1、高等数学考研辅导高等数学考研辅导（题型思路与必证定理）（题型思路与必证定理）一、不等式的证明思路xxx01、如如果区间上成立的不等式，一般用单调性证明果区间上成立的不等式，一般用单调性证明.1如，当如，当x (0,)时时,(1+)x e2 2、已知条件中导数的阶数是二阶以上，又知道最、已知条件中导数的阶数是二阶以上，又知道最 高阶导数的符号，一般要用泰勒公式考虑高阶导数的符号，一般要用泰勒公式考虑.如，已如，已知知f(x)在在(0,)内二阶可导内二阶可导,且且f (x)0，lim f(x)=0.0.证明证明：f (x)x3 3、利用最大值，最小值证明不等式利用最大值，最小值证明不等式.如如，当
2、当x 0,)时时，e x(1 x)14 4、常值不等式的证明转化成函数的单调性，常值不等式的证明转化成函数的单调性，或函数不等式或函数不等式.如如，比比较较e，e的的大小大小二、等式的证明思路1、如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑 如，如，F F（x0）=0 02 2、已知结论中含导数：、已知结论中含导数：（A A）是一个点的导数，）是一个点的导数，如如f（x0）=0 0，用罗尔定理考虑，用罗尔定理考虑（B B）是二个点的导数，）是二个点的导数，如如f（x0）+g（x0）=0 0，用两次拉，用两次拉格朗日中值定理或格朗日中值定理或一一 次次
3、 拉拉 格格 朗朗 日日 中中 值值 定定 理，理，一次柯西中值定理一次柯西中值定理2224f(c)f(c)a b (b a)2 f(a)4(b a)3 a b (b a)3、如果结论是函数值与某点如果结论是函数值与某点 的二阶导数的等式，的二阶导数的等式，要用泰勒公式考虑要用泰勒公式考虑.如，结论是如，结论是f(b)2 f 或或 f(b)f(a)f 三、级数收敛的证明思路 2nn1、如果涉及的级数的部分和是两项和或差如果涉及的级数的部分和是两项和或差 一般要一般要用级数的部分和用级数的部分和S Sn考虑考虑.如如，(an 1 an)2 2、如果已知级数通项的性质，、如果已知级数通项的性质，如
4、如 an 收敛，收敛，有界等，要证明级数收敛，一般用比较判别法有界等，要证明级数收敛，一般用比较判别法 的不等式形式的不等式形式.如如，na有有界界 a 收敛收敛2nn3 3、如果已知级数的性质，如果已知级数的性质，如如 an收敛等，要证明收敛等，要证明 级数收敛，一般也用比较判别法，但是用不等级数收敛，一般也用比较判别法，但是用不等 式形式居多式形式居多.如如，a 收收敛敛 a 收收敛敛四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：1.1.介值定理的证明介值定理的证明2.2.可导与可微等价可导与可微等价3.3.斜渐近线公式的推导斜渐近线公式的推导4.4.一元
5、函数取得极值的必要条件是什么？给出证明一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明5.5.三个中值定理的证明三个中值定理的证明6.设设y （fx）满满足足f（x0）=0=0，f（x0）0 0，证明证明x0是极值点是极值点7.设设y （fx）满满足足f（x0）=0=0，f （x0）0 0，证明证明 x0，（fx0）是拐点是拐点8.利用级数收敛的定义证明正项级数的比较法利用级数收敛的定义证明正项级数的比较法9.叙述并证明正项级数收敛的比值法叙述并证明正项级数收敛的比值法9.绝对收敛级数本身是收敛的绝对收敛级数本身是收敛的10.若级数每一项取绝对值后的正项级数若级数每一项取绝对值后的正项级数 用比值法
6、判定是发散的，证明原级数发散用比值法判定是发散的，证明原级数发散11.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和有界部分和有界12.交错级数收敛的阿贝尔定理交错级数收敛的阿贝尔定理14.设设yoz坐坐标面内的曲线标面内的曲线L的方程为的方程为 F（y,z）=0=0，求其绕求其绕z z轴旋转一周所得到轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程为为F（x2+y2,z）=0=013.二阶欧拉微分方程化为常系数微分方程二阶欧拉微分方程化为常系数微分方程 的推导过程的推导过程 P Q 15.设单连通区域设单连通区域D内内 y，x 连续，连续，且满且满足足 P Q，证明曲线积分证明曲线积分
7、 y x L Pdx Qdy在在D内与路径无关内与路径无关02aaa a0f(x)dx f(x)f(x)dx =16.设设f(x)在在 a,a 上连续，上连续，证证明明f(x)dx，若若f(x)是偶函数是偶函数0，若若f(x)是偶函数是偶函数a+TTa02-T2f(x)dx=f(x)dx=f(x)dx 17.设设f(x)是是以以T为为周期的连续函数，周期的连续函数，T证明证明对对a,a2 xf(x)dx 18.设设D是是由由y=f(x)(f 0),x a,b 和和x a,x b,y 0所围成，用微元法证所围成，用微元法证明明D绕绕y y轴旋转所得的旋转体的轴旋转所得的旋转体的b体积是体积是:n
8、ncos xdxn!20 20n!sin xdx n 1!1919.证明：（证明：（1 1）I=，n为奇数为奇数（2 2）I=，n为为奇奇数数bbb22aaaf(x)dx 2 f(x)g(x)dx g(x)dx n 1!220.f,g连续，则连续，则0 xF(x)21.21.f(x)C a，a ，则则 x a，a ,有有f(t)dt 奇函奇函数数,偶函数，偶函数，f(x)为偶函数为偶函数 f(x)为奇函数为奇函数 ba bbaa 22.22.若若（fx）在在 a，b 上连续上连续，（，（g x）在在 a，b 上可积且不变号上可积且不变号则则（1）a（fx）dx （f）(b a)（2）a，b，使得，使得，b，使，使得得（fx）（）（g x）dx （f）（g x）dx23.多元函数可微的必要条件（连续，可偏导）多元函数可微的必要条件（连续，可偏导）y e p(x)dxdx C)(Q(x)e p(x)dx2424.多元函数取得极值的必要条件（偏导数为零）多元函数取得极值的必要条件（偏导数为零）25.25.证明微分方证明微分方程程y p(x)y Q(x)的通解为的通解为
