1、2020级高三校际联合考试数学试题考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效，3考试结束，将试题卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已
2、知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（ ）A. 43.5分钟B. 45.5分钟C. 47.5分钟D. 49.5分钟5. 已知，则（ ）A. -54B. -52C. 50D. -486. 古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pa
3、ppus，公元3世纪末）在其代表作数学汇编中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线今有平面内三条给定的直线，且，均与垂直若动点M到的距离的乘积是M到的距离的平方的4倍，则动点M在直线之间（含边界）的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线7. 已知，则（ ）A. B. C D. 8. 对于给定的正整数定义在区间上的函数满足：当时，且对任意的，都有若与n有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于x的方程的实数解的个数为（ ）A. nB. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每
4、小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9. 下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则的最小值为4C. 命题使得，则D. 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 的图象关于点对称B. 在区间的最小值为C. 为偶函数D. 的图象向右平个单位后得到的图象11. 已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）A. 圆O上存在点M使平面SBCB. 圆O上存在点
5、M使平面SBCC. 圆锥SO外接球表面积为D. 棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动12. 如图，在平面直角坐标系中一系列格点，其中，且记，如，即，即，即，以此类推设数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若向量与的夹角为，且则_14. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_15. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于，两点，若成等差数列，且与方向相反，则双曲线的离心率为_16. 已知曲线与的两条公切线
6、的夹角余弦值为，则_四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（1）求角A的值；（2）若的面积，试判断的形状18. 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，（1）证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值19. 已知数列，其前n项和满足：（1）求证：数列为等差数列;（2）若，求数列的前20项和20. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的云计算白皮书（2022年）可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据
7、统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y/亿元692962133420913229经计算得：=3633，=112.85. （1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）.（2）云计算为企业降低生产成本提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据其回归
8、直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.若，则， 21. 如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且（1）求的最小值；（2）求的取值范围22. 已知函数（1）若恒成立，求实数的值：（2）若，证明：2020级高三校际联合考试数学试题考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效，3考试结束，将试题卷和答题卡一并交回一、单项选择题
9、：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 设复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C解：因为定义域上单调递减，故由得，而定义域上单调递增，故，满足充分性；又，满足必要性，故选：C4. 为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体
10、育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（ ）A. 43.5分钟B. 45.5分钟C. 47.5分钟D. 49.5分钟【答案】C解：由频率之和为1得：，解得，由，故第25百分位数位于内，则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故选：C.5. 已知，则（ ）A. -54B. -52C. 50D. -48【答案】A解：，令，得；令，得；由两式相加得，所以.故选：A.6. 古希腊亚历山大时期一位重要的
11、几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作数学汇编中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线今有平面内三条给定的直线，且，均与垂直若动点M到的距离的乘积是M到的距离的平方的4倍，则动点M在直线之间（含边界）的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B解：因为在平面内三条给定的直线，且，均与垂直，所以，平行，记为，直线为，为， 设，且动点M在直线之间，所以，所以M到的距离为，M到的距离为，M到的距离为，又因为动点M到距离的乘积与到的距离的平方4倍相等， 所以，所以，即，故动点M的轨迹为椭圆.故选：
12、B.7. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A解：令，若，则，若，则，则函数在上单调递减，在上单调递增.则，即，.取，则，即.取，则，即，.又，令，则函数都上单调递增，则.所以时，.又函数在上单调递增，所以.即，.故选：A8. 对于给定的正整数定义在区间上的函数满足：当时，且对任意的，都有若与n有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于x的方程的实数解的个数为（ ）A. nB. C. D. 【答案】B解：由题意，画出在之间的图象，又对任意的，都有，可理解为区间的图象由区间的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出在上的图象.故若与有关的实数使得方程在区间上有
13、且仅有一个实数解，则与在区间上的图象相切，且易得的图象在与区间，上的公切线之间.故与在区间，上均有2个交点，故关于的方程的实数解的个数为个.故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分9. 下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则的最小值为4C. 命题使得，则D. 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为【答案】AD10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 的图象关于点对称B. 在区间的最小值为C. 为偶函数D
14、. 的图象向右平个单位后得到的图象【答案】BC解：，由图象可知，即，又，所以，由五点作图法可得，解得，所以，对于A：，所以的图象关于对称，故A错误；对于B：当时，即在区间上的最小值为，故B正确；对于C：，为偶函数，故C正确.对于D：的图象向右平移个单位后得到的图象，故D错误；故选:BC.11. 已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）A. 圆O上存在点M使平面SBCB. 圆O上存在点M使平面SBCC. 圆锥SO的外接球表面积为D. 棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动【答案】ACD解：对于A，如下图，过点O
15、作，交劣弧于点，连结.由于分别为的中点，所以，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面.又，所以面平面. 又，所以平面SBC，故A正确；对于B，假设圆O上存在点M使平面SBC, 平面，所以.又因为平面ABC, 平面ABC，所以，又，所以平面SOB,又平面SBC,所以平面平面SBC，而平面平面，故B错误；对于C，如下图，已知，圆锥SO的侧面积为，解得，则，由题意可知球心O在SO上，记为，设其半径为，由勾股定理得，所以，解得，所以圆锥SO的外接球表面积为，故C正确；对于D，设圆锥SO的内切球半径为，则圆锥的轴截面内切圆的半径为，则，如下图，由等面积法知，.设半径为的球内接正四面体棱长为.如下图，为
16、正四面体底面中心，为正四面体外接球球心，则，即，解得.故D正确.故选：ACD.12. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且记，如，即，即，即，以此类推设数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD解：由题知，点，设，记设数列的前n项和为，则，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A错误；，故B正确；当时，所在点的坐标为，则，故C错误；，对应点的坐标为，所以，故D正确.故
17、选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若向量与的夹角为，且则_【答案】解：因为，所以，又因为向量与的夹角为，且所以.故答案为：.14. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_【答案】解：由已知，则.故答案为：.15. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于，两点，若成等差数列，且与方向相反，则双曲线的离心率为_解：设双曲线方程为，由成等差数列，且与方向相反，所以可设， 由勾股定理可得：，得：，即，所以，又的方程为，的方程为，即，而，解得，则离心率故
18、答案为：16. 已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_解：曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，由题意可知，所以，解得或，因为为锐角，所以由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，所以，所以直线的方程为即，所以，所以直线的方程为即所以即所以即，所以，即，于是有，所以.故答案为：.四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（1）求角A的值；（2）若的面积，试判断的形状【1】因为，由正弦定理得，又三角形内角，所以，所以；【2】，又， ，所以,是直角三角形.18. 如图，矩形所
19、平面与所在平面垂直，（1）证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值【1】四边形为矩形，；，即，又，平面，平面.【2】方法一：平面平面，平面平面，平面，平面，则即为直线与平面所成的角，过点作，则平面平面，由（1）可得：面，平面与平面的夹角为，又，则，又异面直线与所成的角为，即异面直线与所成角的余弦值为方法二：由（1）可得：，以点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，；，解得：；平面，平面的一个法向量；，解得：，即异面直线与所成角的余弦值为.19. 已知数列
20、，其前n项和满足：（1）求证：数列为等差数列;（2）若，求数列的前20项和【1】因为，所以两式相减可得即，由，可得两式相减可得，化简可得所以所以数列为等差数列.【2】由，可得，解得，由（1）知，数列为等差数列，因为，所以，所以数列的通项公式为，所以.所以数列的前20项和：.20. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的云计算白皮书（2022年）可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y/亿元692962133420913229经计
21、算得：=36.33，=112.85. （1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）.（2）云计算为企业降低生产成本提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.若，则， 【1】因为，所以，所以，所以，所以.【2】未引入云算力辅助前，所以，又，所以，所以.引入云算力
22、辅助后，所以，若保持产品成本不变，则，所以若产品质量不变，则，所以，所以单件产品成本可以下降元.21. 如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且（1）求的最小值；（2）求的取值范围解：（1）对函数求导得，所以抛物线在点处的切线方程为，即，联立，得，所以，解得，所以直线的方程为，联立，得，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为；（2）记点、到直线的距离分别为、，所以，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为22. 已知函数（1）若恒成立，求实数的值：（2）若，证明：【1】由题意得：定义域为，；当时，在上单调递增，若，则，时，不合题意；若，则，不合题意；当时，若，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增，；若恒成立，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；又，；则当时，符合题意；综上所述：.【2】由得：，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；由得：；，当时，由得：，；当时，要证，只需证，则只需证，又，只需证；令，则，在上单调递减，即，即得证，；综上所述：成立.
