1、58直接证明与间接证明直接证明与间接证明1直接证明、间接证明直接证明、间接证明直接证明直接证明间接证明间接证明综合法综合法分析法分析法反证法反证法定义定义从从_出发，利用已知出发，利用已知的定义、定理、的定义、定理、公理等经过逐步公理等经过逐步推理，最后达到推理，最后达到待证结论的证明待证结论的证明方法方法从从_出出发，一步一步寻求发，一步一步寻求结论成立的充分条结论成立的充分条件，最后达到题设件，最后达到题设的已知条件或已被的已知条件或已被证明的事实的证明证明的事实的证明方法方法由证明由证明pq转向证转向证明明綈 綈 qrt，t与假设或某个真命与假设或某个真命题题_，从而，从而判定判定綈 綈
2、 q为假，推为假，推出出q为真的证明方为真的证明方法法已知条件已知条件待证结论待证结论矛盾矛盾思思维维过过程程原因原因结果，又名结果，又名“顺推证法顺推证法”或或“由因导果法由因导果法”由结果追溯原由结果追溯原因，又名因，又名“逆逆推证法推证法”或或“执果索因执果索因法法”否定否定推理推理否定否定(经过经过正确的推理导致逻辑矛正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的盾，从而达到新的“否否定定”)步步骤骤P0(已知已知)P1P2 Pn(结论结论)B(结结论论)B1 B2 Bn A(已知已知)1.分清命题的条件和结分清命题的条件和结论；论；2.做出与命题结论相矛盾做出与命题结论相矛盾的假定；的假定；3
3、.从假定出发，应用正确从假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的推理方法，推出矛盾的结果；的结果；4.断定产生矛盾的原因，断定产生矛盾的原因，在于假定不真，于是原在于假定不真，于是原命题结论成立命题结论成立2.常见的结论和反设词常见的结论和反设词原结论词原结论词反设词反设词原结论词原结论词反设词反设词至少有一个至少有一个 _ 对任意对任意x成立成立存在某个存在某个x不成立不成立至多有一个至多有一个 _对任意对任意x不成不成立立存在某个存在某个x成立成立至少有至少有n个个至多有至多有(n1)个个p或或q_至多有至多有n个个至少有至少有(n1)个个p且且q綈 綈 p或或綈 綈 q都是都是_不都是不
4、都是都是都是一个都没有一个都没有至少有两个至少有两个綈 綈 p且且綈 綈 q不都是不都是考向考向1 分析法的应用分析法的应用分析法是数学命题直接证明的重要方法，在高考中较少分析法是数学命题直接证明的重要方法，在高考中较少单独出现，但分析法的解题思想在高考中常常出现单独出现，但分析法的解题思想在高考中常常出现分析法的适用范围及证题关键分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围：适用范围：已知条件与结论之间的联系不够明显、已知条件与结论之间的联系不够明显、直接；直接；证明过程中所需要用的知识不太明确、具体；证明过程中所需要用的知识不太明确、具体；含有含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导根号
5、、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导(2)应用分析法的关键是保证分析过程的每一步都是可逆应用分析法的关键是保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为的，它的常用书面表达形式为“要证要证只需证只需证”或用或用“”注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写考向考向2 综合法与分析法的综合应用综合法与分析法的综合应用分析法与综合法在高考中经常以不等式、立体几何、数分析法与综合法在高考中经常以不等式、立体几何、数列等知识为载体，结合具体问题考查学生解决问题的能力列等知识为载体，结合具体问题考查学生解决问题的能力例例2(2017江苏江苏，19，16
6、分分)对于给定的正整数对于给定的正整数k，若数列，若数列an满满足：足：ankank1an1an1ank1ank2kan.对任意正整数对任意正整数n(nk)总成立，则称数列总成立，则称数列an是是“P(k)数列数列”(1)证明：等差数列证明：等差数列an是是“P(3)数列数列”；(2)若数列若数列an既是既是“P(2)数列数列”，又是，又是“P(3)数列数列”，证明：，证明：an是是等差数列等差数列【证明证明】(1)因为因为an是等差数列，所以，当是等差数列，所以，当n4时，时，an3an32an，an2an22an，an1an12an，以上三式相，以上三式相加，得加，得an3an2an1an
7、1an2an36an，因此，等差数列因此，等差数列an是是“P(3)数列数列”(2)当当n4时，因为时，因为an是是“P(3)数列数列”，所以，所以an3an2an1an1an2an36an.因为因为an是是“P(2)数列数列”，所以，所以an3an2anan14an1，an1anan2an34an1，得，得2an4an14an16an，即，即an1an12an(n4)因此，因此，an从第从第3项起为等差数列，设公差为项起为等差数列，设公差为d，注意到注意到a2a3a5a64a4，所以所以a24a4a3a5a64(a3d)a3(a32d)(a33d)a3d.因为因为a1a2a4a54a3，所以
8、，所以a14a3a2a4a54(a2d)a2(a22d)(a23d)a2d，所以，所以an是等差数列是等差数列综合法与分析法应用的注意点综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显同时，在数列、三角写，这一点在立体几何中应用最为明显同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题办
9、法来证明相关问题(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价分析法找出某个与结论等价(或充分或充分)的中间结论，然后通过综的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证变式训练变式训练(2016北京北京，20，13分分)设数列设数列A：a1，a2，aN(N2)如果对小于如果对小于n(2nN)的每个正整数的每个正整数k都有都有aka1，则，则G(A)；(3)证明：若数列证明：若数列A满足满足anan11(n2，3，N)，则，则G(A)的元素个数不小于的元素个数不小
10、于aNa1.解解：(1)G(A)的元素为的元素为2和和5.(2)证明：因为存在证明：因为存在an使得使得ana1，则则m2，且对任意正整数，且对任意正整数km，aka1a1.由由(2)知知G(A).设设G(A)n1，n2，np，n1n2np.记记n01，则，则an0an1an2anp.对对i0，1，p，记，记GikN*|niani如果如果Gi ，取，取mimin Gi，则对任何，则对任何1kmi，akaniami.从而从而miG(A)且且mini1.又因为又因为np是是G(A)中的最大元素，中的最大元素，所以所以Gp .从而对任意从而对任意npkN，akanp，特别地，特别地，aNanp.对对
11、i0，1，p1，ani111ani.因此因此ani1ani11(ani1ani11)ani1.考向考向3 反证法的应用反证法的应用反证法是解决某些疑难问题的有力工具，体现了正难则反证法是解决某些疑难问题的有力工具，体现了正难则反的思维方法，在高考中有所体现，既有小题，也有解答题，反的思维方法，在高考中有所体现，既有小题，也有解答题，难度属中低档难度属中低档(1)ab2；(2)a2a2与与b2b2不可能同时成立不可能同时成立(2)假设假设a2a2与与b2b2同时成立，同时成立，则由则由a2a0得得0a1；同，同，0b1，从而，从而ab1，这与，这与ab1矛盾矛盾故故a2a2与与b2b2不可能同时成立不可能同时成立用反证法证明命题的基本步骤用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立反设，设要证明的结论的反面成立(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾理、定理矛盾(3)否定反设，得出原命题结论成立否定反设，得出原命题结论成立所以所以(2a1)20，这是不可能的，这是不可能的故假设错误故原结论成立故假设错误故原结论成立
