1、目录2021 年高考数学全国乙卷理科真题12021 年高考数学全国乙卷理科真题解析52021 年高考数学全国乙卷文科真题132021 年高考数学全国乙卷文科真题解析172021 年高考数学全国甲卷理科真题242021 年高考数学全国甲卷理科真题解析292021 年高考数学全国甲卷文科真题382021 年高考数学全国甲卷文科真题解析432021 年新高考数学 I 卷真题522021 年新高考数学 I 卷真题解析562021 年高考数学北京卷真题672021 年高考数学北京卷真题解析712021 年高考数学上海卷真题802021 年高考数学上海卷真题解析832021 年高考数学浙江卷真题91202
2、1 年高考数学浙江卷真题解析962021 年八省联考数学真题1072021 年八省联考数学真题解析1112021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题1152021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题解析1192021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题1252021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题解析1292021 年 3 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题1352021 年 3 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题解析1392021 年 3 月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题145目录ii2021 年 3 月中学生标准学术能力诊断
3、性测试文科真题解析1502021 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项:1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 设 2(z + z) + 3(z z) = 4 + 6i, 则 z =( ).A：
4、1 2iB： 1 + 2iC： 1 + iD： 1 i 2. 已知集合 S = s | s = 2n + 1, n Z, T = t | t = 4n + 1, n Z, 则 S T =( ).A： B： SC： TD： Z3. 已知命题 p : x R, sin x 1 命题 q : x R, e|x| 1, 则下列命题中为真命题的是 ( ).A： p qB： p qC： p qD： (p q)4. 设函数 f (x) = 1 x , 则下列函数中为奇函数的是 ( ).1 + xA： f (x 1) 1B： f (x 1) + 1C： f (x + 1) 1D： f (x + 1) + 15
5、. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, P 为 B1D1 的中点, 则直线 PB 与 AD1 所成的角为 ( ).A： 2B： 3C： 4D： 66. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训, 每名志愿者只分配到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者. 则不同的分配方案共有 ( ).A： 60 种B： 120 种C： 240 种D： 480 种7. 把函数 y = f (x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移 个单23位长度, 得到函数 y = sin(x ) 的图像, 则 f (x) =
6、( ).42A： sin( x 7 x 7 122121212)B： sin(+)C： sin(2x )D： sin(2x +)8. 在区间 (0, 1) 与 (1, 2) 中各随机取 1 个数, 则两数之和大于 7 的概率为 ( ).4A： 79B： 2332C： 932D： 299. 魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海岛的高. 如图, 点 E, H, G 在水平线 AC 上, DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度, 称为“表高”, EG 称为“表距”, GC 和 EH 都称为“表目距”, GC 与 EH 的差称为“表目距的差”. 则海岛
7、的高 AB =( ).表目距的差表目距的差A： 表高 表距 + 表高B： 表高 表距 表高2021 年高考数学全国乙卷理科真题2表目距的差表目距的差C： 表高 表距 + 表距D： 表高 表距 表距BAEHGC(第 9 题图)10. 设 a = 0, 若 x = a 为函数 f (x) = a(x a)2(x b) 的极大值点, 则 ( ).A： a bC： ab a211.x2y2,设 B 是椭圆 C : a2 + b2 = 1 (a b 0) 的上顶点 若 C 上的任意一点 P 都满足 |PB|2b 则 C 的离心率的取值范围是 ( ).A： 2, 1)B： 21 , 1)C： (0,221
8、D： (0, 2212. 设 a = 2 ln 1.01, b = ln 1.02, c = 1.04 1, 则 ( ).A： a b cB： b c aC： b a cD： c a 0) 的一条渐近线为3x + my = 0 则 C 的焦距为 14. 已知向量 a = (1, 3), b = (3, 4), 若 (a b) b, 则 = .15. 记 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 面积为 3, B = 60, a2 + c2 = 3ac, 则 b = .16. 以图 为正视图, 在图 中选两个分别作为侧视图和俯视图, 组成某个三棱锥的三视图, 则所选侧视图和
9、俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).111222图图图2222图图(第 16 题图)3三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一) 必考题: 共 5 小题, 每小题 12 分, 共 60 分. 17. (12 分)某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7
10、新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y, 样本方差分别记为 s2 和 s2.12 .(1) 求 x, y, s2, s21 2s2 + s2(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 (如果 y x 2备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则不认为有显著提高). 12 , 则认为新设218. (12 分)如图, 四棱锥 P ABCD 的底面是矩形, PD 底面 ABCD, PD = DC = 1, M 为 BC 的中点, 且 PB AM .(1) 求
11、 BC(2) 求二面角 A PM B 的正弦值.P19. (12 分)AB(第 18 题图)记 S 为数列 a 的前 n 项和, b 为数列 S 2 1 的前 n 项积, 已知+= 2.nnnnSnbn(1) 证明: 数列 bn 是等差数列(2) 求 an 的通项公式.2021 年高考数学全国乙卷理科真题420. (12 分)设函数 f (x) = ln(a x), 已知 x = 0 是函数 y = xf (x) 的极值点.(1) 求 a(2) 设函数 g(x) = x + f (x), 证明: g(x) 0) 的焦点为 F , 且 F 与圆 M : x2 + (y + 4)2 = 1 上点的
12、距离的最小值为 4.(1) 求 p(2) 若点 P 在 M 上, PA, PB 是 C 的两条切线, A, B 是切点, 求 PAB 面积的最大值.(二) 选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22. 【选修 4 4: 坐标系与参数方程】(10 分)在直角坐标系 xOy 中, C 的圆心为 C(2, 1), 半径为 1.(1) 写出 C 的一个参数方程(2) 过点 F (4, 1) 作C 的两条切线. 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极坐标方程.23. 【选修 4 5: 不等式选讲】(10 分
13、) 已知函数 f (x) = |x a| + |x + 3|.(1) 当 a = 1 时, 求不等式 f (x) 6 的解集(2) 若 f (x) a, 求 a 的取值范围.2021 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷 (参考答案)注意事项:1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5
14、分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 设 2(z + z) + 3(z z) = 4 + 6i, 则 z =( ).A： 1 2iB： 1 + 2iC： 1 + iD： 1 i答案：C.解析：设 z = a + bi, 则 z = a bi, 2(z + z) + 3(z z) = 4a + 6bi = 4 + 6i, 所以 a = 1, b = 1, 所以 z = 1 + i. 2. 已知集合 S = s | s = 2n + 1, n Z, T = t | t = 4n + 1, n Z, 则 S T =( ).A： B： SC： TD： Z答案：
15、C.解析：s = 2n + 1, n Z:当 n = 2k, k Z 时, S = s | s = 4k + 1, k Z 当 n = 2k + 1, k Z 时, S = s | s = 4k + 3, k Z.所以 T S, S T = T . 故选 C.3. 已知命题 p : x R, sin x 7 的概率. 绘图如下所示.S阴1 1 1 AM AN1 1 3 323故 P =S正 ABCD21 1=2414 =.329. 魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海岛的高. 如图, 点 E, H, G 在水平线 AC 上, DE 和 FG 是两个垂直于水平面且
16、等高的测量标杆的高度, 称为“表高”, EG 称为“表距”, GC 和 EH 都称为“表目距”, GC 与 EH 的差称为“表目距的差”. 则海岛的高 AB =( ).表目距的差表目距的差A： 表高 表距 + 表高B： 表高 表距 表高C： 表高 表距 + 表距D： 表高 表距 表距表目距的差表目距的差BAEHGC(第 9 题图)7答案：A.解析：连接 DF 交 AB 于 M , 则 AB = AM + BM .BMDFAEHGCtan tan GCEH记 BDM = , BFM = , 则 MB MB = MF MD = DF . 而 tan = FG , tan = ED . 所以tan
17、tan tan tan FGEDED MB MB = MB( 1 1 ) = MB ( GC EH ) = MB GC EH.故 MB = ED DF = 表高 表距, 所以高 AB = 表高 表距 + 表高.GC EH表目距的差表目距的差10. 设 a = 0, 若 x = a 为函数 f (x) = a(x a)2(x b) 的极大值点, 则 ( ).A： a bC： ab a2答案：D.解析：若 a 0, 其图像如图 (1), 此时, 0 a b 若 a 0, 其图像如图 (2), 此时, b a 0.(1)(2)综上, a2 b 0) 的上顶点心率的取值范围是 ( ).若 C 上的任意
18、一点 P 都满足 |PB|2b 则 C 的离A： 2, 1)B： 21 , 1)C： (0,221D： (0, 22答案：C.x2y2y2解析：由题意, 点 B(0, b). 设 P (x0, y0), 则 0 + 0 = 1 x2 = a2(1 0 ). 故a2b2y20b2c22222 022 222|PB|= x0 + (y0 b)= a (1 b2 ) + y0 2by0 + b= b2 y0 2by0 + a+ b , y0 b, b.b3c2由题意, 当 y0 = b 时, |PB|2 最大. 则 b, b2 c2, a2 c2 c2, e =c2a22, 即 e (0, 2 .1
19、2. 设 a = 2 ln 1.01, b = ln 1.02, c = 1.04 1, 则 ( ).A： a b cB： b c aC： b a cD： c a b2021 年高考数学全国乙卷理科真题解析8答案：B.解析：设 f (x) = ln(1 + x) 1 + 2x + 1, 则 b c = f (0.02). 易得f(x) = 1 2= 1 + 2x (1 + x) .1 + x2 1 + 2x(1 + x) 1 + 2x当 x 0 时, 1 + x =(1 + x)2 1 + 2x, 故 f(x) 0.所以 f (x) 在 0, +) 上单调递减. 所以 f (0.02) f (
20、0) = 0. 故 b c.再设 g(x) = 2 ln(1 + x) 1 + 4x + 1, 则 a c = g(0.01). 易得g(x) = 2 4= 2 1 + 4x (1 + x) .1 + x2 1 + 4x(1 + x) 1 + 4x当 0 x g(0) = 0. 故 a c.综上, a c b.二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.x22,.已知双曲线 C : m y答案：4.= 1 (m 0) 的一条渐近线为3x + my = 0 则 C 的焦距为 解析：易知双曲线渐近线方程为 y = bx, 由题意得 a2 = m, b2 = 1, 且一条
21、渐近线方程为 y = 3 x, 则有amm = 0 (舍去), m = 3. 故焦距为 2c = 4.14. 已知向量 a = (1, 3), b = (3, 4), 若 (a b) b, 则 = .答案： 3 .55解析：由题意得 (a b) b = 0, 即 15 25 = 0, 解得 = 3 .15. 记 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 面积为 3, B = 60, a2 + c2 = 3ac, 则 b = .答案：22.解析：S= 1 ac sin B = 3 ac = 3, 所以 ac = 4.ABC24由余弦定理, b2 = a2 + c2 ac =
22、 3ac ac = 2ac = 8, 所以 b = 2 2.16. 以图 为正视图, 在图 中选两个分别作为侧视图和俯视图, 组成某个三棱锥的三视图, 则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).答案： 或.解析：由高度可知, 侧视图只能为 或.PPABC(1)B(2)9侧视图为, 如图 (1). 平面 PAC 平面 ABC, PA = PC = 2, BA = BC = 5, AC = 2. 俯视图为. 俯视图为, 如图 (2). PA 平面 ABC, PA = 1, AC = AB = 5, BC = 2. 俯视图为.图图图图图(第 16 题图)三、解答题: 共 70
23、 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一) 必考题: 共 5 小题, 每小题 12 分, 共 60 分. 17. (12 分)某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本
24、平均数分别记为 x 和 y, 样本方差分别记为 s2 和 s2.12(1) 求 x, y, s2, s21 2判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(2)( . s2 + s2 ,如果 y x2122则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则不认为有显著提高).解：(1) 各项所求值如下所示.1x =(9.8 + 10.3 + 10.0 + 10.2 + 9.9 + 9.8 + 10.0 + 10.1 + 10.2 + 9.7) = 10.0,101y =(10.1 + 10.4 + 10.1 + 10.0 + 10.1 + 10.3 + 10.6 + 1
25、0.5 + 10.4 + 10.5) = 10.3,10s2 = 1 (9.7 10.0)2 + 2 (9.8 10.0)2 + (9.9 10.0)2 + 2 (10.0 10.0)2 + (10.1 10.0)2+110s2 = 1 (10.0 10.3)2 + 3 (10.1 10.3)2 + (10.3 10.3)2 + 2 (10.4 10.3)2+2 (10.2 10.0)2 + (10.3 10.0)2 = 0.036,2102 (10.5 10.3)2 + (10.6 10.3)2 = 0.04.2021 年高考数学全国乙卷理科真题解析10(2)(1) . s2 + s2 .由
26、中数据得 y x = 0.3, 2. s2 + s212 = 2100.0076 218. (12 分)12 . 所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.10如图, 四棱锥 P ABCD 的底面是矩形, PD 底面 ABCD, PD = DC = 1, M 为 BC 的中点, 且 PB AM .(1) 求 BC(2) 求二面角 A PM B 的正弦值.PAB题 图解析图解：(1) 因为 PD 平面 ABCD, 且矩形 ABCD 中, AD DC. 所以以 DA, DC, DP 分别为 x, y, z 轴正方向, D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz.设 BC = t, A
27、(t, 0, 0), B(t, 1, 0), M ( t, 1, 0), P (0, 0, 1), 所以 PB = (t, 1, 1), AM = ( t, 1, 0).22 t2因为 PB AM , 所以 PB AM = 2 + 1 = 0, 所以 t =2, 所以 BC =2.(2) 设平面 APM 的一个法向量为 m = (x, y, z). 由于 AP = (2, 0, 1), 则 2m AP = 2x + z = 0,m AM = 2 x + y = 0.令 x = 2, 得 m = (2, 1, 2).设平面 PMB 的一个法向量为 n = (x, y, z), 则n CB = 2
28、x = 0,n PB = 2x + y z = 0.令 y = 1, 得 n = (0, 1, 1). m n 331470所以 cosm, n = |m|n| = 7 2 =19. (12 分)14 . 所以二面角 A PM B 的正弦值为 14 .记 S 为数列 a 的前 n 项和, b 为数列 S 2 1 的前 n 项积, 已知+= 2.nnnnSnbn(1) 证明: 数列 bn 是等差数列(2) 求 an 的通项公式.11解：(1) 由已知 2 + 1Snbn= 2, 则 bnbn1= Sn(n 2). 2 bn1 + 1 = 2 2b+ 1 = 2b b b 13=(n 2), b
29、=.bnbnn1nnn1212故 b3 1 是以为首项,为公差的等差数列.n2(2) 由 (1) 知 b = 3 21n + (n 1)=+ 2 , 则 2 + 2 = 2 S= n + 2 .n = 1 时, a1n23= S1 =.22n + 22Snn + 1n + 21nn + 1n 2 时, an = Sn Sn1 = n + 1 n= n(n + 1).故 an = 3,n = 1,2 1 n(n + 1) , n 2.20. (12 分)设函数 f (x) = ln(a x), 已知 x = 0 是函数 y = xf (x) 的极值点.(1) 求 a(2) 设函数 g(x) =
30、x + f (x), 证明: g(x) 1.xf (x)解：(1) xf (x) = xf (x) + xf(x).当 x = 0 时, xf (x) = f (0) = ln a = 0, 所以 a = 1. (2) 由 f (x) = ln(1 x), 得 x 1.当 0 x 1 时, f (x) = ln(1 x) 0, xf (x) 0 当 x 0, xf (x) xf (x), x + ln(1 x) x ln(1 x) 0.令 1 x = t (t 0 且 t = 1), x = 1 t, 即证 1 t + ln t (1 t) ln t 0.令 f (t) = 1 t + ln
31、t (1 t) ln t, 则ttttf(t) = 1 + 1 (1) ln t + 1 t = 1 + 1 + ln t 1 t = ln t.所以 f (t) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, +) 上单调递增. 故 f (t) f (1) = 0, 得证. 21. (12 分)已知抛物线 C : x2 = 2py (p 0) 的焦点为 F , 且 F 与圆 M : x2 + (y + 4)2 = 1 上点的距离的最小值为 4.(1) 求 p(2) 若点 P 在 M 上, PA, PB 是 C 的两条切线, A, B 是切点, 求 PAB 面积的最大值.解：(1)焦点 F (0,
32、p ) 到 x22+ (y + 4)2= 1 的最短距离为p+ 3 = 4, 所以 p = 2.2(2) 抛物线 y = 1 x2. 设 A(x , y ), B(x , y ), P (x , y ), 则41 12 20 0 1PA2111l: y =x (x x ) + y= 1 x x 1 x2 = 1 x x y ,2141211PB222000l: y = 1 x x y , 且 x2 = y2 8y 15.2021 年高考数学全国乙卷理科真题解析12l, lPA PB0 0都过点 P (x , y ), 则y0 = 1 x1x0 y1,y 0021 11=x x y, 即 y =
33、x x y .=x x故 l: y y .AB02 02 00联立2x2 = 4y .y = 1 x x y ,02 2 02, 得 x2 2x0x + 4y0 = 0, = 4x2 16y0.0x2所以022 2,|x2 4y0| . 所以0|AB| =1 + 4 4x0 16y0 =4 + x0 x0 4y00dPAB =x2 + 4S=|AB| d=|x 4y | .x2 4y112PAB2PAB2 000= 1 (x2 3 1 (y2 12y 30204y0) 2 = 20015) 2 .而 y0 5, 3. 故当 y0 = 5 时, SP AB 达到最大, 最大值为 205.(二) 选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22. 【选修 4 4: 坐标系与参数方程】(10 分)在直角坐标系 xOy 中, C 的圆心为 C(2, 1), 半径为 1.(1) 写出 C 的一个参数方程(2) 过点 F (4, 1) 作C 的两条切线. 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极坐标方程.解：(1) 因为C 的圆心为 (2, 1), 半径为 1. 故C 的参数方程为 x = 2 + cos y = 1 + sin ( 为参数).(2) 设切线 y = k(x 4) +
