1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节合适的观调节合适的观 看比例看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 11 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 一、解答题 1.(2019全国卷文科T20)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f(x)为f(x)的导数. (1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点. (2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围. 【命题意图】本题
2、考查利用导数讨论函数零点个数,根据恒成立的不等式求解参数范围的问题. 【解题指南】对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题,通常采用构造函数的方式,将问题转变成函数最值与零之间 的比较,进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性,从而得到最值. 【解析】(1)设g(x)=f(x), 则g(x)=cos x+xsin x-1,g(x)=xcos x. 当x( )时,g(x)0;当 x( )时,g(x)0,g()=-2,故 g(x)在(0,)存在唯一零点. 所以f(x)在(0,)存在唯一零点. (2)由题设知f()a,f()=0,可得a0. 由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为x
3、0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)2. 【命题意图】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想、化归与 转化思想,考查综合分析问题和解决问题的能力. 【解题指南】(1)首先写出函数的定义域,对函数求导,判断导数在对应区间上的符号,从而得到结果. (2)对函数求导,确定函数的单调性,求得极值的符号,从而确定出函数的零点个数,得到结果;首先根据题意,列出方程组, 借助中介函数,证得结果. 【解析】(1)由已知,f(x)的定义域为(0,+), 且f(x)= -ae x+a(x-1)ex= - , 因此当a0 时,1-ax2
4、ex0,从而f(x)0,所以f(x)在(0,+)内单调递增. (2)由(1)知,f(x)= - , 令g(x)=1-ax2ex,由 01 时,ln xx01,故 - - - = , 两边取对数,得 ln - 0. (1)当a=- 时,求函数 f(x)的单调区间. (2)对任意x* )均有f(x) ,求 a的取值范围. 注:e=2.718 28 为自然对数的底数. 【命题意图】本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力. 【解析】(1)当a=- 时,f(x)=- ln x+ ,x0. f(x)=- + = - , 所以,函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+). (2)由f(1) ,得 0a . 当 00, 故q(x)在* +上单调递增,所以 q(x)q( ). 由()得q( )=- p( )- p(1)=0. 所以,q(x)0. 由()()得对任意x* ),t2 ,+), g(t)0,即对任意x* ),均有f(x) . 综上所述,所求a的取值范围是( .
