1、高考数学数列分类汇编及解析一、选择题（共18题）1（北京卷）设，则等于（A）（B） （C） （D）解：依题意，为首项为2，公比为8的前n4项求和，根据等比数列求和公式可得D2（北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（A）b=3,ac=9(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9解：由等比数列的性质可得ac（1）（9）9，bb9且b与奇数项的符号相同，故b3，选B3（福建卷）在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于A.40 B.42 C.43 D.45解：在等差数列中，已知 d=3，a5=14，=3a5=42，选B.4（广东卷）已
2、知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5 B.4 C. 3 D. 2解：，故选C.5（湖北卷）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则A4 B2 C2 D4解：由互不相等的实数成等差数列可设abd，cbd，由可b2，所以a2d，c2d，又成等比数列可得d6，所以a4，选D6（湖北卷）在等比数列an中，a11，a103，则A. 81 B. 27 C. D. 243解：因为数列an是等比数列，且a11，a103，所以（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）（a1a10）43481，故选A7（江西卷）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、
3、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.201解：依题意，a1a2001，故选A8（江西卷）在各项均不为零的等差数列中，若，则（）解：设公差为d，则an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2（2n1）4n2，故选A9（辽宁卷） 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A) (B) (C) (D)【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。10（全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则A B C D【解析】是公差为
4、正数的等差数列，若，则， d=3，选B.11（全国卷I）设是等差数列的前项和，若，则A B C D【解析】是等差数列的前项和，若 ，选D.12（全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（A） （B） （C） （D）解析:由等差数列的求和公式可得且所以,故选A【点评】本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般13（全国II）已知等差数列中，则前10项的和（A）100 (B)210 (C)380 (D)400解：d，3，所以 210，选B14(陕西卷)已知等差数列an中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )A.18 B.27 C.36 D.45解：在等差数列an中，a2+a8=8，
5、 ，则该数列前9项和S9=36，选C.15（天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于=， =，选C.16（天津卷）设是等差数列，则这个数列的前6项和等于（）12 24 36 48解：是等差数列， ，则这个数列的前6项和等于，选B.17(重庆卷)在等差数列an中，若aa+ab=12,SN是数列an的前n项和，则SN的值为（A）48 (B)54 (C)60 (D)66解：在等差数列中，若，则，是数列的的前n项和，则=54，选B. 1
6、8(重庆卷)在等差数列中，若且，的值为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8解：a3a7a5264，又，所以的值为8，故选D二、填空题（共7题）19（广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. 解：10，20（湖南卷） 若数列满足：，2，3.则. 解：数列满足：，2，3，该数列为公比为2的等比数列， .21（江苏卷）对正整数n，设曲线在x2处的
7、切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是【思路点拨】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式【正确解答】，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2【解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。22（山东卷）设为等差数列的前n项和，14，S1030，则S9.解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，联立解得a1=2,d=1，
8、所以S923（浙江卷）设为等差数列的前项和，若,则公差为（用数字作答）。【考点分析】本题考查等差数列的前项和，基础题。解析：设首项为，公差为，由题得【名师点拔】数学问题解决的本质是，你已知什么？从已知出发又能得出什么？完成了这些，也许水到渠成了。本题非常基础，等差数列的前项和公式的运用自然而然的就得出结论。24 (重庆卷)在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.解析：在数列中，若， ，即是以为首项，2为公比的等比数列，所以该数列的通项.25(重庆卷)在数列中，若，则该数列的通项 。解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n1三、解答题（共29题）
9、26（安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，27（安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即。28（北京卷）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝
10、对差数列”中总含有无穷多个为零的项.解：（）,（答案不惟一） （）因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限不存在. 当时, ,所以 （）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.2
11、9（北京卷）设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.解：（）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3（）由得 即由+得7d11。即d。由+得13d1，即d于是d又dZ,故d=1将代入得10a112.又a1Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,30。（福建卷）已知数列a满足a=1,
12、a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数列bn满足4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：，得即，得即是等差数列。证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立。（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何都成立。是等差数列。（III）证明：31（福建卷）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通
13、项公式；（II）若数列满足证明是等差数列。解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得（III）证明：，得即，得即是等差数列。32（广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.(I)求数列的首项和公比；(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；(III)设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.（注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限）解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即
14、数列的前10项之和为155.() =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=233（湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n2
15、2n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.34（湖北卷）设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。解：（I）依题意得，即。当n2时，a;当n=1时，-21-1-61-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10
16、。35（湖南卷）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,.解（）由已知得，.（）因为，所以. 又因为，所以 =.综上，.36（江苏卷）设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。证明：必要性，设是an公
17、差为d1的等差数列，则bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0所以bnbn+1 ( n=1,2,3,)成立。又cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3 (an+3an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,)所以数列cn为等差数列。充分性： 设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,)cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得cncn+2=（anan+2）+2 (an+1an+3)+3 (an+2an
18、+4)=bn+2bn+1+3bn+2cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)，由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,)则anan+2= d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3从而cn+1=4an+1+2an+25d3 ，两式相减得cn+1cn=
19、2( an+1an) 2d3因此(常数) ( n=1,2,3,)所以数列an公差等差数列。【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.37（江西卷）已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1（2）证：据1得，a1.a2an为证a1a2an2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN*，有1（）3用数学归纳法证明3式：（i） n
20、1时，3式显然成立，（ii） 设nk时，3式成立，即1（）则当nk1时，1（）（）1（）（）1（）即当nk1时，3式也成立。故对一切nN*，3式都成立。利用3得，1（）11故2式成立，从而结论成立。38（江西卷）已知各项均为正数的数列，满足：，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求，并确定最小正整数，使为整数解：（1）条件可化为，因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以1因an0，由1式解出an2（2）由1式有SnTn为使SnTn为整数，当且仅当为整数.当n1,2时，显然SnTn不为整数，当n3时， 只需为整数，因为3n1与3互质，所以为9的整数倍.当n9时，13为整数，故n的最小值为9
21、.39（辽宁卷）已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列，且a0,d0.设1-上，在，将点A，B，C(I)求(II)若ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a,d的值【解析】(I)解:令,得当时,;当时,所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II)的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法2:又c0知在上的最大值为即:又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积
22、为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力41（辽宁卷）已知等差数列的前项和为（）求q的值；（）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的bn前n项和.解析：本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分.()解法一：当时，,当时,.是等差数列,4分解法二：当时,当时,.当时,.又,所以,得.4分()解：,.又,8分又得.,即是等比数列.所以数列的前项和.
23、41（全国卷I）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+1
24、1)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 0 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， a1=2， an=5n348(上海卷)已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时,
25、 an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k).（3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.49(上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项
26、起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn509.50（四川卷）已知数列，其中，（），记数列的前项和为，数列的前项和为。（）求；（）设（），（其中为的导数），计算。本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。解：（）由题意，
27、是首项为，公差为的等差数列 前项和，（） 51（四川卷）数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。解：（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列 （）设的公比为由得，可得，可得故可设又由题意可得解得等差数列的各项为正，52（天津卷）已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）当时，证明；当时，证明.本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满
28、分14分。（I）解：由已知，且若、成等比数列，则，即。 而， 解得。（II）证明：由已知及，可得由不等式的性质，有另一方面，因此，故。（III）证明：当时，由（II）可知。又由（II）则 从而因此 53（天津卷）已知数列满足，并且（为非零参数，）（）若成等比数列，求参数的值；（）设，常数且证明本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分14分。（I）解：由已知且若、成等比数列，则即而解得（II）证明：设由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故则因此，对任意当且时，所以54（上海春）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？解：（1）. （2）， ， 当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等.
