1、第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版12-512-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体理想气体内能内能第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版2一一 自由度自由度 kTm23212ktv222231vvvvzyxkTmmmzyx21212121222vvv表明：表明：分子分子平均平动动能平均平动动能有三个有三个速度的二次方速度的二次方项项，与每一个速度二次方项对应的平均动能都，与每一个速度二次方项对应的平均
2、动能都是相等的，等于是相等的，等于KT/2第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版3(1)单原子分子平均能量单原子分子平均能量kT213单原子分子可以看成质点，单原子分子可以看成质点，只需考虑其平动。只需考虑其平动。第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版4(2)刚刚性性双双原子分子原子分子 分子平均平动动能分子平均平动动能222kt212121CzCyCxmmmvvv分子平均转动动能分子平均转动动能22kr21
3、21zyJJ第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版5yz(3.)非刚非刚性性双双原子分子原子分子 分子平均平动动能分子平均平动动能222kt212121CzCyCxmmmvvv分子平均转动动能分子平均转动动能22kr2121zyJJ分子平均振动能量分子平均振动能量22v2121xkCxv叫约化质量叫约化质量?双原子分子中两个原子相对质心的动能双原子分子中两个原子相对质心的动能第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第
4、五版7定义：定义：自由度自由度 分子能量中分子能量中独立的独立的速度和坐标的二次方项速度和坐标的二次方项数目数目叫做叫做分子能量自由度分子能量自由度的数目的数目,简称自由简称自由度，用符号度，用符号 表示表示.ivrti 自由度数目自由度数目 平动平动 转动转动 振动振动第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版8 刚性刚性分子能量自由度分子能量自由度 单单原子分子原子分子 3 0 3双双原子分子原子分子 3 2 5多多原子分子原子分子 3 3 6tri分子分子自由度自由度平动平动转动转动总总第十二章第十
5、二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版9二二 能量均分定理（玻耳兹曼假设）能量均分定理（玻耳兹曼假设）气体处于平衡态时，分子任何一个自由气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平均能量都相等，均为度的平均能量都相等，均为 ，这就是，这就是能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理.kT21 分子的平均能量分子的平均能量kTi2第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版10三三 理想气体的内能理想气体的内能理想气体的内能理想气体的
6、内能：分子动能和分子内原子：分子动能和分子内原子间的势能之和间的势能之和.RTiNE2A(1)1 mol 理想气体的内能理想气体的内能 系统的内能系统的内能 =分子的动能分子的动能+分子内原子间分子内原子间的势能的势能+分子之间的作用势能分子之间的作用势能分子间相互作用分子间相互作用可以忽略不计可以忽略不计分子间相互作用的势能分子间相互作用的势能=0第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-5 12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能物理学物理学第五版第五版11 理想气体的理想气体的内能内能RTiE2TRiEd2d 理想气体理想气体内能变化内能变化 选择进入下一节：选择进
7、入下一节：12-612-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版13实验装置实验装置一一 测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸气金属蒸气显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版14分子速率分布图分子速率分布图N:分子总数分子总数)/(vNNovvvvSN :间的分子数间的分子数.v
8、vv表示速率在表示速率在 区间区间的分子数占总数的百分比的分子数占总数的百分比.NNSvvv:N内分子数vvv占总数比率占总数比率:NN 速率分布函数定义速率分布函数定义：01 d()limdVNNfNN vvvvvvvoprobabilityprobability一般与一般与 V V 成正比成正比,不能说明不能说明分子随速率的详细分布分子随速率的详细分布NN（1 1）速率分布函数）速率分布函数表示在温度为表示在温度为T 的平衡状态下，的平衡状态下，速率在速率在 v 附近附近单位速单位速率区间率区间 的分子数占总数的百分比的分子数占总数的百分比.)(vf 物理意义物理意义v)(vfod()dd
9、NfSNvv=1 d()dNfNvvvvv dSd(2)()d的意义f vv 表示速率在表示速率在 区间区间的分子数的分子数占占总分子数总分子数的百分比的百分比.vvvdvv d)(dNfN 速率在速率在 内分子数：内分子数：vvvd第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版17v)(vfo1vS2vvv d)(dNfN 速率在速率在 内分子数：内分子数：vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的区间的分子数：分子数：21vv vvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的区间的分子数占
10、总数的百分比：分子数占总数的百分比：21vv 第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版1822232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏麦氏分布函数分布函数二二 麦克斯韦气体分子速率分布定律麦克斯韦气体分子速率分布定律v)(vfo速率分布曲线图速率分布曲线图第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版19三三 三种统计速率三种统计速率pv（1）最概然速率最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41.12pv
11、v)(vfopvmaxf根据分布函数求得根据分布函数求得第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版20222/32)2(4vekTmdvdkTmvkTmvkTmvevkTmvevkTm2222/322)2(22)2(40|)21(2)2(4222/32pvvkTmvkTmvevkTm221.41pmolmolkTRTRTvmMM 将函数将函数f(v)f(v)对对v v求导得求导得0pvvdvdf第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律
12、物理学物理学第五版第五版21kNRmNMAA,气体在一定温度下分布在最概然速气体在一定温度下分布在最概然速率率 附近单位速率间隔内的相对分子数附近单位速率间隔内的相对分子数最多最多.pv物理意义物理意义MRT41.1pvMRTmkT41.12pv第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版22NNNNNnniidddd2211vvvvv（2）平均速率平均速率vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTf8d)(0vvvvMRTmkT60.18vovf(v)第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12
13、-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版23（3）方均根速率方均根速率2vMRTmkT73.132vNNfNNN02022d)(dvvvvvmkT/32v第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版24MRTmkT332rmsvv2pvvvMRTmkT60.160.1vMRTmkT22pv三种速率的比较三种速率的比较第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版25 同一温度下
14、不同一温度下不同气体的速率分布同气体的速率分布2H2OopvHpvv)(vfo N2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布KT 30011pv2pvKT 200 12v)(vfo第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版26vvvvpd)(Nf（1）pd)(212vvvv Nfm（2）1 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函，分布函数数 .求求（1）速率在速率在 间的分子间的分子数；数；（2）速率在速率在 间所有分子动能间所有分子动能之和之和.vv p)(vfNmpv解解
15、讨论讨论第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版27 3 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，曲线，从图上数据求出两气体最概然速率从图上数据求出两气体最概然速率.vv)(f)(vf1sm/v2 000o第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版28mkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvv-12pm.s
16、 000 2)H(v4232)H()O()O()H(222p2pmmvv-12pm.s 500)O(v解解12-512-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能12-612-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律*12-712-7 玻耳兹曼能量分布律玻耳兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式12-812-8 气体分子平均碰撞次数和平均自气体分子平均碰撞次数和平均自由程由程MRTv60.1 氮气分子在氮气分子在270C时的时的平均速率为平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过
17、程进行得相当慢。克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子的速度：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。路程非常曲折。气体分子气体分子平均速率平均速率12-8 12-8 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子的平均碰撞频率和平均自由程第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版31AB 分子由分子由A到到B的路程的路程 比它的位移比它的位移大小大得多大小
18、大得多扩散速率扩散速率(位移量位移量/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间)第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-6 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律物理学物理学第五版第五版32第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-8 12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程物理学物理学第五版第五版33（1）自由程）自由程：分子分子两次相邻碰撞之间两次相邻碰撞之间自由自由通过的路程通过的路程.分子分子平均自由程平均自由程：自由程的平均值自由程的平均值基本概念：基本概念：第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-8 12-8 分子平
19、均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程物理学物理学第五版第五版34（2）分子）分子平均碰撞次数平均碰撞次数：单位时间内单位时间内一个一个分子和其它分子碰撞的平均次数分子和其它分子碰撞的平均次数.大量分子的大量分子的自由程自由程与与每秒碰撞次数每秒碰撞次数服从统计服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假假定定每个分子都是每个分子都是有效直径为有效直径为d 的的弹性小球弹性小球。只有只有某一个分子某一个分子A以平均速率以平均速率 运动运动，其其余分子都静止余分子都静止。u一、平均碰撞次数一、平均碰撞次数A ddduu刚性小球刚性
20、小球.A dddvv运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将为半径的圆柱体内的分子都将与分子与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内:分子分子A经过路程为经过路程为u相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为2d u圆柱体内圆柱体内分子数分子数2d un2Zd un一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-8 12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程物理学物理学第五版第五版37nvdZ2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvdZ22 一秒钟内分子一秒
21、钟内分子A经过路程为经过路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数与其它分子发生碰撞的平均次数Z平均自由程平均自由程ndZv221 与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比nkTp pdkT22 当温度恒定时当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比平均自由程与气体压强成反比二、平均自由程二、平均自由程第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-8 12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程物理学物理学第五版第五版39 例例 试估计下列两种情况下空气分子的试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程平均自由程:（1）273 K、1.013 时时；（2）273 K、1.333 时时.Pa105Pa103（空气分子有效直径（空气分子有效直径 ）m 1010.310dpdkT22解解第十二章第十二章 气体动理论气体动理论12-8 12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程物理学物理学第五版第五版40m 1071.8 m 10013.1)1010.3(22731038.185210231m 62.6 m 10333.1)1010.3(22731038.13210232
