1、全国高中数学联赛辅导课件(一)集合12 全国高中数学联赛简介全国高中数学联赛简介 1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第月中旬的第一个星期日举行一个星期日举行“全国全国高中高中数学联合竞赛数学联合竞赛”。竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林名学生有资格参加由中国数学会奥
2、林匹克委员会主办的匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（中国数学奥林匹克（CMO）暨全）暨全国中学生数学冬令营国中学生数学冬令营”（每年元月）。各省的参赛名（每年元月）。各省的参赛名额由额由3人到人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。且对于承办方省份有一定额外的优惠。3 为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保
3、送者在有保送者在高考高考中加中加20分。对二等奖获得者，各分。对二等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策。为严格标省、市、自治区又出台了不同的政策。为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左名左右，并划分到各省、市、自治区。各省、市、自右，并划分到各省、市、自治区。各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。确定获奖名单。4自自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：年起，全国高中数学联赛试
4、题新规则如下：一试一试 考试时间为上午考试时间为上午8：0009：40。试题分填空题和。试题分填空题和解答题两部分，满分解答题两部分，满分120分。其中填空题分。其中填空题8道，每题道，每题8分；分；解答题解答题3道，分别为道，分别为16分、分、20分、分、20分。分。二试二试 考试时间为考试时间为9：40-12：10。试题为四道解答题，分。试题为四道解答题，分别为别为40，40，50，50分。包括平面几何，代数，数论，分。包括平面几何，代数，数论，组合数学各一道。组合数学各一道。5考试范围考试范围 一试一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学全
5、按照全日制中学数学教学大纲数学教学大纲中所规中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。中概率和微积分初步不考。6二试二试 1、平面几何、平面几何 基本要求：掌握基本要求：掌握初中初中数学竞赛大纲所确定的所有内数学竞赛大纲所确定的所有内容。容。补充要求：面积和面积方法。补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小
6、的几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点点费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点点重心。三角形内到三边距离之积最大的点重心。三角形内到三边距离之积最大的点重重心。心。7几何不等式。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的在周长一定的n边形的集合中，正边形的集合中，正n边形的面积最大。边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的在面积一定的n边形的集合中，正边形的集合中，正n边形的周长最小。边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲
7、线的集合中，圆的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。平面凸集、凸包及应用。82、代数、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容：在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。等式。第二数学归纳法。第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求函数迭
8、代，求n次迭代，简单的函数方程。次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。单位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。9一元一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外
9、，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。103、立体几何、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。基本性质。正多面体，欧拉定理。正多面体，欧拉定理。体积证法。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。直线的法线式，直线的极坐标方程，直
10、线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。圆的幂和根轴。115、其它、其它 抽屉原理。抽屉原理。容斥原理。容斥原理。极端原理。极端原理。集合的划分。集合的划分。覆盖。覆盖。梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 托勒密定理托勒密定理 西姆松线的存在性及性质。西姆松线的存在性及性质。赛瓦定理及其逆定理。赛瓦定理及其逆定理。12题号题号13-161718192021222324最高最高分分201212121211101010最低最低分分000000000平均平均分分5.664.01.295.36
11、 2.29 2.78 0.79 4.043.630.2830.10750.4470.1910.2320.0790.4040.363文科第文科第卷总体均分为卷总体均分为24.48分，较去年低分，较去年低5.5分（分（2008年文科数学第年文科数学第卷总体均分为卷总体均分为29.98分）。分）。13题号题号13-161718192021222324最高最高分分201212121211101010最低最低分分000000000平均平均分分6.26 5.08 3.56 3.953.52.09 1.56 5.686.0难度难度0.3130.4230.30.3290.2920.1740.1560.5680
12、.6理科第理科第卷总体均分为卷总体均分为29.65分，比去年低了分，比去年低了2.97分（分（2008年第年第卷总体均分为卷总体均分为32.62分）。分）。1415D.6D.6 C.3C.3 B.2B.2 A.0A.0）元素之和为（元素之和为（B的所有B的所有*则集合A则集合A,0,20,2，B，B1,21,2设A设AB By yA,A,x xxy,xy,z z|z zB B*A A西）定义集合运算：西）定义集合运算：例1、（2008.江例1、（2008.江D16BP PC CD D.Q Q Q QC CC C.P PP PB B.Q Q Q QA A.P P，则则（）4 4x x|x xQ
13、Q,4 4x x|x xP P江江）设设例例2 2、（2 20 01 10 0.浙浙R RR R2 2172 21 1x x1 1|x xD.D.2 2x x2 21 1|x xC.C.3 3x x|2|2x xB.B.3 3x x或2或22 21 1x x1 1|x xA.A.)B是(B是(则A则A,0 0 x x3 31 12x2x|x xB B，3 31 12x2x|x x徽）若集合A徽）若集合A例3、（2009.安例3、（2009.安D18）（则实数a的取值范围是则实数a的取值范围是,B B若A若A，0 04 45x5xx x|x xB B,1 1a ax x|x xA A京）已知集合
14、京）已知集合例4、（2007.北例4、（2007.北2 232 a19D.4D.4 C.3C.3 B.2B.2 A.1A.1）S)的个数为（S)的个数为（的x(x的x(xA AA Ax）x）（x（x足关系式足关系式0,1,2,3.则满0,1,2,3.则满j j被4除的余数，i,被4除的余数，i,j j其中k为i其中k为i,A AA A为：A为：A上定义运算上定义运算在S在S,A A,A A,A A,A A集合S集合S（2007.陕西）设（2007.陕西）设0 02 2k kj ji i3 32 21 10 0，所以选B，所以选B或A或AA Ax x故故,A Ax x即x即x2,2,k k,A AA A所以A所以A,A Ax x设x设x,A AA Ax)x)分析：因为(x分析：因为(x3 31 12 20 02 2k kk k0 02 220练习练习2122330kk或或
