1、勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为().（A）30（B）28（C）56（D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长（A）4 cm（B）8 cm（C）10 cm（D）12 cm3. 已知一个Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7 或 254. 等腰三角形的腰长为 10,底长为 12,则其底边上的高为()（A）13（B）8（C）25（D）645. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，
2、现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）202524715(A)7(B)202415207242525202471515(C)25 (D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是()（A） 钝角三角形（B） 锐角三角形（C） 直角三角形（D） 等腰三角形.7. 如图小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ()（A） 25（B） 12.5（C） 9（D） 8.5D8. 三角形的三边长为(a + b)2 = c 2 + 2ab ,则这个三角形是()AC（A） 等边三角形（B） 钝角三角形（C） 直角三角形（D） 锐角三角形.B9. ABC 是某市在拆除
3、违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90，AC=30 米，AB=50 米， 如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）.（A）50 a 元（B）600 a 元（C）1200 a 元（D）1500 a 元10. 如图，ABCD 于 B，ABD 和BCE 都是等腰直角三角形，如果 CD=17，BE=5，那么 AC 的长为（）.AE3 米DC5 米B（A）12（B）7（C）5（D）13（第 10 题）（第 11 题）（第 14 题） 二、填空题（每小题 3 分，24 分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 米.12
4、. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB =2，则 AB2 + AC 2 + BC 2 = .13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.ADEBC14. 如图，在ABC 中，C=90，BC=3，AC=4.以斜边 AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 .（第 15 题）（第 16 题）（第 17 题）15. 如图，校园内有两棵树，相距12 米，一棵树高13 米，另一棵树高8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.CDBA7cm第18题图16. 如图，ABC 中，C=90，AB 垂直平分线交 BC 于 D若 BC=8，AD=5，则 AC 等于 .17. 如图，四
5、边形 ABCD 是正方形， AE 垂直于 BE ，且AE =3， BE =4，阴影部分的面积是 .18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形 A，B， C，D 的面积之和为 cm2.三、解答题（每小题 8 分，共 40 分）19. 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题： “小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50 肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并
6、且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是 4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10 千米，BD=30 千米， 且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BALCD第 21 题图22. 如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。CDAB23. 如图，一架
7、 2.5 米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？AA1B1BC四、综合探索（共 26 分）D第 24 题图24.（12 分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险
8、？CAB25.（14 分）ABC 中，BC = a ，AC = b ，AB = c ，若C=90，如图（1），根据勾股定理，则a 2 + b 2 = c 2 ，若ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a 2 + b 2 与c 2 的关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；二、填空题（每小题 3 分，24 分）2511.7；12.8；13.24；14. 816.4；17.19；18.49；三、解答题19.20；
9、15. 13；20. 设 BD=x，则AB=8-x由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42. 所以x=3，所以AB=AC=5，BC=621. 作A 点关于CD 的对称点A，连结 B A，与 CD 交于点E，则 E 点即为所求.总费用 150 万元.22.116m2；23. 0.8 米；四、综合探索24.4 小时，2.5 小时.25. 解：若ABC 是锐角三角形，则有a2+b2c2若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有a2+b20，x02ax0a2+b2c2当ABC 是钝角三角形时，证明：过点B 作BDAC，交AC 的延长线于点D. 设 CD 为 x，则有DB
10、2=a2x2根据勾股定理得(bx)2a2x 2c2即b22bxx2a2x 2c2a2b22bxc2b0，x02bx0a2+b21），那么它的斜边长是 A2nBn+1Cn21Dn2+1AED3、已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF，则ABE 的面积为 A6cm2B 8cm2C 10cm2D 12cm2BFC4、已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航北行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距 A东A25 海里B30 海里C35 海里D
11、40 海里南填空题（每题 6 分）5、在 RtABC 中，C=90，若 a=5，b=12，则 c= ；若 a=15，c=25，则b= ；若 c=61，b=60，则 a= ；若 ab=34，c=10 则S= RtABCCDBA7cm6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形A，B， C，D 的面积之和为 cm2。7、已知 x、y 为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 。D8、在一棵树的10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20B米
12、处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算， 如果两只猴子所经过的距离相等， 则这棵树高 米。CA三、解答题（每题 13 分）9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为 48m2，其对角线长为 10m，为建栅栏， 要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？D10、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四边形ABCD 的面积。ABC11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10 俄里才左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了 2 俄里，这时，他发
13、现天色不早了， 而自己离出发点还足足有 17 俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品一个人需要很多土地吗中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？12、如图 1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和 b，斜边长为 c；如图 2 是以c 为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。画出拼成的这个图形的示意图，写出它的名称； 用这个图形证明勾股定理；bcbcaa图 1cc设图 1 中的直角三角形由若干个，你能运用图 1 中所给的直角三角形拼出另
14、外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图。（无需证明）图 2探索勾股定理（二）1. 填空题（1） 某养殖厂有一个长 2 米、宽 1.5 米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米（2） 有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16 海里/时的速度向东南方向航行， 另一艘以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里（3） 如图 1：隔湖有两点 A、B，为了测得 A、B 两点间的距离，从与 AB 方向成直角的 BC 方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B 两点间的距离是 2. 已知一个等腰三角形的底边和腰的长分
15、别为12cm 和 10cm，求这个三角形的面积3在ABC 中，C=90，AC=2.1cm，BC=2.8cm（1） 求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长（2） 求斜边被分成的两部分AD 和 BD 的长4. 如图 2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为 12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5. 如图 3，已知长方形ABCD 中 AB=8cm，BC=10cm，在边CD 上取一点E，将ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F，求 CE 的长勾股定理练习题：练习一：（基础）等腰三角形的腰长为 13，底边长为 10，则顶角的平分线为.
16、一个三角形的三边之比为 51213，它的周长为 60，则它的面积是.3. 已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（） A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4. 如图,一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食,要爬行的最短路程（ p取 3）是（）.AB（A）20cm（B）10cm（C）14cm（D）无法确定在 RtABC 中，斜边 AB=2，则 AB2BC2AC2= 6Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（） A、121B、120C、132D、不能确定BC7.
17、 如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是 （） A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 如果 Rt的两直角边长分别为n21，2n（n 1），那么它的斜边长是（）AA、2nB、n+1C、n21D、n2+19. 在ABC 中, C = 90, 若a + b = 7, ABC 的面积等于 6，则边长 c=10. 如图ABC 中， ACB = 90, AC = 12, BC = 5, AN = AC, BM = BC 则 MN=11. 一个直角三角形的三边长的平方和为 200，则斜边长为1012. 若ABC 是直角三角形，两直角边都是 6，在三角形斜边上
18、有一点P，到两直角边的距离相等，则这个距离等于 六根二13. 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？牧童A北B 小屋小河17km东14、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿CAB 的角平分线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？C3cmDBAE15.校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是 13、14、15 米，若这种草
19、皮每平方米售价 120 元，则购买这种草皮至少需要支出多少？16、如图，在ABC 中，B= 90 o，AB=BC=6，把ABC 进行折叠，使点 A 与点 D 重合，BD:DC=1:2，折痕为 EF，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，求 EC 的长。AF提高题：EBDC1、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A）d 2 + S + 2d（B） d 2 - S - d（C） 2 d 2 + S + 2d（D） 2 d 2 + S + d2在DABC 中, AB = AC = 1, BC 边上有 2006 个不同的点 P , P ,L P,122006记m
20、 = AP2 + BP PC (i = 1,2, L 2006),则m + m + L m= .iiii122006由勾股定理,得 AB2 = AD2 + BD2 , AP2 = AD2 + PD2 .所以AB2 - AP2 = BD2 - PD2= (BD - PD)(BD + PD)= BP PC所以 AP2 + BP PC = AB2 = 12 .解:如图,作 AD BC 于 D ,因为 AB = AC = 1,则 BD = CD .因此m + m12+ L m2006= 12 2006 = 2006 .3如图所示，在 RtDABC 中, BAC = 90, AC = AB, DAE =
21、 45 ,且 BD = 3 ,CE = 4 ,求 DE 的长.解:如右图：因为DABC 为等腰直角三角形,所以ABD = C = 45 . 所以把DAEC 绕点 A 旋转到DAFB ,则DAFB DAEC .所以 BF = EC = 4, AF = AE, ABF = C = 45 .连结 DF . 所以DDBF 为直角三角形.由勾股定理,得 DF 2 =BF 2 +BD2 =42 +32 =52 .所以 DF =5 .因为? DAE 45?, 所以? DAF ? DAB ? EAC 45? . 所以DADEDADF SAS .所以 DE=DF =5 .4、如图，在ABC 中，AB=AC=6，
22、P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PCPA+PA2的值。A，5、如图在RtABC 中, C = 90, AC = 4, BC = 3在 RtBABC 的外部拼接一C个P合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）10解：要在 RtABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长， 这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方
23、法供参考。答案：选择题1、B2、 D3、A4、D 填空题5、 13 20 11 24； 6、49 ； 7、 5 ；8、 25 解答题9、28m10、解：连接BDAB 2 + AD 2Q A = 90 BD = 5又Q 5，12，13是一组勾股数， DBCD是直角三角形 S= 1 3 4 + 1 5 12 = 36四边形ABCD22AD 2 - AE 2DCAEB11、根据题意画出图形，已知AE=10,DC=EB=2,AD=17Q RtDAED ED = 15周长为：10 + 15 + 2 + 17 = 4（41俄里）面积为：（2 + 10）15 = 9（02平方俄里）bccaab12、（1）直
24、角梯形（2）根据面积相等可得：1（a + b)(a + b) = 1 ab 2 + 1 c2化简得： a 2 + b 2 = c 2222ab（3）1（1）2.5（2）30（3）30 米2如图：等边ABC 中 BC=12cm，AB=AC=10cm作 ADBC，垂足为D，则D 为 BC 中点，BD=CD=6 cm 在 RtABD 中，AD2=AB2BD2=10262=64AD=8cm11SABD= 2 BCAD= 2 128=48（cm2）3解：（1）ABC 中，C=90，AC=2.1cm，BC=2.8cmAB2=AC2+BC2=212+2.82=12.25AB=3.5cm11S=ACBC=AB
25、CDABC 22ACBC=ABCDAC BC2.1 2.8CD=AB=3.5=1.68（cm）（2）在RtACD 中，由勾股定理得： AD2+CD2=AC2AD2=AC2CD2=2.121.682=（2.1+1.68）（2.11.68）=3.780.42=21.8920.21=2290.210.21AD=230.21=1.26（cm）BD=ABAD=3.51.26=2.24（cm）4. 解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3m，所以矩形塑料薄膜的面积是：312=36（m2）5. 解：根据题意得：RtADERtAEFAFE=90，AF=10cm，EF=DE设 CE=x cm，则DE=EF=CDCE=8x 在 RtABF 中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=102，BF=6 cmCF=BCBF=106=4（cm）在 RtECF 中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即（8x）2=x2+426416x+x2=x2+16x=3（cm），即 CE=3cm
