1、 ()/22222()/()/(,)(,)2()2iEtE hh PeVti(,t)(,t)Vt(,t)tmVEmc p rrrrrrrrr第二章：说明什么是波粒二象性，德布罗意关系：频率波长平面波函数的形式：粒子在势场中运动的含时薛定谔方程定态薛定谔方程：波函数 的统计诠释，是几率振幅，几率波，是复函数。例如和描述同一个态。是几率密度给定一个波函数的坐标空间的表达式，会计算在空间某点的或区间内的几率振幅或几率密度。会做归一化掌握解一维简单薛定谔方程的基本步骤和方法例如当势函数具有反射对称性时，可以研究具有确定宇称的解，这样带来简化束缚态散射 势，波函数导数的跃变，注意在解散射问题时，波函数的
2、分区描述。1(),2En一维谐振子的推导做一般了解。基态能量不为零解定态薛定谔方程的基本步骤解定态薛定谔方程的基本步骤(当当V(x)是分段常数时是分段常数时)：1.列出定态薛定谔方程列出定态薛定谔方程 222()2dV x xE xm dx 22220dm xEV xdx2:m VEEVk2).当时定义 0222xkxdxd2:m EVEVk1).当时定义 2220d xk xdx 1212sincosikxikxk xckxckxc ec e当 为常数时，通解为或形式2.写出薛定谔方程在不同区域的通解写出薛定谔方程在不同区域的通解 34kxkxk xc ec e当 为常数时，通解为3.写出边
3、界条件写出边界条件 不管不管(x)是否连续，是否连续，(x)总是连续的总是连续的lim()0 xx2).如求解束缚态，无穷远处的边界条件：1212)()iiV xaaaaxa 如果连续在一个点为无穷大,如 函数，则，而和在处满足一定的跃变条件 ,ln=ln1212121212V xxxxaaaaaaaaaaa 1).相邻区域的连续条件：a).连接处附近有限时，要求和其导函数在连接处连续：有时写成如下形式或a0 )()V xxxaV xb).连接处无限时，要求在连接处(连续，但是其导函数情形视的情形而不同。12)()0iV xaa 如果连续在一个区域为无穷大，则4.由以上边界条件得出能量量子化由
4、以上边界条件得出能量量子化5.如可能的话，由以上边界条件和波函数如可能的话，由以上边界条件和波函数归一化条件归一化条件 定出波函数系数定出波函数系数c1,c2,c3 和和c4要求给定已知波函数，可以给出归一化系数要求给定已知波函数，可以给出归一化系数 *AnnnnnniaxcAxA第三章动量算符和角动量算符在坐标空间表象中的形式力学量算符的厄米性，.给出一个算符的矩阵表示，要能判断它是否是厄米的。厄米矩阵和它的转置共轭矩厄米算子的本征值是实的，平均值是实的。它的本征函数构成完备基，属阵相等：厄米算符（矩阵）的乘积不一定是厄米算符于非简并.两个波本征函数正交,简并函数的标积的定义态可以正 交化*
5、,(),jjjjjijjjjiiijiiiiiijddaaaaadad*全全全全02212().2ti(,t)H(,t)V(,t)tm rrrr3.4.基本假设：对状态的描述 在给定时刻，系统的物理状态由在状态空间中指定一个来定义：系统随时间的演化波函数随时间的演化由薛定谔方程决定对物理量的描述每一个可测量的物理量由一个作用于状态空间的来描述；这个算符就是可观测量(力学量波函数厄米算符)。态叠加原理 1212222211AA,A A ,A,nnnffnnniniiinnnaaacaacxcx 5.物理量的测量对物理量 的测量值只可能是它所对应的客观测量(厄米算符)的本征值假设可观测量(力学量)
6、的谱为对应的非简并本征态为。在体系 中测量物理量，测量得到的本征值 的概率为简并情况，对 的测量取值 的几率为 力学量在给定态中的平均值123222221222121223*.:,:,of:,()()nnnnnninniiFFFcFccccFFx Fx dcccx平均值是 的本征态本征值几率6.A()Aaaa测量后波函数的扁缩 对测量之后状态的预言如果对处在态 的系统的物理量 的测量结果为非简并，那么测量后的体系的状态是对应于 的本征值 的归一化的本征态*,.,.().,.,ii12313131i1nFf221d2Ff 全空间假设是力学量算符 的本征函数(已归一)，其对应的本征值非简并是叠加态
7、计算标积()=请将归一化3.在态 中对力学量F进行测量，请问F的可能测量值是什么，其测量的平均值是多少，4 对处在态下的粒子的力学量 进行测量，测量值为请问测量后体系处于什么态|2221231232nn123nFF441fffccc999441FcFfff9993.由基本假设，力学量 的每次测量值只可能是算符 的本征值，所以每次测量可能得到的测量值为，测量得到它们的几率分别为，和。根据平均值表达式，测量的平均值为：+或 或*.,13131d0 全空间由基本假设，力学量算符的本征函数构成正交完备基()=*()*.C()|()()|(),():,12222123123nn2123ijijij2CC
8、d11CdC2222dCc11221C4419C333331 ij1d0 i 全空间未归一全空间全空间未归一未归一全空间假设乘上系数 后，是归一的，即 归一化后的波函数为：()=j 123nnnxcxccc相当于在展式中，只有、和 不为零002222200222200(2)/22/2/2kkEkkEkk 算符对易，共同本征函数，海森堡不确定性原理*,=0,.,1,2,3,1,2,3 and and and and 1*,0 ,1nnnnnnnnnnnnnnnA BAanBbnABabABabA BAan它们有共同的完备本征函数集在态中测量只能分别得到两个值，取值两个值的概率为，没有其他可能性。
9、这时没有任何不确定性。如果：12,2,3,1,2,3 1.:kkknknnnnnnnnnkkkkBbkAAAaBABCbbb；一般地，如果体系处于 的本征态，则对 的测量没有任何不确定性，取值 的概率为考虑在态中测量。因为和是厄米的，则和二者都是完备的可以用展开根据量子力学中有关测量的假设，测量结果为222122 and ,0 x,/2nnnkCCCpEpmBABA B所以对 的测量变得不确定了。不确定性源于的不对易其取值几率分别为会用海森堡不确定原理估算基态能量由估算由估性算能量最小值表象理论1112212212010G,GG=00niimnmnmnnnmnnnnnmnmnnmffaGGGG
10、GFFfffffffffffffffFfG设F是一个力学量算符，其正交归一完备的本征态集为：的向量形式为，在F表象中求力学量 的矩阵形式：其中矩阵元特别地，当F时，矩阵元F()是对角矩阵即任何一个力学量在的表象中，是一个对角矩阵，对角元自身就是本征值 测量值对B也一样因为B2=1，所以其本征值为1，-1 ,0 xzyx Lx ypx zp ,yxzxx Lx zpx xpz x pi z,xzyyLyypyzpyz pyi z The commutation relation related to L xzyyxzzyxLypzpLzpxpLxpyp与角动量有关的对易关系,xzyyLyypyz
11、pyz pyi z,0,xxxyxyzpLpLLpi pxyz1,0,x y zxpx pp xi 基本对易关系，对易子的定义，,1a aaaa a 升降算符的对易关系升降算符的对易关系H什么是守恒量：不显含时间，与哈密顿量对易。守恒量的含义：平均值不随时间变化，测量几率分布不随时间变化知道证明和判断守恒量，就是计算对易关系。空间旋转对称，无穷小算符，角动量空间平移对称，无穷小算符，动量空间反演对称，宇称12,12kjFkFaaLk L jLFS SI有关表象和狄拉克符号力学量 的本征函数为在 表象中，态矢可以按展开：，为 在 表象下的矩阵元变换矩阵是幺正矩阵，幺正矩阵的定义：幺正变换不改变物
12、理：如本征值幺正矩阵的本征值的模是一，一般是复数。区别厄米矩阵，本征值为实数,(),()(,),()(,)nllmnlmnllmn l mV rRrYcRr Y 第五章在球坐标系下解中心力场问题，要了解对不同的势有不同的径向方程，即不同，但它们都有相同的与角度有关的方程,解为球谐函数中心力场下波函数的一般形式为第六章对非简并态的微扰：能量(到二级)和波函数(到一级)的修正公式对简并态的微扰主要关心能量修正，不要求计算复杂的矩阵元变分法原理：1.对试探波函数的要求：满足边界条件2.试探波函数对基态波函数的逼近程度：能量越低，近似程度越好。定态微扰论和变分法例例2.设设Hamilton量的量的矩阵
13、形式为：矩阵形式为：2000301cccH（1 1）设）设c 1c 1，应用微扰论求，应用微扰论求H H本征值到二级近似；本征值到二级近似；（2 2）求）求H H 的精确本征值；的精确本征值；（3 3）在怎样条件下，上面二结果一致。）在怎样条件下，上面二结果一致。解：解：（1 1）c 1c 1，可取，可取 0 0 级和微扰级和微扰 Hamilton Hamilton 量分别为：量分别为：cccHH0000002000300010H H0 0 是对角矩阵，是对角矩阵，是是Hamilton HHamilton H0 0在在自身表象中的形自身表象中的形式。所以能量的式。所以能量的 0 0 级近似为：
14、级近似为：E E1 1(0)(0)=1 =1 E E2 2(0)(0)=3=3 E E3 3(0)(0)=-2=-2由非简并微扰公式由非简并微扰公式 )0()0(2)2()1(|knknnknnnnEEHEHE得能量一级修正：得能量一级修正：cHEHEHE33)1(322)1(211)1(100能量二级修正为：能量二级修正为：221)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(1|cEEHEEHEEHEkknk 221)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(2|cEEHEEHEEHEkknk 0|)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0
15、()0(323)2(3 EEHEEHEEHEkknk准确到二级准确到二级近似的能量近似的能量本征值为：本征值为：cEcEcE231322122211设设 H H 的本征值是的本征值是 E E，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：02000301 EcEccE0)34()2(22 cEEEc解得：解得：cEcEcE2121232221(3)将准确解按将准确解按 c(a时，时，V(r）可略去不计。）可略去不计。散射只在散射只在ra的范围内的范围内发生发生。klr 当当r很小时很小时,jl(kr)随随 kr很快趋于零。很快趋于零。l愈大，趋于零愈快愈大，趋于零愈快如果如果jl(kr)的第一极大值在
16、的第一极大值在a之外之外akl势场作用范围势场作用范围ra内内 jl(kr)很小很小,则则第第l分波分波受到势场的影响很小受到势场的影响很小.则则散射所产生的相移散射所产生的相移 l很小。很小。相移相移 l只要从只要从l=0算到算到lka就足够了就足够了。000:()(cos)()(cos)lllllllikzeA j kr PlA j kr P入射波第 个分波:球面贝塞尔函数球面贝塞尔函数jl(kr)的第一极大值位置在的第一极大值位置在势明显的地方，波函数小，波函数明显的地方，势很小第九章 量子跃迁辐射跃迁的一些考虑：波长比原子尺度大得多，偏振，非单频费米黄金规则能量时间测不准关系中，t的含义第十章 全同粒子量子全同粒子和经典全同粒子的区别玻色子和费米子的区别（波函数交换对称性，自旋，态的占据：泡利不相容原理）掌握将两个全同粒子的态对称化和反对称化的方法第八章 散射了解 分波法和Born近似的适用的能量范围给定入射粒子参数，会估算分波法中受到明显散射的分波的角量子数
