1、例例1.1.某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为A Ac c=b=bh=(300h=(300500)mm500)mm2 2，配有，配有4 4根直径为根直径为25mm25mm的的HRB335HRB335钢筋，钢筋，A As s=1964mm=1964mm2 2。设荷载服从正态分布，轴力。设荷载服从正态分布，轴力N N的平均值的平均值N N=1800kN=1800kN，变，变异系数异系数N N=0.10=0.10。钢筋屈服强度。钢筋屈服强度f fy y服从正态分布，其平均值服从正态分布，其平均值 fyfy=380N/mm2=380N/mm2，变异系数，变异系数f
2、yfy=0.06=0.06。混凝土轴心抗压强度。混凝土轴心抗压强度f fc c也服从也服从正态分布，其平均值正态分布，其平均值fcfc=24.80N/mm2=24.80N/mm2，变异系数，变异系数fcfc=0.20=0.20。不考。不考虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标标。解：解：(1)(1)荷载效应荷载效应S S的统计参数。的统计参数。S S=N N=1800kN=1800kN，S S=N N=N NN N=1800=18000.10=180kN0.10=180kN (2)(2)构件抗力构件抗力R R的统计
3、参数。的统计参数。短柱的抗力由混凝土抗力短柱的抗力由混凝土抗力 R Rc c=f=fc cA Ac c 和钢筋的抗力和钢筋的抗力 R Rs s=f=fy yA As s 两部分两部分组成，即：组成，即：R=RR=Rc c+R+Rs s=f=fc cA Ac c+f+fy yA As s混凝土抗力混凝土抗力R Rc c的统计参数为：的统计参数为：RcRc=A=Ac cfcfc=500=50030030024.8=3720kN24.8=3720kN RcRc=RcRcfcfc=3720=37200.20=744.0kN0.20=744.0kN钢筋抗力钢筋抗力RsRs的统计参数：的统计参数：Rs=A
4、sfy=1964Rs=Asfy=1964380=746.3kN380=746.3kNRs=Rsfy=746.3Rs=Rsfy=746.30.06=44.8kN0.06=44.8kN构件抗力构件抗力R R的统计参数：的统计参数：R R=RcRc+RsRs=3720+746.3=4466.3kN=3720+746.3=4466.3kN(3)(3)可靠指标可靠指标的计算。的计算。查表可得，相应的失效概率查表可得，相应的失效概率P Pf f 为为2.062.061010-4-4。2222744.044.8745.3kNRRcRs22224466.31800.03.48745.3180.0RSRS例例2
5、.2.已知某钢梁截面的塑性抵抗矩服从正态分布，已知某钢梁截面的塑性抵抗矩服从正态分布，,；钢梁材料的屈服强度；钢梁材料的屈服强度 服从对数正态分服从对数正态分布，布，钢梁承受确定性弯矩钢梁承受确定性弯矩 M=130.0KN.m M=130.0KN.m。试。试用均值一次二阶矩法用均值一次二阶矩法(中心点法中心点法)计算该梁的可靠指标计算该梁的可靠指标。解：解：(1)(1)取用抗力作为功能函数取用抗力作为功能函数 极限状态方程为极限状态方程为 则则:539.0 10 mmW0.04W3234N/mmf0.12f6130.010ZfWMfW6130.0100ZfWMfW567234 9.0 1013
6、0.0 108.06 10 N mZfWM 222222222221417()()7.10 102.66 10 N minZXfWWffWWfiiZgX 778.06103.032.6610ZZ(2)(2)取用应力作为功能函数取用应力作为功能函数 极限状态方程为极限状态方程为 则则:由上述比较可知，对于同一问题，由于所取的极限状态方程不由上述比较可知，对于同一问题，由于所取的极限状态方程不同，计算出的可靠指标有较大的差异。同，计算出的可靠指标有较大的差异。MZfW0MZfW6252222222222212130.0 1023489.56N/m9.0 10()()()1623.0540.29N/
7、m89.562.2240.29iZfWnZXfWffWiiWWZZZMgMMX 例例3 3 某钢梁截面抵抗矩为某钢梁截面抵抗矩为W W，W=5.5W=5.5104mm3,104mm3,W=0.3W=0.3104mm3104mm3；钢材的屈服强度为钢材的屈服强度为f,f,f=380.0N/mm2,f=30.4N/mm2f=380.0N/mm2,f=30.4N/mm2。钢梁在固定。钢梁在固定荷载荷载P P作用下在跨中产生最大弯矩作用下在跨中产生最大弯矩M M，M=1.3M=1.3107N.m107N.m，M=0.091M=0.091107N.mm107N.mm。随机变量。随机变量W W、和和MPM
8、P均为互不相关服从正态均为互不相关服从正态分布的随机变量。试用改进的一次二阶矩法分布的随机变量。试用改进的一次二阶矩法(Hasofer-Lind(Hasofer-Lind法法)计算计算此梁的可靠指标。此梁的可靠指标。解：建立极限状态方程解：建立极限状态方程 。取均值作为设计验算点的初值。取均值作为设计验算点的初值。(2)(2)计算计算值。值。()0Zg WFMWfM，432*7*5.51 0m m*3 8 0.0 N/m m1.31 0Nm mWfPMWfM*1XXpXgfWgWfgM*222222*0.5138*1WXWWfMXPXXWWfMgWgggWfMffW *222222*0.753
9、5*1fXfWfMXPXXfWfMgfgggWfMWfW 有：(3)(3)计算计算 。*22222210.4101*1MPXMWfMXPXXMWfMgMgggWfMfW *iX*444*7775.5 100.51380.3 10(5.50.1541)10380.00.753530.4380.022.90641.3 10(0.4101)0.091 10(1.30.0373)10WWWfffMMMWfM *0W fM432*7*4.91 0m m*2 8 9.1N/m m1.4 4 81 0Nm mWfM432*7*5.0 10 mm ,*292.3/mm ,1.460 10 N mmWfNM43
10、2*7*4.9967 10 mm,*292.4N/mm ,1.460 10 N mmWfM5(3.770)9.173 10fP0.4450 ,0.7642 ,0.4669WfM (4)(4)求解求解值。值。将上述将上述W W*、f f*、M M*代入结构功能函数代入结构功能函数 ，得：，得：1 1=3.790=3.790，2 2=59.058(=59.058(舍去舍去)(5)(5)求求X Xi i*的新值。的新值。将将 =3.790 =3.790代入，求代入，求X Xi i*的新值：的新值：重复上述计算，有：重复上述计算，有：将上述值代入结构功能函数，解出：将上述值代入结构功能函数，解出：=3
11、.775=3.775 进行第三次迭代，求得进行第三次迭代，求得 =3.764 =3.764，与上次的，与上次的 =3.775 =3.775接近，接近，已收敛。取已收敛。取 =(3.764+3.775)=3.770 =(3.764+3.775)=3.770，相应的设计验算点为：，相应的设计验算点为：相应的失效概率相应的失效概率例例4 4 某轴向受压短柱承受固定荷载某轴向受压短柱承受固定荷载N NG G和活荷载和活荷载N NQ Q作用，柱截面承载作用，柱截面承载能力为能力为R R。经统计分析后得各变量的统计信息如表。经统计分析后得各变量的统计信息如表1 1所示。极限状态所示。极限状态方程方程Z=g
12、(RZ=g(R，N NG G，N NQ Q)=R-N)=R-NG G-N-NQ Q=0=0，试用，试用JCJC法求解其可靠指标和对应法求解其可靠指标和对应的失效概率。的失效概率。表表1 1 各变量统计参数各变量统计参数变 量NGNQR分布类型正态极值I型对数正态平均值53.0kN70.0kN309.2kN标准差3.7kN20.3kN52.6kN变异系数0.070.290.17解：解：(1)(1)非正态变量的当量正态化。非正态变量的当量正态化。R R当量正态化：取当量正态化：取R R*的初始值为的初始值为R R，则：，则：22*1ln*ln304.8kN1*ln(1)52.2kNRRRRRRRR
13、 N NQ Q当量正态化：当量正态化：式中式中取取 的初始值为的初始值为 得到：得到：(2)(2)求可靠指标求可靠指标 及设计验算点及设计验算点R R*、用改进的一次二阶矩法计算得，用改进的一次二阶矩法计算得，=2.320=2.320设计验算点设计验算点1*1*()()()QQQQQQNQNNQNQNNQFNNFNfN，*1()exp exp()()exp()exp exp()QQNQNQFNyfNyya，*6/()/0.577QQNQNayNu aua，*QNQN，15.83 ,60.87,0.577auy*()0.5701 ,()2.024kNQQNQNQFNfN19.4kN ,66.57
14、kNQQNN*GQNN、。*142.8kN 53.8kN 89.0kNGQRNN，251.0kN 24.1kNRR，26.5kN 62.2kNQQNN，*190.0kN 135.6kN 54.4kNGQRNN，*GQNN、*214.6kN 53.8kN 160.8kNGQRNN，(3)(3)第二次迭代第二次迭代R R的当量正态化：的当量正态化：N NQ Q的当量正态化：的当量正态化：用改进的一次二阶矩法计算得，用改进的一次二阶矩法计算得，=3.773=3.773设计验算点设计验算点按上述步骤经按上述步骤经5 5次迭代，最后求得可靠指标次迭代，最后求得可靠指标 及设计验算点及设计验算点R R*、
15、值：值：=3.583 =3.583。设计验算点设计验算点22RSRRNN 22193.30.09219 0.080RR例例 5 5 已知某拉杆，采用已知某拉杆，采用Q235AQ235A3 3钢材，承受的轴向拉力和截面承钢材，承受的轴向拉力和截面承载力服从正态分布，载力服从正态分布，N N=219kN=219kN，N N=0.08=0.08，R R=1.16=1.16，R R=0.09=0.09，目标可靠指标，目标可靠指标=3.3=3.3，试求该拉杆所需的截面面积，试求该拉杆所需的截面面积(假定不计截面尺寸变异和计算公式精确度的影响假定不计截面尺寸变异和计算公式精确度的影响)。解：解：解得：解得
16、：R R=335kN=335kN则抗力标准值为：则抗力标准值为：R RK K=R R/R R=335/1.16=288.79kN=335/1.16=288.79kN R RK K=f=fykykASAS f fykyk=235N/mm=235N/mm2 2 A AS S=288790/235=1228.89mm=288790/235=1228.89mm2 2所以拉杆所需的截面面积所以拉杆所需的截面面积A AS S=1228.89mm=1228.89mm2 2直接概率设计法直接概率设计法直接概率设计法的计直接概率设计法的计算步骤算步骤30112iiGGKQKqciKiMMMM 301iiGG K
17、qciKiMMM例例 6 6 已知某屋面板在各种荷载引起的弯矩标准值分别为：永久荷已知某屋面板在各种荷载引起的弯矩标准值分别为：永久荷载载2kNm2kNm，使用活荷载，使用活荷载1.2k1.2k NmNm，风荷载，风荷载0.3kNm0.3kNm，雪荷载，雪荷载0.2kNm0.2kNm。若安全等级为二级，试求按承载能力极限状态设计时的。若安全等级为二级，试求按承载能力极限状态设计时的荷载效应设计值荷载效应设计值M M？又若各种可变荷载的组合值系数、频遇值系数、？又若各种可变荷载的组合值系数、频遇值系数、准永久系数分别为：使用活荷载准永久系数分别为：使用活荷载c c1 1=0.7=0.7，f f1
18、 1=0.5=0.5，q q1 1=0.4=0.4，风，风荷载荷载c c2 2=0.6=0.6，q q2 2=0=0，雪荷载，雪荷载c c3 3=0.7=0.7，q q3 3=0.2=0.2，再试求在正常，再试求在正常使用极限状态下的荷载效应标准组合的弯矩设计值使用极限状态下的荷载效应标准组合的弯矩设计值M MK K、荷载设计频、荷载设计频遇组合的弯矩设计值遇组合的弯矩设计值M Mf f和荷载效应准永久组合的弯矩设计值和荷载效应准永久组合的弯矩设计值M Mq q？解：解：(1)(1)按承载能力极限状态，计算荷载效应按承载能力极限状态，计算荷载效应M M。由可变荷载效应控制的组合：由可变荷载效应
19、控制的组合：=1.0=1.0(1.2(1.22+1.42+1.41.2+1.41.2+1.40.60.60.3+1.40.3+1.40.70.70.2)=4.528 kNm0.2)=4.528 kNm由永久荷载效应控制的组合：由永久荷载效应控制的组合：=1.0=1.01.351.352+1.42+1.4(0.7(0.71.2+0.61.2+0.60.3+0.70.3+0.70.2)0.2)=4.324 kNm可见是由可变荷载效应控制。可见是由可变荷载效应控制。M=4.528 kNmM=4.528 kNm (2)2)按正常使用极限状态计算荷载效应按正常使用极限状态计算荷载效应M MK K、M M
20、f f、M Mq q。荷载效应的标准组合：荷载效应的标准组合：=2+1.2+0.6=2+1.2+0.60.3+0.70.3+0.70.20.2=3.52 kNm=3.52 kNm荷载效应的频遇组合为：荷载效应的频遇组合为：=2+0.5=2+0.51.2+01.2+00.3+0.20.3+0.20.20.2=2.64 kNm=2.64 kNm荷载效应的准永久组合为：荷载效应的准永久组合为：=2+0.4=2+0.41.6+01.6+00.3+0.20.3+0.20.20.2=2.68 kNm=2.68 kNm312iKGKKciKiMMMM3112ifGKfKqiKiMMMM31iqG KqiKi
21、MMM4kN0.8kNpp，6m0.1mll，20kN m 2kN muuMM，2.2.假定钢梁承受确定性的弯矩假定钢梁承受确定性的弯矩M=128.8kN.m M=128.8kN.m，钢梁截面的塑，钢梁截面的塑性抵抗矩性抵抗矩W W和屈服强度和屈服强度f f都是随机变量，已知分布类型和统计参数都是随机变量，已知分布类型和统计参数为：抵抗矩为：抵抗矩W W：正态分布，：正态分布，W W=884.9=884.9 10-6m310-6m3，W W=0.05=0.05；屈服强度屈服强度f f：对数正态分布，：对数正态分布，f f=262MPa=262MPa，f f=0.10=0.10；该梁的极限状态方程：该梁的极限状态方程：Z Z=M-WfM-Wf=0=0 试用验算点法求解该梁可靠指标。试用验算点法求解该梁可靠指标。1.1.已知一伸臂梁如图已知一伸臂梁如图9.139.13所示。梁所能承担的极限弯矩为所示。梁所能承担的极限弯矩为M Mu u，若梁内弯矩若梁内弯矩MMMMu u时，梁便失败。现已知各变量均服从正态分布，时，梁便失败。现已知各变量均服从正态分布，其各自的平均值及标准差为：荷载统计参数，其各自的平均值及标准差为：荷载统计参数，；跨度统计参数，跨度统计参数，；极限弯矩统计参；极限弯矩统计参数，数，。试用中心点法计算该构件的可靠。试用中心点法计算该构件的可靠指标指标 。
