1、探究探究(一一):):平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 00，180180 思考思考1 1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量量a和和b，作，作 a，b，如图，如图.为了反映这两个向量的为了反映这两个向量的位置关系，称位置关系，称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角.你认为向量的你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？夹角的取值范围应如何约定为宜？OA O B baabA AB BO O思考思考2 2：如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则称，则称向量向量a与与b垂垂直直，记作，记作ab.互相垂直的
2、两个向量能否作为平面内互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？所有向量的一组基底？ba思考思考3 3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量把向量正交分解正交分解.如图，向量如图，向量i、j是两个互相垂直的单是两个互相垂直的单位向量，向量位向量，向量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且|a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基底，向量为基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P2 32aijABCDoxyij思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4)
3、,D(5,7).设设 ，填空：，填空：,OAi OBj （1）|_,|_,|_;ijO C（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：,i j,OC OD _,_.O CO D34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？可以的话，如何表示？表示出来？可以的话，如何表示？C D,ij 23C Dij 思考思考4 4：在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同轴方向相同的两个单位向量的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量作为基底，对于平面内的一个向量a，由，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数平面向量基本定理
4、知，有且只有一对实数x x、y y，使得，使得ax xiy yj.我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a在在y y轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示.x xy yaiO Ojx xy y思考思考5 5：相等向量的坐标必然相等，作向量相等向量的坐标必然相等，作向量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A的坐标是什么？的坐标是什么？O A O A A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)
5、探究（二）：探究（二）：平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 思考思考1 1：设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向量，若轴同向的两个单位向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则ax x1 1iy y1 1j，b bx x2 2iy y2 2j，根据向量的线性运算性质，向量根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a（R）如何分别用基底）如何分别用基底i、j表示？表示？ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.思考思考2 2：根据向量的坐标表示，向量根据向量的坐标表示，向量 ab，
6、ab，a的坐标分别如何？的坐标分别如何？ab(x1x2，y1y2);ab(x1x2，y1y2);a(x1，y1).ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.思考思考3 3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标相应坐标.ab(x1x2，y1y2);ab(x1x2，y1y2);a(x1，y1).o o
7、x xy yB BA AAB 思考思考4 4：如图如图,已知点已知点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，那么向量那么向量 的坐标如何？一般地，一个的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？任意向量的坐标如何计算？(x2x1，y2y1).A B任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标终点坐标减去始点坐标.思考思考5 5：在上图中，如何确定坐标为在上图中，如何确定坐标为(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1)的点的点P P的位置？的位置？o ox xy yB BA AP(
8、xP(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1)思考思考6 6：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，则，则|a|如何计算？若点如何计算？若点A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，则，则 如何计算？如何计算？A B222121A B(xx)(yy)A Aax xy yO O22xya 例例1 1 如图，写出向量如图，写出向量a，b，c，d的坐标的坐标.2452abcd4252xyOa=(2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)理论迁移理论迁移AB ADAM EF 例例2 2 如
9、图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，=a，=b，E E、M M分别是分别是ADAD、DCDC的中点，点的中点，点F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b为基底分别表示向量为基底分别表示向量 和和 .A AB BE ED DC CF FM M12A Mab 16E Fab 例例3 3 已知已知a=(2,1),=(2,1),b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐标的坐标.ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19).例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是（的坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。A B C DABCDxyO解法：设点解法：设点D的坐标为（的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABD Cx yxyABD C 且且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）ABCDxyO解法解法2：由平行四边形法则可得：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC 而而(1,3)(3,1)(2,2)O DO BB D 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）
