f x 是以 2 为周期的周期函数，作出函数 f x 的图象（如图所示），方程 有三个
5、不相等的实数根，即直线 y kx 2 与 y f x 的图象有 3 个不同的交点，当 k 0 时，由图象得13k 1，同理得 ，即 或13k 1. 故选 C.7已知函数 ，若函数 的图象与 轴的交点个数不少于 2 个，则实数 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】 A【解析】由题可知函数 的图象与 轴的交点个数不少于 2 个，即为函数 y=f(x) 的图像与函数 y=mx+m的图像的交点个数不少于 2 个，由于函数 y=mx+m的图像过定点 P（-1,0 ），且斜率为 m,作出函数 y=f(x) 的图像如图所示，数形结合可知，当动直线过点 A 时有 2 个交点，当动直线为 的切线时，即过点
6、 B 时有两个交点，在这两种 极限位置之间有 3 个交点，易知 设直线 y=mx+m与函数的图 像相 切 ，联 立 方 程组 由 题 可知又 x1. 所以过点（ -1,0 ）作 的切线，设切点坐标为 ，则 此时，切线的斜率为故实数 m的取值范围为 . 综上实数 m的取值范围为 .故选 A.8已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】 D9已知函数 ，则关于 的方程 （ ）的实根个数不可能为（ ）A B C D 【答案】 A【解析】当 时， 在 上是减函数，当 时， 在 上是减函数，在 ）上是增函 数，做出 的大致函数图象如图所示：设 ，则当 时，方程 有一解，当 时，
7、方程 有两解，当 时，方程 有三解由 得若方程 有两解 则方程 不可能有两个负实数根，方程 不可能有 2 个解故选 A10已知定义域为 的函数 满足 ，当 时， ， 设在 上的最大值为 ，且 的前 项和为 ，若 对任意的正整数 均成立，则 的最小值是（ ）A B C 3 D 2【答案】 A【解析】 , , 时， ； 时， ，时， 最大值为 ； ， 时， 最大值为 ； 时 最大值为 ， 时， 最大值为 ， ，对任意 均成立， 最小值为 ，故选 A.11已知函数 ，若存在 ，使得关于 的函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】 B【解析】 , , 当 时, , 其
8、对称轴 , 则函 数在 上 为增函数 , 此时 的 值域为 ; 当 时, , 其对 称轴, 则函数在 上为增函数 , 此时函数的值域为 , 函数在 上为减函数 , 值 域 为 . 由 于 关 于 的 函 数 有 三 个 不 同 的 零 点 , 所 以. 而 为增函数 , 故 . 所以 . 故选 B.12 定义 在 上的 函 数 满 足 ， 当 时 ， ， 函数. 若对任意 ，存在 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】 A【解析】由题得函数 在0,1 上的值域为 ，函数 在1, 上是减函数，在 上是增函数，所以函数在 上的值域为 .所以函数 在 的值域为 .因为定义
9、在 上的函数 满足，所以函数 在 的值域为 .所以函数 在 的值域为 .所以函数 f(x) 在 的最小值为 -12.函数 g（x） =x 3+3x2+m， =3x 2+6x，令 3x 2+6x0，所以 x0 或 x 2，令 3x 2+6x0，所以 2x0，函数 g（x） =x 3+3x2+m，在（， 2），（0，+）单调递增在（ 2， 0）单调递减，? t 4， 2），g（t ）最小 =g（ 4）=m16，不等式 f （s） g（ t ） 0，12 m 16，故实数满足m 4，故答案为：A13已知函数 ， .设为实数，若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】
10、 B【解析】当 时， ， ， ， 当 时， 单调递增， 综上可得 若存在实数 ，使得 成立，则 ，即 ，整理得 ，解得 实数 的取 值范围为 故选 B14 已知 函数 ，函数 有四个 不同的 零点 ， 且满足：， 则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】 B【解析】,由二次函数的对称性可得由 可得 ，函数 有四个不同的零点，等价于 的图象与 的图象有四个不同的交点，画出 的图象与 的图象，由图可得 ， =令 ， ，故选 B.15 设 函 数 ， 若 存 在 互 不 相 等 的 4 个 实 数 ， 使 得，则 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】 C则 ，令 ，解得 ，可知函数 在区
11、间 单调递减，在区间 上单调递增，若使函数 有两个零点，必有 ，解得 ，故选 C.16已知函数 ，若 恰有 5 个不同的根，则这 5 个根的和的取值范围为A B C D 【答案】 A【解析】不妨设 的 个根从小到大为 ，即为 与 交点横坐标从小到大为 ，由正弦定理函数的对称性可得， ，于是由 ，得 ，由 ，得 ，即 个根的和的取值范围为 ，故选 A.17已知 为定义在上的函数，其图 象关于 轴对称，当 时，有 ，且当 时，若函数 恰 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】 D【解析】 f （ x）为定义在R上的偶函数，且当 x 0 时，有 f （ x+1）=-f
12、（x），且当 x0 ，1）时， f （x）=log 2（x+1），故函数 f （x）的图象如下图所示：所以 恰有 个不同的零点，则只需 y=kx 与 y 轴右边x 轴上方的图像交两个点和与 y轴左边x 轴下方的交两个点即可，而在，故 ，又 y 轴左边x 轴下方的交两个点只需 ，故综合得答案为：，故选D.18已知函数 （ 是自然对数底数） ，方程 有四个实数根， 则 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】 B令 f （ x）=m，则方程 m 2+tm+1=0 应有两个不等根，且一个 根在（ 0， ）内，一个根在（ ，+）内，再令 g（m） =m 2+tm+1，因为g（0）=10，则只需g（
13、） 0，即（ ）2+ t+1 0，解得： t 所以，方程 f2（x）+tf （x）+1=0（t R）有四个实数根的 t 的取值范围是（ - ， ）选B.19已知函数 ， 若关于 的方程 有两个不等实数根 ，且 ，则 的最小值是（ ）A B C D 【答案】 D【解析】因为f ( x)=x 3+sinx 是奇函数且 f ( x)=3x2+cosx 0，所以 f( x)= x3+sinx 单调递增，若关于 x 的方程 f ( g( x)+ m=0 恰有两个不等实根 ，等价于 f (t )+ m=0 有且只有一个根， t =g( x) 有且只有两个根 ，且 ，所以 ，设函数 t (x)= x-2 l
14、n ( x+l )+2, 则 ，所以当 0x1 时 ，t ( x)1 时， t ( x)0 ，t ( x) 单调递增，所以， f ( x) 的极小值即最小值是 t (1)=3-21 n2，即 的最小值为3-2 ln 2.本题选择D选项.20已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大依次为， ， ， ，则 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】 B【解析】当 x 0 时， f （x）= ，可得 f （x）在 x 2 递增，在 0x2 处递减，(x+1)2由 f （ x）=e ，x 0，x-1 时， f （ x）递减；-1 x0 时， f （ x）递增，可得 x=-1 处取得极小值1，作出 f （x）的图象，以及直线y=a，可得 e(x +1)2=e1(x2 +1)2 = ，+1)2 = ，即有 x1+1+x2+1=0，可得 x1=-2-x 2， -1 x2 0，可得 x3x4=4，x1x2+x3x4=4-2x 2-x 2 2+1） 2=-（ x2=-（ x2+5，在 -1 x 2 0 递减，2 0 递减，可得所求范围为4 ，5）故选B.
