1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）（试题及答案解析）一、选择题：（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分）1已知集合2 2A (x, y) x y 1 ， B (x, y) y x ，则 A B 中元素的个数为（） A3 B2 C1 D0【答案】 B【解析】 A 表示圆2 2x y 1上所有点的集合， B 表示直线 y x 上所有点的集合，故 A B 表示两直线与圆的交点， 由图可知交点的个数为 2，即 A B 元素的个数为 2，故选 B.2设复数 z满足 (1 i) z 2i ，则 z （）A12B22C 2 D2【答案】 C【解析】由题，2i 2i 1 i 2i 2z i
2、1，则 z 12 12 2，故选 C.1 i 1 i 1 i 23某城市为了解游客人数的变化规律，提升旅游服务质量，收集并整理了 2019年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图2019年 2019年 2019年根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8月 D各年 1月至6月的月接待游客量相对于 7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2019年8月到9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误，故选 A.45(x y)(2 x y) 的展开式中3 3
3、x y 的系数为（） A B C40 D80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含3 3x y 的项为2 3 3 22 3 3 3x C 2x y y C 2x y 40x y ，则5 53 3x y 的系数为 40，故选 C.2 2x y5已知双曲线 2 2 1C： （ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为a b2 2x y1有公共焦点则 C 的方程为（）12 3 2 2 2 2 2 2 x y x y x yA 1 B 1 C 18 10 4 5 5 4【答案】 B5y x ，且与椭圆2D2 2x y4 31【解析】 双曲线的一条渐近线方程为5y x ，则2ba522 2x
4、 y2 2 2 9 又 椭圆 1与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a b c 12 32 2x y由 解得 a 2,b 5 ，则双曲线 C 的方程为 1，故选 B.4 56设函数f (x) cos(x ) ，则下列结论错误的是（）3A f (x) 的一个周期为 2 B y f (x) 的图像关于直线 8x 对称 3C f (x ) 的一个零点为x D f (x) 在6( , ) 2单调递减【答案】 D【解析】函数f x cos x 的图象可由 y cos x 向左平移3个单位得到，3如图可知， f x 在,2上先递减后递增， D选项错误，故选 D.y O x-67执行右图的程序框图，为使
5、输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（）A5B4C3D2 【答案】 D 【解析】程序运行过程如下表所示：S M 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91 首次满足条件， 程序需在 t 3 时跳出循环， 即N 为满足条件的最小值，故选 D.28已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A B34CD4【答案】 B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径22 1 3r 1 ，2 2则圆柱体体积2 3V r h ，故选 B.49等差数列 an 的首项为
6、 1，公差不为 0若a ，a3 ， a6 成等比数列，则 an 前6项的和为2（） A 24 B 3 C3 D8【答案】 A【解析】 an 为等差数列，且a a a 成等比数列，设公差为 .2 , 3 , 6则2a a a ，即3 2 62a1 2d a1 d a1 5d又 a1 1，代入上式可得2 2 0d d又 d 0 ，则 d 26 5 6 5S 6a d 1 6 2 24，故选 A. 6 12 22 2x y10已知椭圆 C : 1（a b 0 ）的左、右顶点分别为 A1 ，A2 ，且以线段 A1 A2 为直径 2 2a b的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（
7、）A63B33C2D13【答案】 A【解析】 以 A1 A2 为直径为圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，圆心到直线距离等于半径，2abd a2 2a b又 a 0,b 0 ，则上式可化简为 a2 3b22 2 2b a c ，可得2 3 2 2a a c ，即22ca23eca63，故选 A11已知函数2 x 1 x 1f x x x a 有唯一零点，则 a （）( ) 2 (e e )A1B13C12D1【答案】 C【解析】由条件，2 x 1 x 1f (x) x 2x a(e e ) ，得：2 2 x 1 (2 x) 1f (2 x) (2 x) 2(2 x) a(e e )2 1
8、x x 1x 4x 4 4 2x a(e e )2 x 1 x 1x 2x a(e e ) f (2 x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点， f (x) 的零点只能为 x 1 ，即2 1 1 1 1f (1) 1 2 1 a(e e ) 0 ，解得 1a 212在矩形 ABCD 中， AB 1 ， AD 2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP AB AD ，则 的最大值为（） A3 B 2 2 C 5 D2【答案】 A 【解析】由题意，画出右图 设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE 以 A 为原点， AD 为轴
9、正半轴， AB为轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为 (2,1) |CD | 1 ，|BC | 2 BD 12 22 5 BD 切 C 于点 E CE BD CE 是 RtBCD 中斜边 BD 上的高 12 | BC | | CD |2 2 2 2SBCD| EC | 5 BD BD| | | | 5 5即 C 的半径为255 P 在 C 上 P 点的轨迹方程为2 2 4(x 2) (y 1)5设 P 点坐标 (x0 , y0 ) ，能够设出 P 点坐标满足的参数方程如下：x022 5 cos 5y021 5 sin 5而AP (x , y ) ， AB (0,1) ， AD (2,0)
10、0 0 AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )1 5 2x 1 cos ， y0 1 5 sin 02 5 5两式相加得： 2 51 5 sin 1 cos 5 52 5 52 22 ( ) ( ) sin( )5 52 sin( ) 3(其中 sin55，cos2 55)当且仅当22 k ， k Z 时， 取得最大值 3二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）yPgx y 0,C x y 2 0,则 z 3x 4y 的 B13若x，y满足约束条件y 0,最小值为 _【答案】 1EA O D x( )【解析】由题，画出可行域如图： 3 z目标函数为 z 3x 4
11、 y ，则直线y x 纵截距越大，值越小 4 4由图可知：在A 1,1 处取最小值，故zmin 3 1 4 1 1 x y y2 0A(1,1)xB(2,0)x y 014设等比数列 an 满足【答案】 8a1 a2 1， a1 a3 3 ，则 a4 _【解析】 an 为等比数列，设公比为a a1 2a a1 313，即a a q1 12a a q1 11 3，显然q 1， a1 0 ，a a q 1 2 8 4 1得 1 q 3 ，即 q 2 ，代入 式可得 a1 1，3315设函数f (x)x x1, 0,x2 ,x 0,1则满足( ) ( ) 1f x f x 的x的取值范围是 _2【答
12、案】14,【解析】 f xx 1,x 0x2 ,x 0，1f x f x 1 ，即21f x 1 f x2由图象变换可画出1y f x 与 y 1 f x 的图象如下：2y 1y f ( x ) 21 1( , )4 41212xy 1 f (x)1f x 1 f x 的解为由图可知，满足214,.16，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与，都垂直，斜边AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论 ：当直线 AB 与成 60 角时， AB与成 30 角；当直线 AB 与成 60 角时， AB与成 60 角； 直线 AB与所成角的最小值为 45 ；直线 AB
13、与所成角的最大值为 60 其中准确的是 _（填写所有准确结论的编号）【答案】 【解析】由题意知， a、b、 AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图 不妨设图中所示正方体边长为 1，故 | AC | 1， AB 2 ，斜边AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则 A点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心， 1为半径的圆 以 C 为坐标原点，以 CD 为轴正方向， CB 为轴正方向， CA 为轴正方向建立空间直角坐标系则 D (1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线的方向单位向量a (0,1,0) ， | a | 1B 点起始坐标为 (0,1,0) ，直线的方向单位向量 b (1,0,0)
14、 ，|b | 1设 B 点在运动过程中的坐标 B (cos ,sin ,0) ，其中为 B C 与CD 的夹角， 0,2 ) 那么 AB 在运动过程中的向量 AB ( cos , sin ,1)， | AB | 2 设 AB 与所成夹角为0, 2，则( cos , sin ,1) (0,1,0) 2 2cos | sin | 0, 2 2a AB故 , 4 2，所以 准确， 错误 设 AB 与所成夹角为0, 2，cosAB bb AB( cos ,sin ,1) (1,0,0) .b AB22| cos |当 AB 与夹角为 60 时，即，31 2sin 2 cos 2 cos 23 2 22
15、 2cos sin 1，| cos |222 1cos | cos |2 20, 2=，此时 AB 与夹角为 60 3 准确， 错误 三、解答题：（共 70分第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60分17（12分） ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ，b 2 （1）求c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求 ABD 的面积【解析】 （1）由 sin A 3 cos A 0 得2sin A 0 ，3即A k k Z ，又 A 0,，3A
16、 ，得32A .3由余弦定理2 2 2a b c bc A .又2 cos1a 2 7,b 2, cosA 代入并整理得22c 1 25，故 c 4 .（ 2） AC 2, BC 2 7, AB 4 ，由余弦定理cos C2 2 2 2 7a b c2ab 7. AC AD ，即 ACD 为直角三角形，则 AC CD cos C ，得 CD 7 .由勾股定理2 2AD CD AC 3 .又2A ，则32 DAB ，3 2 61 S AD AB sin 3 .ABD2 618（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2
17、元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）相关如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15 15，20 20，25 25，30 30，35 35，40天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）当六月
18、份这种酸奶一天的进 货量（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【解析】 易知需求量可取 200,300,500P X 2002 16 130 3 5P X 30036 230 3 5 25 7 4 2P X 500 . 30 3 5则分布列为：X 200 300 500P2525 当 n 200 时： Y n 6 4 2n ，此时 Ymax 400 ，当 n 200 时取到 .当 200 n 300 时：4 1Y 2n 200 2 n 200 2 5 58 800 2n 6n 800 n5 5 5此时 Ymax 520 ，当 n 300 时取到 .当 300 n 500 时，1 2
19、 2Y 200 2 n 200 2 300 2 n 300 2 n 25 5 53200 2n5此时 Y 520 .当 n 500 时，易知一定小于 的情况 .综上所述：当 n 300 时，取到最大值为 520 .19 （ 12 分 ） 如图， 四 面 体 ABCD 中 ， ABC 是 正 三 角 形 ， ACD 是 直 角 三 角形 ? ABD ? CBD ， AB= BD （1）证明：平面 ACD 平面 ABC ；D（2）过AC 的平面交 BD 于点 E ，若平面 AEC把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分求二面角 D - AE - C 的余弦值CEBD【解析】 取 AC 中点为 O
20、，连接BO ， DO ； AABC 为等边三角形 BO AC AB BCCEAB BCOBD BD ABD CBD .BABD DBC AD CD ,即 ACD 为等腰直角三角形， ADCA 为直角又 O 为底边 AC 中点 DO AC令 AB a，则AB AC BC BD a易得：2OD a ，23OB a22 2 2OD OB BD由勾股定理的逆定理可得 DOB2即 OD OBOD ACOD OBAC OB OAC ABC平面OD 平面 ABCzDOB ABC平面又 OD 平面 ADC由面面垂直的判定定理可得 平面 ADC 平面 ABCC E 由题意可知 V VD ACE B ACEO即
21、B , D 到平面 ACE 的距离相等B y即 E 为 BD 中点以 O 为原点， OA 为轴正方向， OB为轴正方向，OD 为轴正方向，设AC a ，建立空间直角坐标xA系， a a则 O 0,0,0 ， A ,0,0 ， D 0,0, ， 2 23B 0, a,0 ，23 aE 0, a,4 4易得：a 3 a a a aAE , a, ， AD ,0, ，OA ,0,02 2 22 4 4设平面 AED的法向量为n ，平面 AEC 的法向量为1n ，2则AE n1AD n10，解得 n1 3,1, 30AE n2OA n200，解得 n2 0,1, 3若二面角 D AE C 为，易知为锐
22、角，则cosn n1 2n n1 27720（12分）已知抛物线 段 AB为直径的圆2C y = x ，过点（ 2，0）的直线交 C 于 A， B 两点，圆 M 是以线: 2（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P （4，- 2 ），求直线与圆 M 的方程【解析】 显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设 l : x my 2 ，A(x , y ) ， B( x2 , y2 ) ，1 1联立：2 2y xx my2得2y 2my 4 0 ，4m2 16 恒大于， y1 y2 2m ，uur u uurOA OB x x y y1 2 1 2y1 y2 4
23、 (my 2)( my 2)1 22(m 1)y y 2m( y y ) 41 2 1 22 4(m 1) 2m(2 m) 4 0uur u uur OA OB，即 O 在圆 M 上u uur uur若圆 M 过点 P ，则 AP BP 0(x 4)( x 4) ( y 2)( y 2) 01 2 1 2(my 2)( my 2) ( y 2)( y 2) 01 2 1 22(m 1)y y (2m 2)( y y ) 8 01 2 1 2化简得22m m 1 0 解得 1m 或 2当1m 时， l : 2x y 4 0 圆心为2Q( x , y ) ，0 0y y 1 1 91 2y ， x
24、0 y0 2 ，02 2 2 4半径r | OQ |2 29 14 2则圆9 1 852 2M : (x ) ( y ) 4 2 16当 m 1时， l : x y 2 0 圆心为y y1 2y0 1 ， x0 y0 2 3 ，2Q( x , y ) ，0 0半径 r | OQ | 32 12则圆2 2M : (x 3) ( y 1) 1021（ 12分）已知函数 f ( x) x 1 a ln x （1）若 f (x) 0 ，求 a 的值；（2）设m 为整数， 且对于任意正整数，1 1 1(1 )(1 ) (1 n ) m+ + 鬃? ，求 m 的最小值22 2 2【解析】 f (x) x
25、1 aln x ， x 0a x a则 ( ) 1 ，且 f (1) 0f xx x当 a 0 时， f x 0 ， f x 在 0 ， 上单调增，所以 0 x 1时， f x 0 ，不满足题意；当 a 0 时，当 0 x a 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 (0,a)上单调递减；当 x a 时， f (x) 0 ，则 f ( x) 在 (a, ) 上单调递增若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上单调递增 当 x ( a,1) 时 f (x) f (1) 0 矛盾若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上单调递减当 x (1,a) 时 f (x) f (1) 0 矛盾若
26、 a 1 ， f (x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1, ) 上单调递增 f (x) f (1) 0 满足题意综上所述a 1 当 a 1 时 f (x) x 1 ln x 0即 ln x x 1则有ln( x 1) x 当且仅当 x 0 时等号成立1 1ln(1 )k k ，2 2*k N一方面：1 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) . ln(1 n ) . n 1 n 1，2 22 2 2 2 2 2 2即1 1 1(1 )(1 ).(1 n ) e 22 2 2另一方面：1 1 1 1 1 1 135(1 )(1 ).(1 ) (1 )(1 )(1 ) 22 n
27、2 32 2 2 2 2 2 64当 n 3 时，1 1 1(1 )(1 ).(1 ) (2,e)2 n2 2 2*m N ，1 1 1(1 )(1 ).(1 )n m ，22 2 2 m 的最小值为22选修4-4：坐标系与参数方程 （10分）在直角坐标系 xOy中，直线的参数方程为x t, y kt,（ t为参数），直线 l 的参数方程为x m,ymk,（m为参数），设与 l 的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C（1）写出 C的普通方程：（2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : (cos sin ) ，M为与C的交点，求 M的极径【解析】 将参数方程转化为
28、一般方程l1 : y k x 2 1l : y x 22k 消可得：2 2 4x y即 P 的轨迹方程为2 2 4x y ； 将参数方程转化为一般方程l3 : x y 2 0 联立曲线C 和x y2 2x y2 04解得x3 22y22由xycossin解得 5即 M 的极半径是 5 23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数 f (x) | x | | x | （1）求不等式 f (x) 的解集；（2）若不等式 f (x) x x m 的解集非空，求 m的取值范围3, x 1【解析】 f x | x 1| | x 2 |可等价为 f x 2x 1, 1 x 2 .由 f x 1 可得：3,
29、 2x当 x 1时显然不满足题意；当 1 x 2时， 2x 1 1，解得 x 1；当 x 2 时， f x 3 1 恒成立 .综上， f x 1的解集为 x| x 1 . 不等式2f x x x m等价为2f x x x m，令2g x f x x x ，则g x m解集非空只需要2x x 3,x 1g x m .max而2g x x 3x 1, 1 x 22x x 3,x 2.当 x 1时， g x max g 1 3 1 1 5 ；当 1 x 2时，23 3 3 5g x g 3 1 ；max2 2 2 4当 x 2 时，2g x max g 2 2 2 3 1.综上，5g x ，故max45m .4
