1、12.3.2-2.3.3 2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表平面向量的正交分解及坐标表示和运算示和运算2复习复习.,22112121eeaaee 使使有有且且只只有有一一对对实实数数意意一一个个向向量量一一平平面面内内任任共共线线的的向向量量，那那么么对对这这是是同同一一平平面面内内两两个个不不如如果果平面向量基本定理：平面向量基本定理：3复习复习平面向量基本定理：平面向量基本定理：.(1)21一一组组这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的叫叫做做表表示示，我我们们把把不不共共线线向向量量ee基基底底(2)基底不惟一，关键是不共线；基底不惟一，关键是不共线；的的条条件件下下进
2、进行行分分解解；、在在给给出出基基底底由由定定理理可可将将任任一一向向量量21(3)eea.,(4)2121惟惟一一确确定定的的数数量量、是是被被、分分解解形形式式惟惟一一基基底底给给定定时时eea 4把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分正交分解解.直角坐标系中，点直角坐标系中，点A的的坐标坐标(x,y)的含义是什么？的含义是什么？A(x,y)NMOxyOM=x,ON=y思考思考:互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？5探索探索1:以以O为起点，为起点，P 为终点的向
3、量能否用坐标表为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？示？如何表示？oPxya），（23），（2364321-1-2-3-2246ij），（23P32OPij O3 i2j(3,2)74321-1-2-3-2246ij），（yxPOPxiyj 向量的坐标表示O向量向量 P（x，y）一一 一一 对对 应应OP(,)x yyjxi8ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图，是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则,ij,ij +aaijxyxy 对 于 该 平 面 内 的 任 一 向 量，有 且 只 有 一 对
4、实 数、，可 使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a(,)ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫式叫做向量的坐标表示。做向量的坐标表示。aa9向量的坐标表示向量的坐标表示xyoija_;i)(1_;j)(2._)(03(1,0)(0,1)(0,0)10）（即即：3,2ajia32.1|)1(ajiji底底表表示示向向量量为为基基、，以以向向量量如如图图，若若 呢呢？量量能能否否用用坐坐标标来来表表示示向向点点，两两、如如图图，平平面面内内有有 )
5、2(ABBAxO1231234CijaAB4yjiAB32）（即：3,2AB11OxyAijaxy+axiy j+O Axiy j 当向量的起点在坐标原点时，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标向量的坐标就是就是向量终点的坐标向量终点的坐标.两个向量相等，利用坐标如何表示？两个向量相等，利用坐标如何表示？2121yyxxba且12例例2.如图，分别用基底如图，分别用基底 、表示向量、表示向量 、，并求出，并求出 它们的坐标。它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知1223aA AA Aij(2,3)a同理同理23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij
6、 13123415234x xy y50 12 341234问题：问题：若已知若已知 =（1，3），=（5，1），），ab如何求如何求 +，的坐标呢？的坐标呢？abababC（6，4）（x1，y1）（x2，y2）14问题：问题：若已知若已知 =（1，3），=（5，1），），ab如何求如何求 +，的坐标呢？的坐标呢？abab =（x1x2，y1y2）ba（x1，y1）（x2，y2）ba=（x1 +y1 ）ij+（x2 +y2 ）ij=（x1+x2）+(y1+y2)ij猜想：猜想：=（x1x2，y1y2）ba=（x1 ,）+(,y2)1y2x15平面向量的坐标运算法则平面向量的坐标运算法则1212
7、,abxxyy1122,axybxy已 知1212,abxxyy结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和（差）。相应坐标的和（差）。16a 向量的数乘运算？a11()x iyj11x iyj11a(,)xy即 11,(,),Raxy若则结论：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向结论：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标量的相应坐标17例例4已知已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求，求a+b，a-b，3a+4b的坐标的坐标.解：解：=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）a-b=（2，1）-（-3，4
8、）=（5，-3）；a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）18练习练习1.已知向量已知向量a、b的坐标，求的坐标，求a+b，a-b的坐标：的坐标：a+b=（3，6）a-b=（-7，2）a-b=（7，-5）a+b=（1，11）a+b=（0，0）a-b=（4，6）a-b=（3，-4）a+b=（3，4）（1）a=（-2，4），），b=（5，2）；）；（2）a=（4，3），），b=（-3，8）；）；（3）a=（2，3），），b=（-2，-3）；）；（4）a=（3，0），），b=（0，4）.课本 P 100 1课本 P 101 2192已知 ab(1,5)，ab(5，3)，则 b()A(4,2)B(6,8)C(2,1)D(3,4)【答案答案】D全优52页变式训练20全优91页21).67(2),21(),43(),62(),24(,，则，解得，即解析：由题，可知ADABADABABADADABBDABADACADAB全优91页
