1、一、质点一、质点物体物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。质点：质点：具有一定质量没有大小或形状的理想物体。具有一定质量没有大小或形状的理想物体。一般情况下，物体各部分的运动不相同，在一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。问题变得复杂。某些情况下，物体的大小、形状不起作用，某些情况下，物体的大小、形状不起作用，或者起次要作用而可以忽略其影响或者起次要作用而可以忽略其影响简化为质简化为质点模型。点模型。研究地球公转研究地球公转38104.6105.
2、1EESRR1104.24a.a.转动物体自身线度与其活动范围相比小得多时转动物体自身线度与其活动范围相比小得多时可视为质点可视为质点可否视为质点，依具体情况而定：可否视为质点，依具体情况而定：研究地球自转研究地球自转Rv地球上各点的速度相地球上各点的速度相差很大，因此，地球差很大，因此，地球自身的大小和形状不自身的大小和形状不能忽略，这时不能作能忽略，这时不能作质点处理。质点处理。b.b.物体平动时可视为质点物体平动时可视为质点物体上任一点都可以代表物体的运动物体上任一点都可以代表物体的运动1.1.为什么要选用参考系为什么要选用参考系车厢内的人：车厢内的人：竖直下落竖直下落地面上的人：地面上
3、的人：抛物运动抛物运动-运动的描述是相对的运动的描述是相对的例如：例如：匀速运动车厢内某人竖直下抛一小球，观匀速运动车厢内某人竖直下抛一小球，观察小球的运动状态察小球的运动状态 参照系：参照系：为描述物体运动而选用的标准物体或物体系为描述物体运动而选用的标准物体或物体系 2.2.什么是参照系什么是参照系坐标系：坐标系：为了为了定量描述物体的位置与运动情况，在定定量描述物体的位置与运动情况，在定 的参考系上建立的带有标尺的数学坐标，称的参考系上建立的带有标尺的数学坐标，称 坐标系。坐标系。常用的坐标系有直角坐标系常用的坐标系有直角坐标系(x,y,z)，极坐标极坐标系系(,)，球坐标系球坐标系(R
4、,)，柱坐标系柱坐标系(R,z)。xyzoz R参考方向参考方向zo Rxy 空间空间反映了物质的广延性，与物体的体积和位反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。置的变化联系在一起。时间时间反映物理事件的顺序性和持续性，与物理反映物理事件的顺序性和持续性，与物理事件的变化发展过程联系在一起。事件的变化发展过程联系在一起。各个时代有代表性的时空观：各个时代有代表性的时空观：墨子：墨子：空间是一切不同位置的概括和抽象；时空间是一切不同位置的概括和抽象；时间是一切不同时刻的概括和抽象间是一切不同时刻的概括和抽象。（宇，弥异所也，久，。（宇，弥异所也，久，）莱布尼兹：莱布尼兹：空间和时
5、间是物质上下左右的排列空间和时间是物质上下左右的排列形式和先后久暂的持续形式，没有具体的物质和物形式和先后久暂的持续形式，没有具体的物质和物质的运动就没有时空间和时间，强调与运动的联系质的运动就没有时空间和时间，强调与运动的联系忽略客观性。忽略客观性。牛顿：牛顿：空间和时间是不依赖于物质的独立的客空间和时间是不依赖于物质的独立的客观存在，强调时间空间的客观性而忽略与运动的联观存在，强调时间空间的客观性而忽略与运动的联系。系。爱因斯坦：爱因斯坦：相对论时空观，时间与空间客观相对论时空观，时间与空间客观存在，与运动密不可分。存在，与运动密不可分。目前的时空观范围：宇宙的尺度目前的时空观范围：宇宙的
6、尺度1026m(200亿亿光年光年)到微观粒子尺度到微观粒子尺度10-1 5m，从宇宙的年龄从宇宙的年龄1018s(200亿年，宇宙年龄亿年，宇宙年龄)到微观粒子的最短寿命到微观粒子的最短寿命10-24s。物理理论指出物理理论指出,空间和时间都有下限：分别为空间和时间都有下限：分别为普朗克长度普朗克长度10-35m和普朗克时间和普朗克时间10-43s。()()()()xx trr tyy tzz t0),(zyxf 将运动方程中的时间消去，将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨道方程。得到质点运动的轨道方程。0),(zyxfzoxyP(x,y,z)ikj运动方程：运动方程：轨道方程轨道方程：
7、运动方程与轨道方程的关系：运动方程与轨道方程的关系：在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。做运动方程。OPrxyz 直角坐标描述直角坐标描述xyzoOPr 定义：定义：从参考点从参考点O O指向空间指向空间P P点的有向线段叫做点的有向线段叫做P P点的位置矢量点的位置矢量 ，简称简称位矢位矢或或矢径矢径。表示为。表示为：Pr位矢位矢描述质点在空间的位置描述质点在空间的位置jki,x y z表达式表达式:ijkrxyz222zyxrr大大 小：小：方向：方向：c
8、os/cos/cos/x ry rz r位移位移描述质点位置变动的大小和方向描述质点位置变动的大小和方向rABOrArB质点沿曲线运动质点沿曲线运动ArAt,时刻：BrBtt,:时刻rrrABAB末位矢末位矢初位矢初位矢位矢位矢增量增量位移位移矢量矢量位移：位移：从初位置指向末位置从初位置指向末位置的有向线段。的有向线段。直角坐标表示直角坐标表示：kzjyixrAAAAkzjyixrBBBB()()()BABABArx x iy y jzz k Oyxz即即kzjyixrrABOrArB(,)AAAx y z(,)BBBx y zxiy jzk?rrABABABrrrrrrrrroArBrr讨
9、论：讨论：可见rr sr何时取等号？何时取等号？位移：位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质 点运动轨迹无关，只与始末点有关。点运动轨迹无关，只与始末点有关。路程：路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质是标量，是质点通过的实际路径的长，与质 点运动轨迹有关。点运动轨迹有关。直线直进运动直线直进运动曲线运动曲线运动0t比较位移和路程比较位移和路程ArBsABr ABs trv平均速度：平均速度：在直角坐标系中在直角坐标系中粗略描述：粗略描述：,()tA r t时刻：:,()ttB r tt时刻位移位移：r速度速度描述质点运动的快慢和方向描述质点运
10、动的快慢和方向rxyzvijkttttrB)(ttrA0)(trxyzxyzvvvttt即，精确描述精确描述：瞬时速度：瞬时速度：当当t 趋于趋于0时，时，B点趋于点趋于 A 点，平均速度点，平均速度的极限表示质点在的极限表示质点在 t 时刻通过时刻通过 A 点的点的瞬时速度瞬时速度，简称，简称速度速度。表示为：。表示为：trddttttt0)()(limrrvtt0limrddrvtBr)(ttrA0)(tr1B2B3B4B5B6B直角坐标系中矢量形式：直角坐标系中矢量形式：zyxkvjvivddddddddktzjtyitxtrv直角坐标系中分量形式：直角坐标系中分量形式：txvxddty
11、vyddtzvzdd方向:当当 时位移时位移 的极限方向，的极限方向，该位置的该位置的切线方向，指向质点前进的一侧。切线方向，指向质点前进的一侧。0tr大小:vv222zyxvvv平均速率平均速率tsv瞬时速率瞬时速率tstsvtddlim0?ddddtrtr?vv?vv（1）（2）（3）速度与速率的关系速度与速率的关系速率是标量速率是标量讨论：讨论：?vv（1）vtstrvsr,平均速度的大小不等于平均速率平均速度的大小不等于平均速率?vv（2）vtstrvsrrstttdddd dd,limlim000即，时速度的大小等于速率。速度的大小等于速率。trtstrvrrrrdddddd dd
12、,?ddddtrtr（3）BrOrrAr加速度加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。快慢的物理量。x y z P2 P1 o)(ttr)(tv)(ttv)(tr)(ttv)(tvvv加速度加速度描述质点速度大小、方向变化快慢描述质点速度大小、方向变化快慢x y z P2 P1 o)(ttr)(tv)(ttv)(tr1.1.平均加速度平均加速度在在t t时间内，速度增量为时间内，速度增量为 )()(tvttvv，方向与速度增量的方向相同方向与速度增量的方向相同。定义定义:平均加速度平均加速度tva)(ttv)(tvv2.2.瞬时加速度瞬时加速
13、度当当t趋于趋于0时，时，P1点趋于点趋于P2点，平均加速度的极限表点，平均加速度的极限表示质点在示质点在t 时刻通过时刻通过P1点的瞬时加速度点的瞬时加速度，简称，简称加速度加速度.tddvtvaxxdd 分量表示分量表示:22ddtr22ddtx tvayydd22ddtytvazzdd22ddtz加速度定义加速度定义0limvatt=rr在直角坐标系中在直角坐标系中曲线运动，总是指向曲线的凹侧。曲线运动，总是指向曲线的凹侧。,v a 222zyxaaaa大小大小方向方向:t 0时，速度增量的极限方向时，速度增量的极限方向。矢量表示矢量表示kajaiaazyx直线运动直线运动，av同向同向
14、加速加速反向反向减速减速方向方向909090o o速率减小速率减小加速度与速度的夹角大于加速度与速度的夹角大于90，速率减小速率减小。加速度与速度的夹角小于加速度与速度的夹角小于90，速率增大速率增大。vggv加速度与速度的夹角为加速度与速度的夹角为0 或或180，质点做直线运动质点做直线运动。加速度与速度的夹角等于加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。质点做圆周运动。avvava消去消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程：422xy例例 已知：质点的运动方程已知：质点的运动方程 jti tr)2(22求：求：(1)质点的轨迹；质点的轨迹；(2)t=0s 及及t=2s 时时,质点的位置矢量。质
15、点的位置矢量。(3)t=0s到到t=2s时间内的位移。时间内的位移。(4)t=2s内的平均速度内的平均速度 （5）t=2s末的速度及速度大小末的速度及速度大小 (6)t=2s末加速度及加速度大小末加速度及加速度大小(SI)抛物线抛物线解：解：(1)1)先写运动方程的分量式先写运动方程的分量式222tytx(2)(2)位置矢量：位置矢量：jirjrstost2422jijjirrrostst442242m65.5)4(422r444arctg大小：大小：方向：方向：（3 3）位移）位移:（4 4）平均速度）平均速度02y 22ttsrxvijijtt(5)(5)速度速度ddd22dddrxyvi
16、jitjttt02 2.82(m/s)xytsvvv大小大小a=2 沿沿-y 方向，与时间无关。方向，与时间无关。2m/sd2dvajt（6）加速度）加速度jast22jivst4222224.47(m/s)xytsvvv大小大小例题例题1-11-1 已知：匀加速直线运动的加速度为已知：匀加速直线运动的加速度为a，t=0时，时，速度为速度为v，位置为，位置为x，求该质点的运动学方成求该质点的运动学方成.ddvattavddtvvtav0dd00(1)vvat两端积分可得到速度两端积分可得到速度解：解：因质点作直线运动，可用标量式运算，用正负号因质点作直线运动，可用标量式运算，用正负号表示方向表
17、示方向根据速度定义根据速度定义vtxddatv 0tatvxtxxd)(d0002001(2)2xxv tat22002()(3)vva xx根据速度的定义式：根据速度的定义式：两端积分得到运动方程两端积分得到运动方程消去时间，得到消去时间，得到式（式（1 1）、（2）和（3）就是匀变速直线运动的公式）就是匀变速直线运动的公式.设质点绕圆心在作变速圆周运设质点绕圆心在作变速圆周运动，在其上任意选一点动，在其上任意选一点 可建立如下坐可建立如下坐标系，其中一根坐标轴沿轨迹在该点标系，其中一根坐标轴沿轨迹在该点P P 的切线方向，该方向单位矢量用的切线方向，该方向单位矢量用et t 表表示；另一坐
18、标轴沿该点轨迹的法线并示；另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向曲线凹侧，相应单位矢量用指向曲线凹侧，相应单位矢量用en 表表示，这就叫示，这就叫自然坐标系自然坐标系。tenetene 显然，沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断显然，沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断变化着的。变化着的。1.1.自然坐标系自然坐标系PBRd Avdvvdd()ddtvav t ett 为单位矢量，为单位矢量，大小不变，但方向改变大小不变，但方向改变tet时刻时刻：A点点t+dt时刻时刻：B点点 dt时间内经过弧长时间内经过弧长dsds对应圆心角角度对应圆心角角度d vdvv2.2.切向加速度、法向加速度切向加速度、
19、法向加速度ddtrsedd()ddttrsveveett有的书上表示为dd()ddtvav t ettddddddddtnnnesveeettstR2ddtnvvaeetRdteteteddd()ddttevaevttdttee 即即与与 同向同向neddtneeBRd Avdvv圆周运动中的圆周运动中的切向加速度切向加速度at和和法向加速度法向加速度an2ddtnvvaeetRddtvatRvan222,ntaaa 切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速度的方向。度的方向。2ddtnttnnvvaeea ea etR22naaa加速度大小加速度大
20、小加速度的方向加速度的方向可用它与切向夹角 表示（加速度总是指向曲线的凹侧）aantananaa加速度加速度nRvtvaaan2dd 推广推广：对于一般平面曲线运动，对于一般平面曲线运动，可以将曲线视为一系列半径不同的小圆弧。在极限情况下，小圆弧对应的圆叫曲率圆，对应的半径 叫曲率半径。随质点位置的不同而不同。加速度加速度nvtvaaan2ddOXR 1v2vs ABt：Att：+qq+B角位移角位移沿沿逆时针逆时针转动，角位移取转动，角位移取正正值值沿沿顺时针顺时针转动，角位移取转动，角位移取负负值值角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 0dlimdttt 单位：单位：rad/s220d
21、dlimddtttt 单位：单位：rad/s2匀角加速圆周运动匀角加速圆周运动是恒量是恒量0t20012tt00ddtt00dtt一般圆周运动一般圆周运动22002()匀匀速圆周运动速圆周运动 是恒量是恒量ddt00ddttt 0讨论：讨论：匀匀速圆周运动速圆周运动是恒量是恒量 匀匀速圆周运动速圆周运动是恒量是恒量 匀匀速圆周运动速圆周运动是恒量是恒量 匀匀速圆周运动速圆周运动ROx 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。+0 0+t+tBtA 图示，一质点
22、作圆周运动：图示，一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质点的角位移为移为 ，则则A、B间的间的有向有向线段线段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系ABABtt00limlim两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：得到速度与角速度之间的关系：Rv 将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：加速度之间的关系：Rat 将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：式，得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R线量线量速度、加速度速
23、度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度2tnvRaRaR0 ,0.1ntaa匀速直线运动匀速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀速率圆周运动匀速率圆周运动变速曲线运动变速曲线运动0 ,.2ntacacaant ,0.30 ,0.4ntaa讨论：讨论：例题例题1-2 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为：角速度大小为：T2517.27 10 rad s 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的平面内点，在与赤道平行的平面内作圆周运动作圆周运动,co
24、sRRR 赤道赤道Rp 其轨道的半径为其轨道的半径为rvcosR24.65 10 cos(m/s)ran2cos2RP点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P点速度的方向与过点速度的方向与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。223.37 10cos(m/s)P点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬39 57、31 12 和和 23 00，可算出三地的，可算出三地的v 和和 an分别为
25、：分别为：北京：北京：356(m/s),v 222.58 10(m/s)na上海：上海：398(m/s),v 222.89 10(m/s)na广州：广州：428(m/s),v 223.10 10(m/s)na解：解：由题意，可得该点的速率为：由题意，可得该点的速率为：例题例题1-3 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为关系为 ，v0、b都是正的常量。都是正的常量。（1 1）求该点在时刻）求该点在时刻 t 的加速度；的加速度；（2）t 为何值时，为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为
26、飞轮的半径为R.R.2/20bttvs200dd1()dd2svv tbtvbttt 上式表明，速率随时间上式表明，速率随时间t 而变化，该点做匀而变化，该点做匀变速圆周运动变速圆周运动naa22naaa20()arctanvbtRb （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(420()()vbtbRRRovnaaa加速度方向由它和速度的夹角确定为：加速度方向由它和速度的夹角确定为：（2）令令a t=a n，即即20()vbtbR0bRvbt得得0()/tvbRb例题例题1-4 如图如图a所示为一曲柄连杆
27、机构，曲柄所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA长为长为r，连杆，连杆AB长为长为l，AB的一端用销子在的一端用销子在A处与曲处与曲柄柄OA相连，另一端以销子在相连，另一端以销子在B处与活塞相连。当曲处与活塞相连。当曲柄以匀角速柄以匀角速绕轴绕轴O旋转时，通过连杆将带动旋转时，通过连杆将带动B处活处活塞在汽缸内往复运动，试求活塞的运动学方程。塞在汽缸内往复运动，试求活塞的运动学方程。解：解：取取O为原点，为原点，Ox轴水平向左，如图轴水平向左，如图b所示；并设所示；并设开始时，曲柄开始时，曲柄A在在Ox轴上的点轴上的点P处。当处。当曲柄以匀角速曲柄以匀角速转动时，在转动时，在t 时刻曲柄转角为时刻曲柄
28、转角为=t，这时，这时B处活塞处活塞的位置为的位置为x=OR+RB，即，即222221sin1sin2rlrtltl222cossinxrtlrt这就是活塞的运动学方程这就是活塞的运动学方程我们把上式右端第我们把上式右端第2项按二项式定理展开为级数：项按二项式定理展开为级数：221cos1sin2rxrtltl一般一般r/lm2。当电梯。当电梯(1)匀速上升，匀速上升，(2)匀加速上升时，匀加速上升时，求绳中的张力和物体求绳中的张力和物体A相对与电梯的加速度。相对与电梯的加速度。raram1 1m2 2oy1am1 12am2 2gm1gm2TT解解：以地面为参考系，物体以地面为参考系，物体A
29、和和B为研究对象，分为研究对象，分别进行受力分析。别进行受力分析。物体在竖直方向运动，建立坐标系物体在竖直方向运动，建立坐标系oy1.常力作用下的连结体问题常力作用下的连结体问题(1)(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度。地面的加速度。A的加速度为负的加速度为负，B的加速度为正，的加速度为正，根据牛顿第二定律，对根据牛顿第二定律，对A和和B分别得到分别得到：r11amgmT r22amgmT 上两式消去上两式消去T，得到：得到：gmmmma2121r gmmmmT21212 将将ar r代入上面任一式代入上面任一式T，得到：，得
30、到：(2)(2)电梯以加速度电梯以加速度a上升时上升时，A对地对地的加速度的加速度a-ar，B的对地的加速度为的对地的加速度为a+ar，根据牛顿第二定律，对根据牛顿第二定律，对A和和B分别得到分别得到：)(r11aamgmT )(r22aamgmT 解此方程组得到：解此方程组得到：)(2121rgammmma )(22121gammmmT 由由(2)(2)的结果，令的结果，令a=0，即得到的结果即得到的结果gmmmma2121r gmmmmT21212 由由(2)(2)的结果，电梯加速下降时的结果，电梯加速下降时，a0，即得到即得到)(2121ragmmmma )(22121agmmmmT 例
31、题例题1-10 一个质量为一个质量为m、悬线长度为、悬线长度为l的摆锤挂在架子的摆锤挂在架子上，架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下上，架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下悬线的方向悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角用摆的悬线与竖直方向所成的角 表示表示)和和线中的张力：线中的张力：(1)小车沿水平方向以加速度小车沿水平方向以加速度a1作匀加速直线运动。作匀加速直线运动。(2)当小车以加速度当小车以加速度a2沿斜面沿斜面(斜面与水平面成斜面与水平面成 角角)向向上作匀加速直线运动。上作匀加速直线运动。mlml a1 mla2 gmoyxm1T解：解：(1)(1)以小球为研究对
32、象，当小车沿水平方向作以小球为研究对象，当小车沿水平方向作匀加速运动时，分析受力：匀加速运动时，分析受力：在竖直方向小球加速度为零，水平在竖直方向小球加速度为零，水平方向的加速度为方向的加速度为a1。建立图示坐标系建立图示坐标系：利用牛顿第二定律，列方程：利用牛顿第二定律，列方程：x方向方向：y方向方向：11sinmaT 0cos1 mgT解方程组，得到：解方程组，得到：,tg1ga ga1tgarc 2121agmT a2(2)(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运动时，分析受力：动时，分析受力：yxogmm2T 小球的加速度沿斜面向上，垂直小
33、球的加速度沿斜面向上，垂直于斜面方向处于平衡状态，建立图示于斜面方向处于平衡状态，建立图示坐标系，重力与坐标系，重力与y y轴的夹角为轴的夹角为。利用牛顿第二定律，列方程：利用牛顿第二定律，列方程：x方向方向：y方向方向：22sin)sin(mamgT 0cos)cos(2 mgT求解上面方程组，得到求解上面方程组，得到：22222cos)sin(gagmT 22222sin2gagam cossin)tg(2gag cossintgarc2gag讨论：如果讨论：如果=0=0，a1=a2，则实际上是小车在水平则实际上是小车在水平方向作匀加速直线运动；如果方向作匀加速直线运动；如果=0=0，加速
34、度为零加速度为零，悬线保持在竖直方向。悬线保持在竖直方向。拉力沿两轴进行分解，竖直拉力沿两轴进行分解，竖直方向的分量与重力平衡，水平方向的分量与重力平衡，水平方向的分力提供向心力。利用方向的分力提供向心力。利用牛顿定律，列方程：牛顿定律，列方程：例题例题1-11 一重物一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，绳长上，绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀，重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运动，转速速率圆周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳和竖直方向所成的角度。求这时绳和竖直方向所成的角度。gmoxygmTsi
35、nTcosTm解：解：以小球为研究对象，对以小球为研究对象，对其进行受力分析：其进行受力分析：T 小球的运动情况，竖直方小球的运动情况，竖直方向平衡，水平方向作匀速圆向平衡，水平方向作匀速圆周运动，建立坐标系如图周运动，建立坐标系如图rmT2sin sin2lm mgT cosx方向方向y方向方向由转速可求出角速度：由转速可求出角速度：n2 lmT2 mln224 lng224cos 5.048.92 497.0 3160 求出拉力：求出拉力：可以看出，物体的转速可以看出，物体的转速n愈大，愈大，也愈大，也愈大，而与重物的质量而与重物的质量m无关。无关。牛顿运动定律应用举例牛顿运动定律应用举例
36、例题例题1-12 计算一小球在水中竖直沉降的速度。已计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质量为知小球的质量为m，水对小球的浮力为，水对小球的浮力为Fb，水对小，水对小球的粘性力为球的粘性力为Fv=-Kv，式中，式中K是和水的粘性、小球是和水的粘性、小球的半径有关的一个常量。的半径有关的一个常量。mbFvFgm解：解：以小球为研究对象，分析受力：以小球为研究对象，分析受力：小球的运动在竖直方向，以向小球的运动在竖直方向，以向下为正方向，根据牛顿第二定律，下为正方向，根据牛顿第二定律，列出小球运动方程：列出小球运动方程：bvmgFFma2.变力作用下的单体问题变力作用下的单体问题ddbmgF
37、Kvvatm小球的加速度小球的加速度最大加速度为：最大加速度为：bmgFam极限速度为：极限速度为：T,(0)bmgFvaK小球加速度变为：小球加速度变为：mvvKtv)(ddT 分离变量，积分得到分离变量，积分得到：tmKvvvtvdd00T TTln vvKtvm)1(TtmKevv oKmvTvT632.0vt作出速度作出速度-时间函数曲线：时间函数曲线：,tTvv /，tm KT1T632.0)1(vevv 物体在气体或液体中的沉降物体在气体或液体中的沉降都存在极限速度。都存在极限速度。棒运动在竖直向下的方向，取竖棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。直向下建立坐标系。例题例题
38、1-13 有一密度为有一密度为 的细棒，长度为的细棒，长度为l，其上端用细，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为线悬着，下端紧贴着密度为 的液体表面。现悬线剪的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。体没有粘性。xlbFgm解：解：以棒为研究对象，在下落的过程以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图：中，受力如图：xo 当棒的最下端距水面距离为时当棒的最下端距水面距离为时x x，浮力大小为：浮力大小为：bFxg此时棒受到的合外力为此时棒受到的合外力为：xgmgF )(xlg 利用牛顿第二定律建立运动方程：利用牛顿第
39、二定律建立运动方程：)(ddxlgtvm 要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间消去时间txxlgvtvmdd)(dd xxlgvlvd)(d 积分得到积分得到2222glgllv glglv 2例题例题1-14 图为船上使用的绞盘，将绳索绕在绞盘的固图为船上使用的绞盘，将绳索绕在绞盘的固定圆柱上如绳子与圆柱的静摩擦因数为定圆柱上如绳子与圆柱的静摩擦因数为s，绳子绕，绳子绕圆柱的张角为圆柱的张角为0当绳在柱面上将要滑动时，求绳子当绳在柱面上将要滑动时，求绳子两端张力两端张力FTA与与FTB大小之比大小之比解：解：取一段绳元为研究对取一段绳元为研究对象，受力如图所示：象，受力如图所示：ddcoscosd022ddsinsind022TTsNTTNFFFFFF列出绳元的运动方程：列出绳元的运动方程：d,1,2,d222TTTTTTddFFF FFF因d 很小 所以sincos代入上式，整理得代入上式，整理得00ddTBTAFTsFTFF即得即得0:1:sTATBFFe ddddTsNTNFFFF d,NF上式消去并积分
