1、第十一章 图形与证明第1课时课题：你的判断对吗?教学目标：1.经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行试验验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.2.在交流中，感受数学思考的合理性和严密性.3.渗透辨证唯物主义思想。教学重难点：体会证明的必要性教学过程：一、学情检查情境创设：情境1（学生看书P126）观察、思考和实验是人类发现、发明、创造的开端。我们曾通过观察、操作、实验等探索活动，发现了许多正确的结论.难道所有的探索活动获得的结论都是正确的吗？如图，从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币.如果向杯中注水，猜一猜这时从杯
2、子的侧面还能看到这枚硬币吗？试一试，你看到了硬币吗？情境2装有半杯水的透明玻璃杯中，插入一根笔直的筷子，这时我们会看到什么结论呢？答：进入水里的部分被弯折了并且变大了.说明：情景1、2学生亲身经历这两个实验的全过程,体验到生活中有时会产生错觉；事实上，在数学中只凭观察有时也会产生错觉，造成判断失误.二、合作交流探索活动1. 如图，两条线段AB与CD那一条长一些？先猜一猜，再量一量.2见书P127观察23.如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学
3、方法验证你的猜想.说明：这两个情景教学实例，告诉我们数学中观察、猜想有时不一定正确，引导学生运用已有的知识和方法进行验证它的正确性，进一步培养学生数学思考的严密性和合理性.例1. 下面图1中的四边形是正方形吗？图2中的两条直线a、b平行吗？说说你的看法，如何验证你的结论？ 操作：如图是一张88的正方形纸片，把它剪成4块，按图所示重新拼合.这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的长方形吗？试试看，并与全班同学交流.说明：本例题应主要让学生自己通过分组合作共同研究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不够的，强调我们在以后的数学学习中要学会说理.五、课堂检测六、课后作
4、业：七、教后感 第2课时课题：说理教学目标：1.经历探索一些问题时，由于“直观判断不一定可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受说理的必要性2.尝试用说理的方法解决问题，体验说理必须步步有据，培养学生严密分析问题的能力3了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论.4.通过实验、操作、探索，培养学生辨证分析问题的能力和逆向思维的能力；懂得任何事物都是正反两方面的对立统一体.教学重难点：感受“说理”的必要性,“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具，命题的组成，命题真假的判断.教学过程：一、学情检查情境创设：如图，
5、把长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图（2）处处1m宽的“曲径”问题1 两条小道占用草坪的面积相同吗？说说你的理由问题2 你认为应该如何计算小道占草坪的面积？操作1 用一张透明纸覆盖在图11-6（2）上，描出小道左边草坪的边框操作2 把透明纸向右平移，使左、右两边的草坪拼合你发现了什么？结论：“说理”是确定一个数学结论正确性的有力工具二、合作交流探索活动（一）例1.七年级某班的学生通过多次计算代数式的值，得到了以下的一些结论：问题1 当x=5、0、2、3时，计算代数式的值，与同学交流问题2 换几个数再试试，你发现了什么？你能说明理由吗？问题3 你认为以下结论正确吗？你能说明理由吗？ （1
6、）无论x取什么数，代数式的值总是偶数； （2）无论x取什么数，代数式的值总是正数； （3）无论x取什么数，代数式的值总是负数； （4）无论x取什么数，代数式的值大于1例2.如图，画AOB，并画AOB的角平分线OC. (1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与AOB的两边分别交于点E、F，并比较PE、PF的长度；(2)把三角尺绕点P旋转，比较PE与PF的长度，你能得到什么结论？你的结论一定成立吗？与同学交流.说明：由于学生已有通过观察、度量、猜想所得到的结论有时不一定可靠的体验，以及初步感受到“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具，因此学生对探索到的结论就有如何“
7、说理”的需求，虽然学生暂时不能解决，但这个悬念促使学生向往、追求着“说理”练习：课本P130 练习1、2、3探索活动（二）（1）怎样的两个数是“互为相反数”？（2）怎样的三角形是“等腰三角形”？（3）一组数据中，怎样的数是“众数”？由此得到什么是定义（板书课本P163的结论）思考（1）“等角的余角相等”与“等角的余角相等吗？”这两句话一样吗？如不一样，它们有什么不同？（2）“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点画已知直线的垂线”有什么不同？（3）“相等的角是对顶角”与“相等的角不一定是对顶角”又有什么不同？探索活动（三）1.观察下列命题，你能发现它们有什么共同的结构特征吗？命题
8、（1）：如果a0, b0，那么|a|=|b|.命题（2）：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等命题（3）：如果一个三角形有2个角相等，那么这两个角所对的边也相等说明：命题的结构特征学生不难找出，命题都由条件和结论两部分组成，缺少其中一部分就不能构成命题，可以明确告知学生，做为一个命题的两部分：条件和结论缺一不可，不过有时对其表述不明显罢了，为下面的活动做一些铺垫五、课堂检测六、课后作业：七、教后感第3课时课题：证明（1）教学目标：1.了解综合证明的基本步骤和书写格式；2.了解什么是证明？什么是定理？3.能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，
9、证明平行线的判定定理和平行线的性质定理，并能简单应用这些结论；4.感受数学的严谨性，结论的确定性，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；5.感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.教学重点：从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.教学难点：证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力.教学过程：一、学情检查情境创设：1.一个数学结论的正确性如何确认呢？其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证明的研究已有两千多年的历史了.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得写出了举世闻名的巨著原本，在这本书里，他
10、挑选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推导出了400条定理.2.课本中选用了哪些真命题作为“基本事实”，请一一写出来。_另外，还有_和_也都看作基本事实。3、由上面的基本事实出发，可以证实我们以前曾探索发现的有关平行线、三角形、四边形等许多性质是正确的。注：这些基本事实都是推理的依据。二、合作交流问题：如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性呢？(1)这个命题的条件是什么？结论是什么？(2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗？(3)要证明图1中的2与3相等，就需要知道它们有什么联系？你能说说它们之间的联系吗？解：1与2互补(已知)，1+2=180(互补的定义)，2=180
11、-1(等式性质).1与3互补(已知),1+3=180(互补的定义),3=180-1(等式性质),2=3(等量代换). 归纳：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）.已经证明的定理也可作为以后推理依据.例1.如何证明“对顶角相等”(1)仿照问题提问师生共同合作完成推理：已知：如图直线AB、CD相交于点O.求证：1=2.证明与图形有关的命题，一般有哪几个步骤？(1)根据命题，画出图形；(2)根据命题，结合图形，写出已知、求证；(3)写出证明过程.例2.证明：内错角相等，两直线平行.已知：如图，直线a、b被直线C所截，1=2.求证ab.定理：内
12、错角相等，两直线平行.尝试：证明“同旁内角互补，两直线平行”.2.“尝试”的证明，让学生充分发挥自已的知识积淀，从而对证明的格式有更深的理解.这里也与前面一样要让学生有条理地表述“三段论”.3.再次感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度.练习：课本P136 练习1、2五、课堂检测六、课后作业：七、教后感第4课时课题：证明（2）教学目标：1.进一步了解证明的基本步骤和书写格式.2.能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论. 3.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能
13、力.教学重点：从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论.教学难点：证明的基本步骤和书写格式，由合情推理到演绎推理的转化.教学过程：一、学情检查情境创设：1.三角形3个内角的和是多少？2.你是如何知道的？3.你认为这个结论正确吗？你有过怀疑吗？为什么？说明：设计问题情境，实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路把3个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经历了“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定的判断”，所以实际教学中，学生对三角形3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明.
14、二、合作交流问题：1.如何证明三角形内角和等于180？2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现.(2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起.3.你能想办法把A、B“搬”到相应的位置上吗？已知：ABC.求证：A+B+C=180.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.4. 画ACE=A是否也可以证明:A+B+ACB=180？5. 你还有不同的证明方法吗？与同学交流
15、.例如：过点A作EFBC.例1.思考：如图，是ABC的一个外角，与ABC的内角有怎样的大小关系？由三角形内角和定理，可以知道：=A+B,进而A，B.三角形内角和定理的推论：1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.例2.如图，梯形ABCD中，ADBC，B=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形.四、总结反思(1)我们通过添加辅助线，把三角形的3个内角拼成1个平角；把三角形的3个内角拼成两平行线的同旁内角，证明了三角形内角和定理及推论，从中可以体会到，不同的添加辅助线方法的实质是相同的把一个我们不会解的新问题，转化为我们会解的问题；(2)从
16、基本事实出发证实了曾探索得到有关平行线的结论的正确性、三角形内角和定理及推论，由此还可以继续证明一个又一个定理：基本事实、有关概念条件定理1基本事实、有关概念条件定理2定理3五、课堂检测六、课后作业：七、教后感第5课时课题：互逆命题教学目标：1. 了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立；2. 通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题.3.能运用合情推理和演绎推理来证明一个命题.4. 经历一些“探索发现猜想证明”的过程，不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力.教学重点：会写出一个命题的逆命题，并会利用反例判断一个命题是假命题.用不同
17、的方法证明同一个命题.教学难点：如何列举反例判断一个命题是否真、假命题，规范证明过程的书写.教学过程：一、学情检查情境创设：公元前6世纪，古希腊哲人泰勒斯利用影子测量了金字塔的高度，他自已还发现了三角形的一个特征：等腰三角形的两个底角相等，反过来说，要使三角形两角相等，它们的对边必须相等.这个发现我们现在看来很简单，可是在当时发现它们的确不易，其实这两个三角形的特征是两个定理，或者说是两个真命题.问题：1. 这两个命题有什么联系与区别？2. 我们还学过类似的一些命题吗？如(平行线的判定与性质).归纳：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那
18、么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.说明：1. 这个情境，通过同学们熟悉的一组互逆命题引入，使学生能轻易总结出互逆命题的特征，归纳出它们的条件与结论的共性.再通过同学们之间的合作、交流、探索出类似的命题，从而能熟练掌握互逆命题的概念，会识别两个互逆命题.2. 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.二、合作交流1. 说出下列命题的逆命题，并与同学交流：(1)对顶角相等；(2)如果a2=b2，那么a=b；(3)直角三角形的两个锐角互余；(4)轴对称图形是等腰三角形；(5)正方形的4个角都是直角.说明：1. (1)(3)(5)直接叙述它们的逆命
19、题可能会有些困难，可以指导学生画出相关的图形分析命题的条件和结论.问题：1. 你能判断上述互逆命题的真假吗？(1)真，假；(2)假，真；(3)真，真；(4)假，真；(5)真，假.说明：组织学生思考并交流各自判断命题真假的情况，以利于引导学生主动发现：一对互逆命题的真假性不一定相同.问题2：说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？问题3：你是如何判断一个命题是假命题的.例1.如果a2=b2，那么a=b正确吗？（不正确，如：当a=2，b=2时，a2=b2，但ab，这样的例子称为反例）.例2.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.(1)若ac2b
20、c2，则ab；(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若ab=0，则a=0. .解：(1)逆命题为：若ab，则ac2bc2.假命题，如c=0，ac2=bc2(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题.(3)逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题.例3.证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.分析：首先将文字命题转换成符号语言已知：如图(2)直线a、b、c，ba，ca，求证：bc.证明：作直线a、b、c的截线d因为ba(已知)所以 2=1( )因为ca (已知)所以3=1( )所以2=3(等量代换)所以bc( )四、总结反思1.说说你对互逆
21、命题有哪些了解？2.举出一个反例来说明一个命题是假命题.3.图形的特殊的“位置关系”常常决定了有某种特殊的“数量关系”.比如，如果两直线平行（位置关系），那么内错角相等（数量关系）.反过来，图形的特殊的“数量关系”常常决定了图形有特殊的“位置关系”.比如，如果内错角相等（数量关系），那么两平行线（位置关系），从而体会形与数的内在联系；4.回顾我们曾探索得到的关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题.五、课堂检测六、课后作业：七、教后感第6课时课题：本章复习一、基础训练1、下列语句中，是命题的为（）A、延长线段AB至CB、垂线段最短C、过点O作直线abD、锐角都相等吗2、下列命题是假命题的
22、是（）A、若0ba，则a2b2B、相等的角是对顶角C、若ab0，则a、b互为相反数D、两点之间线段最短3、如图所示，下列推理及所注理由正确的是（）A、DEBC，1C（同位角相等，两直线平行）B、23，DEBC（同位角相等，两直线平行）C、DEBC，23（两直线平行，内错角相等）D、1C，DEBC（两直线平行，同位角相等）4、如图所示，已知ABEF，BCCD于C，ABC30，DEF45，则CDE等于（）A、105B、75C、135D、115第3题第4题第5题5、如图所示，已知ABDE，ABC80，CDE140，则BCD6、如图所示，推理填空：（1）A（已知），ACED（）（2）2（已知）ACED
23、（）（3）A180（已知）ABFD（）（4）2180（）ACDE（）7、命题“直角都相等”的条件是，结论是8、如图所示，已知ABCD，C75，A25，则E的度数是二、知识点1、知识结构2、思想方法（1）观察与推理相结合的思想方法（2）真假命题的判定方法要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子满足命题的条件，但不东路结论就可以了，即常说的举反例法.判定一个命题是真命题，必须用说理的方法加以证明，证明一个真命题的一般步骤是：根据题意，画出图形；根据条件，结论、结合图形，写出已知、求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.三、例题精讲例1、如图所示，已知B25，BEF45，EFC30，C10.求证：ABCD.例2、如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在D、C位置上，若EFG55，求AEG和BGE的度数.例3、如图所示，已知BEAD，CFAD，且BECF.请你判断AD是ABC的中线学是角平分线？请说明你判断的理由.例4、已知：如图所示，在ABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G.（1）求证：BCAC；（2）求证：CEBF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.17
