1、-导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2 洛必达法则可处理000， ，0 ，1 ，00 ， 型。2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第 2 步，由不等式恒成立来求参数00的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 则不适用，应从另外途径求极限。洛必达法则简介：4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) lim 0f x 及 lim g x 0；x a x a(2) a f(x) g(x) g(x) 0 在点 的去心邻域内， 与 可导且 ；二高考题处理1.
2、(2010 年全国新课标理 )设函数x 2f (x) e 1 x ax 。(3) limx af xg xl，（1） 若 a 0，求 f (x) 的单调区间；（2） 若当 x 0 时 f (x) 0，求 a的取值范围那么 limx af xg x= limx af xg xl。x x原解：（1）a 0时， f ( x) e 1 x， f ( x) e 1.法则 2 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) lim 0f x 及lim g x 0；x x当 x ( ,0) 时， f ( x) 0 ；当 x (0, ) 时， f (x) 0 .故 f (x) 在( ,0) 单调减少，
3、在(2) A 0，f(x) 和 g(x) 在 , A 与 A, 上可导，且 g(x) 0；(0, ) 单调增加(3) limxf xg xl，x（II ） f (x) e 1 2axx由（ I）知 1e x ，当且仅当 x 0 时等号成立 .故那么 limxf xg x=limxf xg xl。f ( x) x 2ax (1 2a)x ，法则 3 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) limx af x 及 limx ag x ；从而当 1 2a 0 ，即1a 时， f (x) 0 ( x 0) ，而 f (0) 0 ，2(2) 在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x
4、) 可导且 g( x) 0； 于是当 x 0 时， f ( x) 0 .(3) limx af xg xl，x x由 e 1 x(x 0)可得 e 1 x(x 0) .从而当 1a 时， 2那么 limx af xg x= limx af xg xl。x x x x xf ( x) e 1 2a(e 1) e (e 1)(e 2a) ，故当 x (0,ln 2a)时， f ( x) 0，而 f (0) 0 ，于是当 x (0,ln 2a)时， f (x) 0 . 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x- ， x a ， x
5、a 洛必达法则也成立。综合得 a的取值范围为 ,12-原解在处理第（ II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：b 1,另解:（II ）当 x 0时， f (x) 0，对任意实数 a,均在 f (x) 0；当 x 0时， f (x) 0等价于xa ex2x1令xg x ex2x1(x0), 则x xg x xe 2e x 2 ( )g x xe 2e x 23x， 令x x x x xh x xe e x x ，则 12 2 h x0 xe e ， h x xe 0，知 h x 在 0, 上 为 增函 数 ， h x h 0 0 ；知 h x 在 0, 上 为 增 函数 ，解得 a 1，b
6、 1。a 1 b ,2 2ln x 1x 1 xf (x) 2(k 1)(x 1)考虑函数 h( x) 2ln x（）由（）知，所以x 2 ln x k 1 (k 1)(x 1)f (x) ( ) (2ln x ) 2 x 1 x 1 x x。2(k 1)( x 1) 2x2x(x 0)，则 h (x)。h x h 0 0； g x 0，g(x)在 0, 上为增函数。由洛必达法则知，x x xe e ex 1 1lim lim lim22x 2 2xx 0 x 0 x 0故a12综上，知 a 的取值范围为,12。，2 2k(x 1) (x 1)（i）设 k 0 ，由知，当 x 1时， h (x
7、) 0，h（x）递减。而 h(1) 0；12xh（x）0kxlnxx1kx）0，即 f（x）+.h (x)2x故当 x (0,1)时， h(x) 0，可得112xh(x) 0当 x （1，+ ）时， h（x）0,且 x 1 时，f（x）-（lnxx1+2（2011 年全国新课标理） 已知函数， 曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)处的切线方程为 x 2y 3 0。（ ii ） 设 0k0, k-1 x ） 故1 当 x （1，1 k .1k）时， h（x）0，可得k12 1 2x x，2(k 1)(x 1) 2x 01x2h（x）0,h （x）0,而 h（1）=0，故当 x由于直线
8、x 2y 3 0的斜率为12，且过点 (1,1)，故ff(1) 1,1(1) ,2即1（1，+ ）时， h（x）0，可得h（x）0,与题设矛盾。 2x1综合得， k 的取值范围为（ - ，0原解在处理第（ II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II ）由题设可得，当 x 0, x 1 时，k h 1 =0h x 在 0, 上为增函数g (x) x sin x 0 ，所以 g ( x) 在 (0, )2上单调递减，且 g (x ) 0 ，h 1 =0所以 g(x) 在 (0, )2上单调递减，且 g (x ) 0.因此 g ( x) 在(0, )2上单调递减，当 x (0,1)
9、时， h x 0，当 x （1，+ ）时， h x 0且 g( x) 0，故g(x)f ( x) 04x，因此f ( x)x sin x3x在 (0, )2上单调递减 .当 x (0,1)时， g x 0，当 x （1，+ ）时， g x 0由洛必达法则有g x 在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数x sin x 1 cos x sin x cos x 1lim f (x) lim lim lim lim3 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0x 3x 6x 6 6，由洛必达法则知xln x 1 ln x 1lim lim limg x 2 1 2 1 2 1 021 x 2x 2
10、x 1 x 1 x 1即当 x 0 时，1g(x) ，即有6 1f (x) . 6k ，即 k 的取值范围为（ - ，00故1a 时，不等式63sin x x ax 对于 x (0, ) 恒成立.2规律总结： 对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；的方法。出现“00”型式子.自编 ：若不等式3sin x x ax 对于 x (0, )2恒成立，求 a 的取值范围 .
