1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强12.1 导数与微分导数与微分上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2例例1 1 设设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 一、用导数定义求导数一、用导数定义求导数()(1)(2)(100),(0).f xx xxxf 求求上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强3解解,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf0,x 当当时时,0)0()0(ff;0)0(f02,x当当时时;43)(2xxxf 20,xx当当或或时时;
2、43)(2xxxf 二、分段函数在分段点处的可导性二、分段函数在分段点处的可导性例例1 设设()(2),().f xx x xfx 求求先去掉绝对值先去掉绝对值上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强42,x 当当时时2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4),2()2(ff()2.f xx在在处处不不可可导导 ,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或或上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强5例例2 设函数设函数2,1(),1xx
3、f xaxbx 试确定试确定a、b的值，使的值，使f(x)在点在点x=1处可导。处可导。解解 可导一定连续，可导一定连续，f(x)在在x=1处也是连续的。处也是连续的。由由 211(10)lim()lim1xxff xx11(10)lim()lim().xxff xaxbab要使要使f(x)在点在点x=1处连续，必须有处连续，必须有 a+b=1.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强6又又 1()(1)(1)lim1xf xffx 211lim1xxx 1lim(1)2xx 1()(1)(1)lim1xf xffx 11lim1xaxbx 1(1)lim1xa xax a+
4、b=1.要使要使f(x)在点在点x=1处可导，必须处可导，必须(1)(1).ff 即即 a=2.故当故当a=2,b=-1时时,f(x)在点在点x=1处可导处可导.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强7三、运用各种运算法则求导数或微分三、运用各种运算法则求导数或微分()(ln),f xyfxe例例1 设设f(x)可微，可微，求求dy.解解()()(ln)(ln)f xf xdyfx deedfx()()(ln)f xfx efx dx ()1(ln)f xfx edxx ()1()(ln)(ln)f xefx fxfx dxx(要求要求非常熟练非常熟练地运用地运用)上一页上
5、一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强8例例22221111arctan 1ln,.2411xyxyx 设设求求解解21,ux设设111arctanln,241uyuu 则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强9例例3022,.54txttdydxytt t 设设求求解解分析分析:0,tt 当当时时导导数数不不存存在在0,dx dytdtdt当当时时不不存存在在不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5limlim200)
6、sgn(2)sgn(45lim0tttt .0 00.tdydx 故故上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强10cos(sin),.xyxxy 设设求求例例4解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强11四、求切线方程和法线方程四、求切线方程和法线方程解解 由已知条件可知由已知条件可知(0)0,f 2(arctan)02(0)1.1xxefx 故所求切线方程为故所求切线方程为.yx 2lim()nnfn 2()(0)lim22nffnn
7、 2(0)2f 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强12解解 曲线的参数方程为曲线的参数方程为 2(1cos)coscoscos,(1cos)sinsinsin cos.xy 66dydyddxdxd 226coscossinsin2cos sin 1.因此因此上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强13故切线方程故切线方程 13331().2424yx即即 3530.44xy法线方程法线方程 1333(),2424yx 即即 1130.44xy上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强14解解 由题设可知由题设可知(6)(1),ff(6
8、)(1).ff 故切线方程为故切线方程为(1)(1)(6).yffx 由由f(x)连续性连续性 0lim(1sin)3(1sin)2(1).xfxfxf 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强15由所给条件可知由所给条件可知 0lim(1sin)3(1sin)2(1).xfxfxf 2(1)0,f (1)0.f 即即再由条件可知再由条件可知 0(1sin)3(1sin)limsinxfxfxx 08()lim()8sinsinxxxxx 令令 sin,xt 0(1)3(1)lim8.tftftt 可得可得 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强160(1
9、)3(1)lim8.tftftt (1)0.f 又又0(1)3(1)limtftftt00(1)(1)(1)(1)lim3lim()ttftfftftt(1)3(1)ff4(1)f .8 则则(1)2.f 所求切线方程为所求切线方程为 02(6),yx即即 2120.xy上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强171、求二阶导数求二阶导数 五、高阶导数五、高阶导数66sinc1os.yxxy 例例，求求2323(sin)(cos)yxx4224sinsincoscosxxxx222(sincos)xx231sin 24x38y 24 33ab()ab 22()aabb53co
10、s488xcos(4)x 21cos2sin2 223sincosxx 解解 6cos4.x 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强18例例2解解33cos.sinxatyat 求求由由方方程程表表示示的的函函数数的的二二阶阶导导数数dtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强19d dyx()t ft()ft,t 22d dyx()ft 解解(),xft ()
11、0,ft 22d.dyx()().ytftf t 且且例例3 设设求求1上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强20例例4 4解解002000,cos,1sin,2(1);(2).vxv tyv tgttt 不不计计空空气气的的阻阻力力 以以初初速速度度发发射射角角发发射射炮炮弹弹 其其运运动动方方程程为为求求炮炮弹弹在在时时刻刻 的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻 的的速速度度大大小小xyovxvyv0v00(1),tt在在 时时刻刻的的运运动动方方向向即即轨轨迹迹在在 时时刻刻的的切切线线方方向向.可可由由切切线线的的斜斜率率来来反反映映上一页上一页下一页下一页湘潭
12、大学数学与计算科学学院 王文强21)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt0(2),tx y炮炮弹弹在在时时刻刻沿沿轴轴方方向向的的分分速速度度为为00)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 0t在在 时时刻刻炮炮弹弹的的速速度度为为22yxvvv 2020020sin2tggtvv 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强22例例5 5441,(0,1).xxyyy 设设求求在在点点处处的的值值解解x方方程程两两
13、边边对对 求求导导得得)1(04433 yyyxyx0,1xy代代入入得得;4110 yxy(1)x将将方方程程两两边边再再对对 求求导导得得04)(122123222 yyyyyxyx0114xyy 得得0,1,xy代代入入.16110 yxy上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强232.n阶导数阶导数 ,uvn设设函函数数 和和 具具有有 阶阶导导数数 则则)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvu
14、vu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2422()(0,0),.yxyf xyx xyd ydx设设函函数数由由方方程程所所确确定定 求求例例6解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx lnln,yyxx 即即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强25常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2s
15、in()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)(!)1()1(nnnxnx上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强262()241,.1nxyyx 设设求求例例1解解13441142222 xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx.)1(1)1(1!)1(2311)(nnnnxxny上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强27例例222(20),.xyx ey 设设求求解解22,xuevx设设则则由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式知知0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex
