1、函数部分学习方法总结与典型例题分析一、方法总结1相同函数的判定方法：定义域相同；对应法则相同(两点必须同时具备)2函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法3反函数的求法：解x用y表示的式子，求原函数值域，互换x，y改写成yf1(x)并注明定义域(即原函数值域)4函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等5函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法6单调性的判定
2、法：设x1，x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1x2；判定f(x1)与f(x2)的大小；作差比较或作商比较(注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性)7图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象8函数的应用举例(实际问题的解法)(1)解决应用问题的一般程序是：审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型求模：求解数学模型，得到数学结论还原：将用数学方法得到的结论，还原为
3、实际问题的意义(2)建模类型：可化为一、二次函数的应用题的解法；可化为分段函数的应用题的解法；可化为指数函数或对数函数型的应用题的解法9常用函数的研究、总结与推广：(1)以二次函数为背景的函数问题(包括通过换元可转化为二次函数问题的)(2)以指数函数为背景的函数问题(3)以对数函数为背景的函数问题(4)研究函数y ()的图象性质及反函数(5)研究函数yx的图象性质并推广(6)研究函数y (axax)(a0且a1)的定义域、值域、单调性、反函数(7)研究函数yloga()(a0且a1)的定义域、单调性、反函数10抽象函数(即不给出f(x)解析式，只知道f(x)具备的条件)的研究(1)若f(ax)
4、f(ax)，则f(x)关于直线xa对称(2)若对任意的x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)可与指数函数类比(3)若对任意的x，y(0，)都有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)可与对数函数类比二、典例剖析例1如图230，某房地产开发公司要在荒地ABCDE上划分一块长方形地面(不改变方位)建造一幢公寓问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1m2)解：设公寓占地矩形的长和宽分别为a、b，面积为S (70a100，60b80)b，且70a100Sab.当a9570，100时，S取到最大值约为6017 m2点评：本问题即已知b，70a100，60b80，求Sab的最
5、大值，可通过代入消元转化为关于a的二次函数问题，在此过程中，特别要注意函数的定义域即变量a的取值范围例2已知f(x)x2c，且ff(x)f(x21)，(1)设g(x)ff(x)，求g(x)的解析式；(2)设(x)g(x)f(x)，试问是否存在实数，使(x)在(，1)内是减函数，并在(1，0)内是增函数解：(1)由ff(x)f(x21)即(x2c)2c(x21)2c整理得(c1)(2x2c1)0，c1 g(x)x42x22.(2)(x)g(x)f(x)(x42x22)(x21)x4(2)x22设y(x)，x2t则yt2(2)t2在(0，1)上递减，且在(1，)上递增1，即4点评：本题主要利用了数
6、学中最基本的思想方法：待定系数法和换元法，转化为二次函数的单调性问题例3已知函数f(x23)lg，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的反函数f1(x)解：(1)设tx23，则x2t3，且t3 f(t)lg，又0，t3或t3 因此由，知，f(x)lg的定义域为(3，)(2)设ylgu，u，x3则u1，ylgu0由ylg得10y xf(x)的反函数f1(x) (x0)点评：本题使用换元法求出函数f(x)的解析式及其定义域但要注意求f(t)的定义域的条件：其一，先由f(x23)lg有意义得到0，即x26，再由tx233，即t3；其二，换元后f(t)lg有意义得到0，即t3或t3然后取二者交集
7、得定义域，而求其反函数时，要注明反函数定义域，即要求出原函数值域例4已知二次函数f(x)ax2bx满足f(2)0且方程f(x)0有等根(1)求f(x)的解析式；(2)问是否存在实数m，n(mn)，使f(x)的定义域为m，n，值域为2m，2n，如存在，求出m，n的值，如不存在，说明理由解：(1)依题意，方程ax2(b1)x0有等根(b1)20即b1又f(2)0， 4a2b0，a f(x)x2x.(2)f(x) (x1)2 2n，即nf(x) (x1)2的对称轴为x1当n时，f(x)在m，n上为增函数设m，n存在，则即 又mn，即存在实数m2，n0，使f(x)的定义域为2，0，值域为4，0点评：二
8、次函数问题是函数中的重要题型，本题先用待定系数法确定解析式，然后再用m，n把定义域、值域联系起来，考查二次函数性质例5已知f(x)在R上是增函数，且f(k3x)f(9x3x2)0对任意的xR都成立，求实数k的取值范围解：由已知f(k3x)f(9x3x2)对xR恒成立f(x)在R上是增函数 只要k3x9x3x2对xR恒成立法一：令t3x，则t0，上式等价于g(t)t2(k1)t20对t(0，)恒成立根据二次函数的图象性质得或 即或k21法二：分离常数k得k3x1对一切xR恒成立令h(x)3x1只要kh(x)的最小值h(x)3x12121h(x)的最小值为21, k21故所求k的取值范围是(，21)点评：对于没有给出具体解析式的抽象函数f(x)，如果知其单调性，就可以脱去函数值不等式中的函数符号，本题还充分说明了二次函数图象和性质的工具性作用，对于不等式恒成立问题，分离常数并构造函数求出其最值来确定常数取值范围不失为一个简单有效的方法
