1、1等直圆杆横截面上的应力等直圆杆横截面上的应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1.圆周线绕轴作相对转动，圆周线绕轴作相对转动，大小和形状均不变，间距不大小和形状均不变，间距不变。变。2.纵向线倾斜了一个角度纵向线倾斜了一个角度变形后仍相互平行。变形后仍相互平行。3.矩形变成了平行四边形矩形变成了平行四边形 一、扭转实验观察一、扭转实验观察(外部变形）：外部变形）：23dx二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：4xdddx ACDB2.物理关系：物理关系：胡克定律：代入上式得：GxGxGddddxGdd 3.静力学关系：静力学关
2、系：OAxGAxGAMAAAnddd ddd d22AIApd2令xGI Mpndd 代入物理关系式 得：xGdd pnIM极惯性矩-pI其中AdpnIM横截面上距圆心为处的剪应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：Mn横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：mm4，m4。32 d2 d42022DAIDAp对于实
3、心圆截面：DdO对于空心圆截面：)1(32 )(32 d2 d44442222DdDAIDdAp)(DddDOd 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。确定最大剪应力：确定最大剪应力：pnIM由知：max ,2DR)2(22 maxDIWWMDIMIDMpppnpnpn令pnWMmax当当R12pnWMmaxWp 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：163D
4、RIWpp对于空心圆截面：16)1(243DDIRIWpppDd三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。1.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)x(d)xnt转角规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ;0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ;0AAAFt解得：2cos ;2sin 2cos ;2sin 分析：当=0时，max00
5、,0当=45时，0 ,45min45当=45时，0 ,45max45当=90时，max9090 ,0 45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxpWMn(称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：maxmaxpWMnmaxMnWpmaxpWMn）（空：实：433116 16 DDWp 例例 功率为150kW，转速为15.4转/
6、秒的电动机转子轴如图，许用剪应力=30M Pa,试校核其强度。nNmMnBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Mnm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmxMPa231607.01055.133maxpnWM19nNm9549(Nm)pIMn20 maxmaxpnWM21 2223rad/mddpGITxGIp轴的抗扭刚度轴的抗扭刚度dxGIpd24dxGIp=d d d dxTGIp pd d=d dxTGIp pd25xGITlABdplABABradp单位：GITlABxGITddP26niPiiiG
7、IlT14-44-4、圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算27 180ddpGITx288007kNm3kNmCB800AMPa9.50101001610109331t11maxWT T（kNm）10329MPa7.701060161039332t22maxWT m124931p117.0180101001080321010180GITm124932p227.11801060108032103180GIT3040020012mBmAmCACB70244214.4 T（Nm）31 311t1max16dTWT mm80m08.010707024161636311Td32 18032411dG
8、T mm6.8411080180702432180324294211GTd33P2221GIlTmWU xGIxTUld2P2mTmpGITl34GdV)dx(dzdy)(dW212122121ddddGVWVUu应变能密度应变能密度acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能（应变能密度）：应变比能（应变能密度）：351.1.应力的计算应力的计算=+Q TtTQWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT362.弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件:83dDPKmax精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）33max8861504414dDPKdD
9、PC.CC其中：dDC C.CCK61504414称为弹簧指数。称为曲度系数。373.位移的计算位移的计算(能量法）能量法）为弹簧常数。64 ;64 ;3443nRGdKKPGdnPRUWPW21 外力功：变形能：ALITGVUUpVVVd21d21d2ppGIPRRnLITG22212238 例例 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d=18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G=82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值：MPa3290180500125081125218 81233max.)(dDP)Dd(39最大剪应力的精确值：09161504414;631518125.C.CCK.dDCMPa233018050012508091833max.dDPK弹簧圈数：6612505006410188266436434.PRGdn（圈）40414243bhhbWWT2kkmaxmax短边中点短边中点hbIGIT3kk442kkmax31hWWT3kk31hIGITh4546
