1、第二章轴向拉(压)变形习题 2-1试求图示各杆 1-1 和 2-2 横截面上的轴力，并作轴力图。（a）解：（1）求指定截面上的轴力N= F1-1N= -2F + F = -F2-2（2）作轴力图轴力图如图所示。（b）解：（1）求指定截面上的轴力N= 2F1-1N= -2F + 2F = 02-2（2）作轴力图N= F - 2F + 2F = F3-3轴力图如图所示。1（c）解：（1）求指定截面上的轴力N= 2F1-1N= -F + 2F = F2-2（2）作轴力图N= 2F - F + 2F = 3F3-3轴力图如图所示。（d）解：（1）求指定截面上的轴力N= F1-1N2-2= -2F -
2、qa + F = -2F - F a + F = -2Fa（2）作轴力图中间段的轴力方程为：N (x) = F - F xx (a,0a轴力图如图所示。习题 2-2试求图示等直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作轴力图。若横截面面积A = 400mm2 ，试求各横截面上的应力。解：（1）求指定截面上的轴力N= -20kN1-1N= 10 - 20 = -10(kN )2-22N= 20 + 10 - 20 = 10(kN )3-3（2） 作轴力图轴力图如图所示。（3） 计算各截面上的应力N- 20 103 No=1-1 = -50MPa1-1A400mm 2No=2-2= -
3、 10 103 N = -25MPa2-2A400mm 2No=3-3= 10 103 N = 25MPa3-3A400mm 2习题 2-3 试求图示阶梯状直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作轴力图。若横截面面积A1= 200mm 2 ， A2= 300mm 2 ， A3= 400mm 2 ，并求各横截面上的应力。解：（1）求指定截面上的轴力N= -20kN1-1N= 10 - 20 = -10(kN )2-2N= 20 + 10 - 20 = 10(kN )3-3（2） 作轴力图轴力图如图所示。（3） 计算各截面上的应力o= N1-1= - 20 103 N = -100
4、MPa1-1o=2-2A1N2-2A2200mm2= -10 103 N = -33.3MPa300mm23o= N3-3= 10 103 N = 25MPa3-3A400mm 2习题 2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个 75mm 8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为 q = 20kN / m 的竖直均布荷载。试求拉杆AE 和 EC 横截面上的应力。解：（1）求支座反力由结构的对称性可知：1R = RAB=ql = 0.5 20 (2 4.37 + 9) = 177.4(kN ) 2（2） 求AE 和 EG 杆
5、的轴力 用假想的垂直截面把 C 铰和 EG 杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件可知：M (F ) = 0CN (1 + 1.2) + 20 (4.37 + 4.5) EG8.872- 177.4 8.87 = 0N= 1 -20 (4.37 + 4.5) 8.87 + 177.4 8.87 = 357.62(kN )EG2.22 以C 节点为研究对象，其受力图如图所示。由平平衡条件可得： X = 0N- NEGEAcosa = 04N= NEG =EAcosa357.624.374.372 + 12= 366.86(kN )（3） 求拉杆AE 和EG 横截面上的应力查
6、 型 钢 表 得 单 个 75mm 8mm 等 边 角 钢 的 面 积 为 ：A = 11.503cm 2 = 1150.3mm 21o= NEA= 366.86 103 N = 159.5MPaAEA2 1150.3mm 2o= NEG= 357.62 103 N = 155.5MPaEGA2 1150.3mm 2习题 2-5 石砌桥墩的墩身高 l = 10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载F = 1000kN ，材料的密度r = 2.35kg / m3，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为：N = -(F + G) = -F - Alr g= -1000 - (3 2 + 3
7、.14 12 ) 10 2.35 9.8 = -3104.942(kN )= -1000 - (3 2 + 3.14 12 ) 10 2.35 9.8= -3104.942(kN )墩身底面积： A = (3 2 + 3.14 12 ) = 9.14(m 2 )因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。o = N= - 3104.942kN= -339.71kPa -0.34MPaA9.14m2习题 2-6 图示拉杆承受轴向拉力F = 10kN ，杆的横截面面积A = 100mm2。如以a 表示斜截面与横截面的夹角，试求当a = 0o ,30o ,45o ,60o ,90o 时各斜截
8、面5上的正应力和切应力，并用图表示其方向。解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：ao= s cos 2 a0sta =0 sin 2a2式中，s= N = 10000N= 100MPa ，把a 的数值代入以上二式得：0A100mm2轴向拉/压杆斜截面上的应力计算100001000100100.00.0100001003010075.043.3100001004510050.050.0100001006010025.043.310000100901000.00.0题目编号习题2-6N (N )A(mm 2 )a (o )o (MPa)0o a(MPa)t a(MPa)习题 2-7 一根等直杆受力
9、如图所示。已知杆的横截面面积 A 和材料的弹性模量E。试作轴力图，并求杆端点D 的位移。解：（1）作轴力图N= FCD6N= -2F + F = -FBCN= 2F - 2F + F = FABAD 杆的轴力图如图所示。（2）求D 点的位移D= DlNl=AB ABNl+ BC BCNl+ CD CDDADEAEAEA= Fl / 3 + - Fl / 3 + Nl / 3 EAEAEA= Fl （）3EA习题 2-8 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长 200mm 的正方形， 材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E = 10GPa 。如不计柱的自重，试求：（1） 作轴力图；（2） 各段柱横
10、截面上的应力；（3） 各段柱的纵向线应变；（4） 柱的总变形。解：（1）作轴力图N= -100kNACN= -100 - 160 = -260(kN )CB轴力图如图所示。（2） 计算各段上的应力N- 100 103 No=AC = -2.5MPa 。ACA200 200mm 27N- 260 103 No=CB = -6.5MPa ，CBA200 200mm 2（3） 计算各段柱的纵向线应变9e= s AC=- 2.5MPa= -2.5 10-4ACEe= s CB10 103 MPa=- 6.5MPa= -6.5 10-4CBE10 103 MPa（4） 计算柱的总变形Dl= e l+ e
11、 l= (-2.5 1500 - 6.5 1500) 10 -4 = 1.35(mm)ACACACCBCB 习题 2-9 一根直径 d = 16mm 、长 l = 3m 的圆截面杆，承受轴向拉力F = 30kN ，其伸长为Dl = 2.2mm 。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E 。解：（1）求杆件横截面上的应力No = A =30 103 N1 3.14 162 mm24= 149.3MPa（2）求弹性模量因为： Dl =Nl ，EA所以： E =N ll= s = 149.3 3000 = 203590.9(MPa) = 203.6GPa 。A DlDl2.2习题 2-10 （1）试证
12、明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变e等于直径方向的线应变e 。sd（2） 一根直径为d = 10mm 的圆截面杆，在轴向力 F 作用下，直径减小了 0.0025mm。如材料的弹性模量 E = 210GPa ，泊松比n = 0.3 ，试求该轴向拉力 F。（3） 空心圆截面杆，外直径 D = 120mm ，内直径d = 60mm ，材料的泊松比n = 0.3。当其轴向拉伸时，已知纵向线应变= 0.001，试求其变形后的壁厚。解：（1）证明e = esd在圆形截面上取一点A，连结圆心 O 与A 点，则 OA 即代表直径方向。过A 点作一条直线 AC 垂直于OA，则 AC 方向代表
13、圆周方向。e = e= -ne（泊松比的定义式），同理，sACe= e= -nedOA故有：e = e 。sd（2） 求轴向力FDd = -0.0025mmDd- 0.0025e =d =10= -2.5 10-4e = -nee - 2.5 10425e = - no = EeFA = Ee= -=0.310-4325F = AEe = 0.25 3.14 102 210 103 （3） 求变形后的壁厚e = -ne = -0.3 0.001 = -3 10-4D(R - r)10-4 = 13737.5(N ) = 13.74kN3R - r= e = -3 10-4D(R - r) =
14、(-3 10 -4 ) (60 - 30) = -0.009mm变形厚的壁厚：D = (R - r)- | D(R - r) |= 30 - 0.009 = 29.991(mm)习题 2-11 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,n ，试求 C 与 D 两点间的距离改变量D。CD解 ： e = -ne = -n F / A = - nFEEA式中， A = (a + d ) 2 - (a - d ) 2 = 4ad ，故：eFn = - 4EadDaFna = e = - 4EadFnDa = a - a = - 4EdFn a = a - 4EdCD =( 2
15、a)2 + ( 3 a)2 =145 a3412C D =( 2 a) 2 + ( 3 a)234=145145 a12145FnFnD(CD) = C D - CD =(a - a) = -1212 4Ed= -1.003 4Ed习题 2-12 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量E = 210GPa ，已知l = 1m ，A = A12= 100mm 2 ，A3= 150mm 2 ，F = 20kN 。试求C 点的水平位移和铅垂位移。解：（1）求各杆的轴力以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。因为AB 平衡，所以10 X = 0N cos 45o
16、= 033N = 0受力图由对称性可知， D= 0CHN =N1= 0.5F = 0.5 20 = 10(kN )2（2）求C 点的水平位移与铅垂位移。变形协调图A 点的铅垂位移：N l10000 N 1000mmDl =11EA1= 0.476mm210000 N / mm 2 100mm 2B 点的铅垂位移： Dl= N l =10000 N 1000mm= 0.476mm22EA2210000 N / mm 2 100mm 21、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到：C 点的水平位移： D= D= D= Dl
17、tan 45o = 0.476(mm)CHAHBH1C 点的铅垂位移： D= Dl = 0.476(mm)C1习题 2-13 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力F = 35kN 。已知杆 AB 和 AC 的直径分别为d1= 12mm 和d2= 15mm ，钢的弹性模量E = 210GPa 。试求A 点在铅垂方向的位移。解：（1）求 AB、AC 杆的轴力以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件得出： X = 0 ： Nsin 30 o - Nsin 45o = 0ACAB11N=2N(a)ACAB Y = 0 ： Ncos 30o + Ncos
18、45o - 35 = 0ACAB3N+2N= 70(b)ACAB(a) (b)联立解得：N= N = 25.621kNAC2N= N = 18.117kN；AB1（2） 由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移1 N 2lN 2lFD=1 1 +2 22 A2EA12EA21 1D= 1 ( N 2l +N 2l2 2 )AFEAEA12式中， l1= 1000 / sin 45o = 1414(mm) ； l2= 800 / sin 30o = 1600(mm)A = 0.25 3.14 122 = 113mm 2 ； A12= 0.25 3.14 152 = 177mm 2故： D=A1(18
19、1172 1414 + 256212 1600 ) = 1.366(mm)35000210000 113210000 177习题 2-14 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径d = 1mm 的钢丝， 在钢丝的中点C 加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为e = 0.0035 ，其材料的弹性模量E = 210GPa ，钢丝的自重不计。试求：（1） 钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；（2） 钢丝在C 点下降的距离D ；（3） 荷载F 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力12o = Ee = 210000 0.0035 = 735(MPa)（2） 求钢丝在
20、C 点下降的距离DNlDl =l= s = 735 2000= 7(mm) 。其中，AC 和BC 各3.5mm 。EAE210000cosa =10001003.5= 0.996512207a = arccos( 10001003.5) = 4.7867339oD = 1000 tan 4.7867339 o = 83.7(mm)（3） 求荷载F 的值以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得： Y = 0 ： 2N sin a - P = 0P = 2N sin a = 2sAsina= 2 735 0.25 3.14 12 sin 4.7870 = 96.239(N )习题 2-15 图示圆
21、锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：d (Dl) =Fdx EA(x)Dl = lFdx = F l dx0 EA(x)E 0 A(x)r - rx1 =r - rl21r - rd - ddr = 2 l1 x + r1 d - d=21 x + 12l2d 2A(x) = p 22l1 x + 1 = p u 22 2d ( d- ddd - d1 x + 1 ) = du =21 dx2l22l13dx =2ld - d du212ldxd - d=22ldu= -1 du()A(x)p u 2p(d1- d )u 22因此，Dl
22、= lFdx = F l dx =2Fl l (- du )0 EA(x)E 0 A(x)p E(d1- d )20u 2 l=2Fl 1 l =2Fl1pE(d - d ) u pE(d - d ) d -dd l12012 2 21 x + 1 2 0=2Fl1- 1 p E(d1- d ) d22-d 1 l + d1d1 2l22 =2Fl 2 - 2 p E(d1- d ) dd 221=4Flp Ed d1 2习题 2-16 有一长度为 300mm 的等截面钢杆承受轴向拉力F = 30kN 。已知杆的横截面面积 A = 2500mm2 ，材料的弹性模量E = 210GPa 。试求杆
23、中所积蓄的应变能。解：U =N 2 l =300002 N 2 0.3m= 0.257(N m)2EA2 210000N / mm 2 2500mm 2习题 2-17 两根杆A B和 A B的材料相同，其长度和横截面面积相同。杆1 12 2A B 承受作用在端点的集中荷载 F；杆 A B1 12 2承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度 f = F 。试比较这两根杆内积蓄的应变能。l解：（1）求（a）图的应变能14U = F 2 la2EA（2）求（b）图的应变能dU =bN 2 (x)dx2EAU = l N 2 (x)dx =1l ( fx)2 dxb02EA2EA 0= f 2 lf 2 l
24、3(F / l)2 l 3F 2 lx 2 dx =2EA 06EA6EA6EA(3) 以上两种情形下的应变能比较Ua =UbF 2 l2EA = 3 ，即：UF 2 la6EA= 3U 。b习题 2-18 图示一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为 F = 140kN 。如提升闸门的钢质丝杠内径d = 40mm ，钢的许用应力s = 170MPa ，试校核丝杠的强度。解：（1）计算最大工作应力o= N max =FmaxA0.25pd 2=140000N= 111.465(MPa) 0.25 3.14 402（2）强度校核15因为 s = 170MPa ，s= 111.465MPamax即：
25、smax s 所以丝杠符合强度条件，即不会破坏。习题 2-19 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆 AB 用两根63mm 40mm 4mm 不等边角钢组成，钢的许用应力s = 170MPa 。试问在起重量P = 15kN 的重物时，斜杆AB 是否满足强度条件？解：（1）计算 AB 杆的工作应力以A 结点为研究对象，其受力图如图所示。由其平衡条件可得： Y = 0Nsin 300 - F - P = 0ABNsin 300 - 2P = 0ABN= 4P = 4 15 = 60(kN )AB查型钢表得：单个 63mm 40mm 4mm 不等边角钢的面积为： 4.058cm2 = 405.8
26、mm2。两个角钢的总面积为2 405.8 = 811.6(mm 2 )故AB 杆的工作应力为：smax= 60000N= 74MPa811.6mm2（2）强度校核因为 s = 170MPa ，smax= 74MPa即： smax s 16所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。习题 2-20 一块厚10mm 、宽200mm 的旧钢板，其截面被直径d = 20mm 的圆孔所削弱，圆孔的排列对称于杆的轴线，如图所示。钢板承受轴向拉力F = 200 kN 。 材 料 的 许 用 应 力s = 170MPa ，若不考虑应力集中的影响，试校核钢板的强度。解：（1）判断危险截面垂直于轴线，且同时过两个孔的截
27、面是危险截面。不考虑应力集中时，可认为应力在这截面上均匀分布。（2） 计算工作应力危险截面上的工作应力为：指示s= N =F=200000 N= 125MPa(200 - 2 20) 10mm 2maxAbt - 2dt（3） 强度校核因为 s = 170MPa ，s= 125MPamax即： s s max所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。习题 2-21 一结构受力如图所示，杆件AB，AD 均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力s = 170MPa ，试选择 AB，AD 的角钢型号。解：（1）求 AB、AD 杆的轴力17由对称性可知：N= 1 (300 2) = 300(kN )AD2
28、取节点A 为研究对象，由其平衡条件可得： Y = 0Nsin 300 - N= 0ABADN= 2N= 600(kN )ABAD（2）计算AB、AD 杆的工作应力，并选定角钢。o= NADANAD sAD300000 NAAD = 1764.7mm 2 = 17.65cm 2ADs 170N / mm 2查型钢表，AD 杆可选用两根角钢号数为 8 的、80mm 6mm （单根面积9.397cm2 ）的等边角钢。o= NABANAB sAB600000 NAAB = 3529.1mm 2 = 35.291cm 2ABs 170N / mm 2查型钢表，AB 杆可选用两根角钢号数为 10 的、10
29、0mm 10mm （单根面积19.261cm 2 ）的等边角钢。习题 2-22 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力s = 170MPa ， 试选择AC 和CD 的角钢型号。18解：（1）求支座反力由对称性可知，R = R = 220kN ()AB（2）求AC 杆和CD 杆的轴力以A 节点为研究对象，由其平衡条件得：Y = 0R - Ncosa = 0AACAN= R= 220 = 366.667(kN )ACsina3 / 5以C 节点为研究对象，由其平衡条件得： X = 0N- Ncosa = 0CDACN= NCDACcosa = 220 4 / 5 = 293.
30、333(kN ) 3 / 5（3）由强度条件确定AC、CD 杆的角钢型号AC 杆：ANAC366667 N= 2156.86mm 2 = 21.569cm 2ACs 170N / mm 2选用 2 80 7 （面积2 10.86 = 21.72cm2 ）。CD 杆：ANCD293333N= 1725.488mm 2 = 17.255cm 2CDs 170N / mm 2选用 2 75 6 （面积2 8.797 = 17.594cm2 ）。习题 2-23 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH 都由两根不19等边角钢组成。已知材料的许用应力s = 170MPa ， 材料的弹性模量CE =
31、 210GPa ，杆AC 及 EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A 处的铅垂位移D 、D 、D 。DA解：（1）求各杆的轴力N= 3.2 300 = 240(kN )AB4N= 0.8 300 = 60(kN )CD4M= 0FNGH 3 - 300 1.5 - 60 1.2 = 0N= 1 (450 + 72) = 174(kN )GH3Y = 0N+ 174 - 60 - 300 = 0EFN= 186(kN )EF（2）由强度条件确定AC、CD 杆的角钢型号AB 杆：ANAB240000 N= 1411.765mm 2 = 14.12cm 2ABs 170N /
32、 mm 2选用 2 90 56 5 （面积2 7.212 = 14.424cm2 ）。CD 杆：ANCD60000 N= 352.941mm 2 = 3.529cm 2CDs 170N / mm 2选用 2 40 25 3 （面积2 1.89 = 3.78cm2 ）。EF 杆：ANEF186000 N= 1094.118mm 2 = 10.412cm 2EFs 170N / mm 220选用 2 70 45 5 （面积2 5.609 = 11.218cm2 ）。GH 杆：A NGH174000 N=1023.529mm 210.353cm 2GHs 170N / mm 2选用 2 70 45
33、5 （面积2 5.609 = 11.218cm2 ）。（3）求点 D、C、A 处的铅垂位移D 、D 、DDCADl=NlAB AB= 240000 3400 = 2.694 2.7(mm)ABEAABNl210000 1442.460000 1200Dl=CDCD CDEACD= 0.907(mm)210000 378Dl=NlEF EF= 186000 2000 = 1.580(mm)EFEAEF210000 1121.8Dl=NlGH GH= 174000 2000 = 1.477(mm)GHEAGH210000 1121.8EG 杆的变形协调图如图所示。D- lD-GHll= 1.83E
34、FGHD D - 1.477 = 1.81.580 - 1.4773D= 1.54(mm)DD= D+ lCDCD= 1.54 + 0.907 = 2.45(mm)D= lAAB= 2.7(mm) 习 题2-24已 知 混 凝 土 的 密 度r = 2.25 103 kg / cm3 ，许用压应力s = 2MPa 。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积 A121和 A 。若混凝土的弹性模量E = 20GPa ，试求柱顶A 的位移。2解：（1）确定 A 和 A12混凝土的重度（重力密度）：g = rg = 2.25 103 9.8 = 22.05(kN / m3 )上段（1 杆）：231
35、 杆的重量：1000 + A112 22.05 = 1000 + 264.6 A (kN )1| s1max| s s1000 + 264.6 A1 kPa = 2000kPaA11000 + 264.6 A1 2000 A11735.4 A1 1000A 0.576(m 2 )1下段（2 杆）2 杆的重量：1000 + 0.576 12 22.05 + A212 22.05 = 1152.41 + 264.6 A (kN )2| s2 max| s s1152.41 + 264.6 A2 kPa = 2000kPaA21152.41 + 264.6 A2 2000 A21735.4 A2 1
36、152.41A 0.664(m 2 )2（2） 计算A 点的位移1 杆的轴力： N (x) = -(1000 + 0.576x 22.05) = -(12.7x + 1000)(kN )（ x 以m 为单位）2 杆的轴力： N ( y) = -(1000 + 0.576 12 22.05 + 0.664 y 22.05)Dl = -1210N ( y) = -(14.64 y + 1152.41)(kN )(12.7x + 1000)kNdx20 106 kN / m2 0.576m2= - 10-611.52= - 10-611.52= - 10-611.5212 (12.7x + 1000)dx06.35x 2 + 1000x 1206.35 122 + 1000 1
