1、第一章答案1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。U (s) +KK s + Kp11+-K s+Kp1s+1-Js-1Kq (s)bJ s22Kns图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：Kp+KK+x +6Kx+5 +1x3KJx2U (s)-1-1xp-bJ121q (s)xKKK41np图1-30双输入-双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：x = x12x= Kb x2J32x = - K p3Jx - Kn x3J4+ 1 x +J5Kp xJ6 阿1x = x43111x = -K x51 3+ K X16 KKKx = -16Kpx -1
2、 x1K6p+ u Kp令q (s) = y ，则 y = x1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为K 010000 0 1x00b000 x1 J0x2 2KK1p xK p 2 0 = x 3 00-nJJJJ x3 + 0 ux0 0401 10 101 x4 0 00- K00Kx K 1 6x5 K11 5 1 -10000-Kx K 6x Kp x K pp 1 x2 y = 100000 x3 x4 x 5x 61-2 有电路如图 1-28 所示。以电压u(t) 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R 2 上的电压作为输出量的输出方程
3、。R1L1L2i1i2CUc-UR2图1-28 电路图解：由图，令i1= x , i1 2= x , u2c= x ，输出量 y = R x32 2R x + L x + x = u1 11 13有 电 路 原 理 可 知 ：既 得2L x + R x = x22 23 R11x = x12+ C x3x = - 1 x -x +u1L1L3L111 R12x = -2 x +xL2L322 11x = -x +x3C 1C 2y = R x2 2写成矢量矩阵形式为：R1 。-10- 1 x LL x 11 。R1 12 1 L1x2 = 0- LLx2 + 0 u 。22 x 0 x 3 1
4、- 10 3 CC x 1 y = 0R20 x2 x 31-4 两输入u ，u12，两输出y ， y12的系统，其模拟结构图如图1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。b1+-aay-112aa561-b+2+-ay23a4u1u2图1-30双输入-双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示： x& 0100 x 00 &1 - 1 11x2 = a2- a0- a6 x2 + b0 u x& 10 01 x 00 &3 0- 3 4x a- a54- a x 0b 234 x 1 y = 10 10x2 x 3 x4 s-100 a(sI - A) = 2s + a10
5、a 6-10s- 1 0aaa 543 s- 100 -1 00 as + a0a b0 W (s) = (sI - A)-1 B = 216 1ux- 10s- 1 00 0aaa 0b 5432 s- 100 -1 00 as + a0a b0 W (s) = C(sI - A)-1 B = 10 10 216 1uy-10s-1 00 0aaa 0b 54321-5 系统的动态特性由下列微分方程描述(2) y+ 5 y. + 7 y. + 3y = u. + 3u. + 2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令 x1 。= y ， x2= y. ， x3= y.，则
6、有1x 010 x10 。 x2 = 001 x2 + 0u 。- 3- 7- 5 x 1x3 3 x 1 y = 23 1 x2 x 3相应的模拟结构图如下：13+u-2+y-5x37x2x131-6 （2）已知系统传递函数W (s) =6(s + 1),试求出系统的约旦标s(s + 2)(s + 3)2准型的实现，并画出相应的模拟结构图- 101解：W (s) =6(s + 1)=- 4+3 +3+ 3s(s + 2)(s + 3)2(s + 3)2s + 3s + 2s x&- 3100 x 0 &1x2 x& 0 = 0- 300- 20 1 1x2 + 0 x 1 &3 0000 3
7、 1x ux44 x 1 y = - 4- 1031x2 33 x x 3 41-7 给定下列状态空间表达式 x& 010 x 0 &1 1 x2 = - 2- 30 x2 + 1u x&3 - 11- 3 x 2 3 x 1 y = 001 x2 3 x （1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数解：s- 10 （2）W (s) = (sI - A) = 2s + 30 1- 1s + 3sI - A = s(s + 3)2 + 2(s + 3) = (s + 3)(s + 2)(s + 1) (s + 3)2s + 301(sI - A)-1 = (s + 3)(s + 2)(s +
8、 1) - 2(s + 3)s(s + 3)0 - s - 5s - 1(s + 1)(s + 2) (s + 3)2s + 3001 W (s) = (sI - A)-1 B =ux(- 2(s + 3)s(s + 3)01s + 3)(s + 2)(s + 1) (s + 3)=1s(s + 3)- s - 5s - 1(s + 1)(s + 2)2(s + 3)(s + 2)(s + 1) (2s + 1)(s + 3)(s + 3)(2 sssW (s) = C(sI - A)-1 B = 00 1s(s + 3)1uy=(2s + 1) (s + 2)(s + 1) ( + 3)(
9、+ 2)( + 1)s + 1)(s + 3)1-8 求下列矩阵的特征矢量 010 （3） A = 302 - 12- 7- 6 l- 10 解：A 的特征方程lI - A = - 3l- 2 = l3 + 6l2 + 11l + 6 = 0127l + 6解之得： l1= -1, l2= -2, l3= -3 010 p p 当l时， 302 11 = -11 = -11 p21 p21 31- 12- 7- 6 p p 31 p 1 解得：令得11 p= p2131= - p11p= 111P = p121 p = - 1- 131 p - 1（或令，得 11 ）p= -111P = p1
10、21 p31 = 1 1 010 p p 当l时， 302 12 = - 12 = -21 p22 2 p22 32- 12- 7- 6 p p 32解 得 ：p= -2 p , p= 1 p令p= 2得22 p 2 12322 1212 12 P = p222 p32 = - 4 1 p 1 （或令，得12 ）p= 1P = p = - 2122 22 1 p32 2 010 p p 当l时， 302 13 = - 13 = -31 p23 3 p23 33- 12- 7- 6 p p 33解 得 ：p23= -3 p , p1333= 3 p13令p= 1得13 p 1 13 P = p3
11、23 p33 = - 3 3 1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解） x& 41- 2 x 31 &1 1 x2 = 102 x2 + 27u x&31- 13 x 533 x （2） y = 120 1 1 x 2y 01123 x l - 4- 12 解：A 的特征方程lI - A = - 1l- 2= (l - 1)(l - 3)2 = 0l1,2= 3, l = 1341- 2 p - 11l - 3 p 当l时， 102 11 = 11 1 = 3 p21 3 p21 311- 13 p p 31 p 1解之得令得11 p= p= p213111p= 111P = p
12、121 p31 = 1141- 2 p p1当l时， 102 11 = 11 2 = 3 p21 3 p21 + 1311- 13 p p 131 p 1解之得令得12 p= p1222+ 1, p= p2232p= 112P = p222 p = 003241- 2 p p 当l时， 102 13 = 13 3 = 1 p23 p23 331- 13 p p 33解 之 得p= 0, p= 2 p令p= 1得13233333 p 0 13 P = p= 2323 p 3311100- 12 T = 1 02T -1 = 11- 21 0101- 10- 12 31 8- 1T -1B = 1
13、1- 227 = - 52 01- 153- 34 1103x = 010 830x + - 5- 12 u120314 约旦标准型CT = 011102 = 203101032y = 01- 30314x4 第二章答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。（2） A= 11 41解：第一种方法：令l I - A = 0则l -1-1-4l -1= 0 ，即(l -1)2 - 4 = 0 。求解得到l1= 3 ， l2= -1当l = 3 时，特征矢量 p= p 11 11p21由，得11 p3 p Ap = l p 11 = 11 11 14 1 p3 p即 p + p= 3 p，可
14、令 p = 12121 112111 4 p + p1121= 3 p2112当l = -1时，特征矢量 p= p 12 22p22由，得11 p - p Ap = l p 12 = 12 22 24 1 p- p即 p + p= - p，可令 p= 1 2222 1222124 p + p1222= - p222 11 -2则11 ， 24 T = 2-2T -1 = 11 2-4 11 111111 e3t0 24 2 e3t + 2e-t4 e3t -4 e-t eAt = = 2-2 0e-t 11 3-t11 2- 4 e+ e t2 e3t + 2 e-t 第二种方法，即拉氏反变换
15、法：s -1-1 sI - A = -4s -1sI - A-1 = (1s -11 )()s - 3s +1 4s -1s -11(s - 3)(s +1)= (s - 3)(s +1)4s -1(s - 3)(s +1)(s - 3)(s +1) 1 1+ 1 1 1+ 1 2 s - 3s +1 4 s - 3s +1 = 1- 1 1 1+ 1 s - 3s +12 s - 3s +1 1111 22e3t +e-teAt = L-1 (sI - A)-1 = 4 e3t - 4 e-t e3t - e-t1 e3t + 1 e-t 22第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知l
16、= 3 ， l = -112 13 13 13 -1 e3t 44 e3t 4 e3t + 4 e-t 0 = = = 1 1-1e-t 11 e-t 1 3t1 -t 4- 4 4 e - 4 e 1111 13 10 13 11 2 e3t + 2 e-t4 e3t - 4 e-t eAt = 4 e3t + 4 e-t 01 + 4 e3t + 4 e-t 4 1 = 11 e3t - e-t2 e3t + 2 e-t 2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。（3）F (t )= 2e-t - e-2t e-t - e-2t2e-2t - 2e-t 2
17、e-2t - e-t （4） 1 () 1 ()F (t )= 2e-t + e3t-e-t + e3t41 () -e-t + e3te-t + e3t201解：（3）因为 F(0)= 10 = I ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件A = F (t )= -2e-t + 2e-2t-4e-2t + 2e-t = 0-2t =0 -e-t + 2e-2t-4e-2t + e-tt =01-301（4）因为F(0)= 10 = I ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 1313A = F(t )- 2 e-t + 2 e3t= e-t +e3t441311=4 1t =0e-t + 3e3t-
18、e-t +e3t 22t =02-6 求下列状态空间表达式的解：010001x = x + u y = (1,0 )x1初始状态x (0)= 1 ，输入u (t)时单位阶跃函数。 解： A = 0100s-1sI - A = 0s 11 (sI - A)-1 =1 s-1= ss2 0s 0s2 1s 1t F(t )= eAt = L-1 (sI - A)-1 = 0 1 因为B = 01， u (t )= I (t ) x (t )= F (t )x (0)+ t F (t -t )Bu (t )dt0= 1t 1 + t 1t -t 0 dt0 1 101 1 0 = t +1 + t
19、t -t t 1 1 d0 1= t +1 + 2 t 2 1 t 1= 2 t 2 + t +1t +1y = 10x = 1 t 2 + t +122-9 有系统如图 2.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s 和 1s，而u 和u12为分段常数。u2u-1K/(s+1)x1Xxy+1/s21X+2图 2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图u1KXx1u-2Xx21+Xy-+2列出状态方程x = ku - x111x = x - u212y = x2+ 2x1-10k0 u x = x + 1 2 100-1 u y = 21 x 1 x2则离散时间状态空间表
20、达式为 x (k +1)= G (T )x (k )+ H (T )u (k ) y (k )= cx (k )+ Du (k )由G (T )= eAt和H (T )= T eAt dtB 得：0-10k0 2A = 10B = 0-1CT = 1 ()-1 s +10 e-T0eAt = L-1sI - A= L-1 = -1s 1- e-T1 k (1- e-T )0 H = T eAt dt = T e-t0k0 = 1- e-T0 k0 = 1- e-T1dt 0-1 -1+ e-TT 0-1 ()00 T k T -1+ e-T-T 当T=1 时() e-10 ( )k (1- e
21、-1 )0 ( )x k +1 = x k+ u k1- e-11ke-1-1y (k +1)= 2 1x (k ) k (1- e-0.1 )0 当T=0.1 时x (k +1)= e-0.10 x (k )+ u (k )11- e-0.1k (e-0.1 - 0.9) -0.1y (k +1)= 2 1x (k )第三章答案3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1） 系统如图 3.16 所示：+x1-yax2-+-x3+x4-bc-du图3.16 系统模拟结构图解：由图可得：x = -ax + u11x
22、 = -bx22x = -cx + x + x3321= x + x12- cx3x = x43- dx4状态空间表达式为：y = x3 1 x - a000 x1 0- b00x1 0x2 = 2 + ux 11- c0 x 0 3 0-01d x3 0 x 44 y = 00 10 x、x、与xu由于x234无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于 y 只与 x 3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式： 1x- 110 x121 x2 = 0- 10 x2 + a0u 00- 2 x b0x 3 3c0d y = 000 x解：如状态方程与输出方程所示，A 为
23、约旦标准形。要使系统能控， 控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a 0, b 0 。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有c 0, d 0 。3-2 时不变系统 - 31 1 1X = 1- 3 X + 1 1u11 y = 1-1 X试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：- 31 1A = 1- 3, B = 1111 , C =11-11 1M = BAB= 1 1- 2- 2- 2- 2rankM = 1 2,系统不能控。 11 C 1-1N = = rankN = 2,系统能观。CA- 2- 2- 44 方法二：将系统化为约旦标准形。
24、lI - A = l + 3-1-1l + 3= (l + 3)2 -1 = 0l = -2，l12= -4则状态矢量：A P = l P P= 11 11 1 1 1A P = l P P= 1 2 22 22-1 11 T = 11 ， T-1 = 22 1-1 11 - 22 11 22- 31 11 - 20 T-1AT = 11 1- 31-1 = 0- 4- 22 11 22 1 111T-1B = 11 1 1 = 00- 22 CT = 11 11 = 201-11-102T-1B 中有全为零的行，系统不可控。CT 中没有全为 0 的列，系统可观。3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数a 和 biia(1) A =11 , b = 1, C = 1
