1、名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行数列数列(1)了解数列的概念和几种简单的表示方了解数列的概念和几种简单的表示方法法.(列表、图象、通项公式列表、图象、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类特了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数殊函数.返回目录返回目录 名师伴你行 从近两年的高考题来看从近两年的高考题来看,Sn与与an的关系的关系,数列的递推公数列的递推公式是高考的热点式是高考的热点,题型为解答题题型为解答题,分值在分值在12分左右分左右,属较难属较难题目题目,旨在考查学生分析问题、解决问题的能力旨在考查学生分析问题、解决问题的能力.在考查基在考查基本知识的
2、同时又注重考查等价转化、函数与方程、分类本知识的同时又注重考查等价转化、函数与方程、分类讨论等思想方法讨论等思想方法.预测预测2012年高考仍将以年高考仍将以Sn与与an的关系为主要考点的关系为主要考点,重重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力点考查学生的运算能力与逻辑推理能力.返回目录返回目录 1.1.按照按照 叫做数列叫做数列.数列数列中的中的 叫做这个数列的项；在函数意义下，叫做这个数列的项；在函数意义下，数列是定义域为数列是定义域为 的函数，的函数，f（n）是）是当自变量当自变量n从从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值开始依次取自然数时所对应的一列函数值f（1），），f（2），），f
3、（n）,.通常用通常用an代替代替f（n），），故数列的一般形式为：故数列的一般形式为：a1，a2,a3,an,简记为简记为an,其其中中an是数列的第是数列的第 项项.一定次序排列着的一列数一定次序排列着的一列数 每一个数每一个数 N*或它的子集或它的子集 n名师伴你行返回目录返回目录 2.如果数列如果数列an的的 与序号与序号 之之间的关系可以用一个式子间的关系可以用一个式子an=f(n)来表示来表示,那么那么 an=f(n)叫叫做数列的做数列的 .但并非每个数列都有通项公式但并非每个数列都有通项公式,也也并非都是唯一的并非都是唯一的.3.如果已知数列如果已知数列an的第的第 项项(或或
4、),且且从第二项从第二项(或某一项或某一项)开始的开始的 与它的与它的 (或或 )间的关系可以用一个公式来表间的关系可以用一个公式来表示示,那么这个公式叫数列的递推公式那么这个公式叫数列的递推公式.数列常用的表示法数列常用的表示法有有 :(通项公式或递推公式通项公式或递推公式)、.第第n项项 n 通项公式通项公式 1 前几项前几项 任一项任一项an 前一项前一项an-1 前几项前几项解析法解析法 列表法列表法 图象法图象法 名师伴你行返回目录返回目录 4.数列按项数来分数列按项数来分,分为分为 、；按项；按项 增减规律分为增减规律分为 、和和 .递增数列递增数列an+1 an;递减数列递减数列
5、an+1 an;常数列常数列an+1 an.递增数列与递减数列通称为递增数列与递减数列通称为 .按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分，可分按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分，可分为为 和和 .，（，（n=1），（，（n2）.anan-1,anan-1,anan+1.anan+1.Sn-Sn-1 5.已知已知Sn，则，则an=数列数列an中，中，若若an最大，则最大，则若若an最小，则最小，则有穷数列有穷数列 无穷数列无穷数列 递增数列递增数列 递减数列递减数列 摆动数列摆动数列 常数列常数列 =单调数列单调数列 有界数列有界数列 无界数列无界数列 S1 名师伴你行返回目录返回目录 写
6、出下面各数列的一个通项公式：写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，；（2）；（3）-1，,;,3 32 23 31 1,1 16 61 15 5,8 87 7,4 43 3,2 21 1,63,51,-43,31-,23名师伴你行返回目录返回目录 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系.（1）各项减去）各项减去1后为正偶数，后为正偶数，所以所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列，而分母组成数列21，22，23，24,
7、所以所以an=.（3）奇数项为负）奇数项为负,偶数项为正偶数项为正,故通项公式中含因子故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对而各项绝对值的分子组成的数列中值的分子组成的数列中,奇数项为奇数项为1,偶数项为偶数项为3,即奇数项即奇数项为为2-1,偶数项为偶数项为2+1,n nn n2 21 1-2 2名师伴你行返回目录返回目录 所以所以an=(-1)n .-(n为正奇数为正奇数)(n为正偶数为正偶数).n n(-1)(-1)+2 2n nn n1 1n n3 3也可写为也可写为an=名师伴你行返回目录返回目录(1)据所给数列的前
8、几项求其通项公式时据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观需仔细观察分析察分析,抓住以下几方面的特征抓住以下几方面的特征:分式中分子、分母的特征；分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法蕴含着完全归纳法蕴含着“从特殊到一般从特殊到一般”的思想，由不完全的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，
9、可用（负符号变化，可用（-1）n或或(-1)n+1来调整来调整.名师伴你行返回目录返回目录 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1），；（2）1，3，6，10，15，；（3），-，；（4）7，77，777，.5 54 42 21 111114 47 72 22 21 14 41 18 85 516161313名师伴你行返回目录返回目录 (1)注意前四项中有两项的分子均为注意前四项中有两项的分子均为4，不妨把分，不妨把分子都统一为子都统一为4，即：，即：，.因而有因而有an=.(2)注意注意6=23,10=25,15=35,规律还不明
10、显，规律还不明显，再把各项同乘以再把各项同乘以2再除以再除以2，即，即 ,因而有因而有an=.5 54 48 84 411114 414144 42 23n3n4 4+2 26 65 5,2 25 54 4,2 24 43 3,2 23 32 2,2 22 21 12 2 )1 1n n(n n+名师伴你行返回目录返回目录 (3)其分母的规律是明显的，关键在于观察分子，分其分母的规律是明显的，关键在于观察分子，分子后三项绝对值递增，且比分母小子后三项绝对值递增，且比分母小3.又注意到第三项为又注意到第三项为负，而第一项的分子也可以写成负，而第一项的分子也可以写成-(-1),an=(-1)n .
11、(4)把各项除以把各项除以7，得，得1，11，111，再乘以，再乘以9，得得9,99,999,.an=（10n-1）.9 97 7n nn n2 2 3 3-2 2名师伴你行返回目录返回目录 直接求通直接求通 由公式由公式 S1 n=1 Sn-Sn-1 n2项公式项公式.an=已知下面各数列已知下面各数列an的前的前n项和项和Sn的公式，求的公式，求an的通的通项公式项公式.（1）Sn=2n2-3n；（；（2）Sn=3n-2；（；（3）Sn=3an-2.名师伴你行返回目录返回目录 (1)a1=S1=-1,当当n2时时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-
12、5.由于由于a1也适合此等式也适合此等式,因此因此an=4n-5(nN*).(2)a1=S1=1,当当n2时时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=23n-1.1 （n=1），），23n-1 （n2）.an=名师伴你行返回目录返回目录(3)an=Sn-Sn-1=（3an-2）-（3an-1-2），），an=an-1（n2）.又又a1=S1=3a1-2，a1=1.an是以是以1为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.an=1()n-1=()n-1.2 23 32 23 32 23 32 23 3名师伴你行返回目录返回目录 数列的通项数列的通项an与前与前n项和项和Sn
13、的关系是的关系是 S1（n=1）Sn-Sn-1（n2）,视视.已知已知an求求Sn时方法千差万别，但已知时方法千差万别，但已知Sn求求an时方法却时方法却是高度统一是高度统一.当当n2时求出时求出an也适合也适合n=1时的情形，时的情形，可直可直接写成接写成an=Sn-Sn-1，否则分段表示，否则分段表示.此公式经常使用，应引起足够的重此公式经常使用，应引起足够的重an=名师伴你行返回目录返回目录 已知数列已知数列 an 的前的前n项和项和Sn满足满足an+2SnSn-1=0（n2）,a1=,求求an.2 21 1名师伴你行返回目录返回目录 当当n2时，时，an=Sn-Sn-1，Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即即 =2,数列数列 是公差为是公差为2的等差数列的等差数列.又又S1=a1=12,=2,=2+(n-1)2=2n，Sn=.当当n2时，时，an=-2SnSn-1=-2 =-，（n=1）（n2）.-1-1n nn nS S1 1-S S1 1n nS S1 11 1S S1 1n nS S1 12n2n1 12n2n1 11)1)-2(n2(n1 11 1)-2 2n n(n n1 12 21 11)1)-2n(n2n(n1 1-an=名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行
