1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 文文科数学科数学 本试卷分为第本试卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150150 分，分， 考试用时考试用时 120120 分钟。第分钟。第卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第卷卷 3 3 至至 5 5 页。页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置 粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的 无效
2、。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利祝各位考生考试顺利 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.2.本卷共本卷共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 4040 分。分。 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件A A，B B互斥，那么互斥，那么 P ABP AP B. . 圆柱的体积公式圆柱的体积公式
3、VSh，其中，其中S表示圆柱的底面面积，表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高表示圆柱的高 棱锥的体积公式棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中，其中S表示棱锥的底面面积，表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合1,1,2,3,5A ， 2,3,4B ， ，则()ACB A. 2 B. 2，3 C. -1，2，3 D. 1， 2， 3， 4 【答案】D 【解析】 【分析】 先求AB，再求()ACB。 【详解】因为1,2AC ， 所以()1,2,3,4AC
4、B . 故选 D。 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意 数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算 2.设变量 , x y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y ，则目标函数4zxy 的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴上的截距， 故目标函数在点A处取得最大值。 由 20, 1 xy x ，得( 1,1)A ， 所以 max 4 ( 1) 15z 。 故
5、选 C。 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还 是虚线， 其次确定目标函数的几何意义， 是求直线的截距、 两点间距离的平方、 直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即： 一画，二移， 三求 3.设xR，则“0 5x”是“11x”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 求出11x的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】11x等价于02x，故05x推不出11x； 由11x能推出05x。 故“05x”是“|1| 1x”的必要不充分条
6、件。 故选 B。 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据 pq，qp 进行判断； (2)集合法：根据由 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题 进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图，逐步写出运算结果。 【详解】1,2Si 1 1,1 2 25,3jSi 8,4Si ， 结束循环，故输出8 故选 B。 【点睛】解决此类型问题时要注意：要
7、明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据 各自的特点执行循环体； 要明确图中的累计变量， 明确每一次执行循环体前和执行循环体 后， 变量的值发生的变化； 要明确循环体终止的条件是什么， 会判断什么时候终止循环体 5.已知 2 log 7a ， 3 log 8b ， 0.2 0.3c ，则 , ,a b c的大小关系为 A. cba B. abc C. bca D. cab 【答案】A 【解析】 【分析】 利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小。 【详解】 0.20 0.30.31c ； 22 log 7log 42； 33 1log 8log 92。 故cba。 故选 A。 【点睛】
8、利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。 6.已知抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l.若与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条 渐近线分别交于点A和点B，且| 4|ABOF（O为原点） ，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把4ABOF用, ,a b c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】l的方程为1x，双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 故得( 1,),( 1,) bb AB aa ， 所以 2b AB a ， 2 4 b a ，2ba， 所以 22 5 ca
9、b e aa 。 故选 D。 【点睛】双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率 2 1 cb e aa . 7.已知函数( ) sin()(0,0,|)f xAxA 是奇函数，且 f x的最小正周期 为，将 yf x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对 应的函数为 g x.若2 4 g ，则 3 8 f A. -2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 只需根据函数性质逐步得出, ,A 值即可。 【详解】 ( )f x为奇函数，可知(0)sin0fA ， 由可得0； 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得 1
10、( )sin 2 g xAx， 由( )g x的最小正周期为2可得2， 由()2 4 g ，可得2A， 所以( )2sin2f xx， 33 ()2sin2 84 f 。 故选 C。 8.已知函数若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxaaR 恰有两个 互异的实数解，则a的取值范围为 A. 5 9 , 4 4 B. 5 9 , 4 4 C. 5 9 ,1 4 4 D. 5 9 ,1 4 4 【答案】D 【解析】 分析】 画出 f x图象及直线 1 4 yxa ，借助图象分析。 【详解】如图，当直线 1 4 yxa 位于B点及其上方且位于A点及其下方， 或者直线 1 4 yxa 与曲线 1
11、y x 相切在第一象限时符合要求。 即 1 12 4 a ，即 59 44 a， 或者 2 11 4x ，得2x， 1 2 y ，即 11 2 24 a ，得1a ， 所以a的取值范围是 5 9 ,1 4 9 。 故选 D。 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为 直线时常用此法。 绝密绝密启用前启用前 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.2.本卷共本卷共 1212 小题，共小题，共 110110 分。分。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6
12、 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 9.i是虚数单位，则 5 1 i i 的值为_. 【答案】13 【解析】 【分析】 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 【详解】解法一： 5(5)(1) 2313 1(1)(1) iii i iii 。 解法二： 5526 13 112 ii ii 。 【点睛】 所以解答与复数概念或运算有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式， 即 abi(a， bR)的形式，再根据题意求解 10. 设xR，使不等式 2 320xx成立的x的取值范围为_. 【答案】 2 ( 1,) 3 【解析】 【分析】 通过因式分解，解不等式
13、。 【详解】 2 320xx， 即(1)(32)0xx， 即 2 1 3 x ， 故x的取值范围是 2 ( 1,) 3 。 【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程； (3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错 误有： 未将二次项系数化正， 对应错标准形式； 解方程出错； 结果未按要求写成集合 11. 曲线cos 2 x yx在点0,1处的切线方程为_. 【答案】220xy 【解析】 【分析】 利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。 【详解】 1 sin 2 yx ， 当0x时其值为 1 2 ，
14、故所求的切线方程为 1 1 2 yx ，即220xy。 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤： 求出函数 f(x)的导数 f(x)； 求切线的斜率 f(x0)； 写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简 (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组 00 10 0 10 () () yf x yy fx xx 得切点 (x0，y0)，进而确定切线方程 12.已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经 过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
15、则该圆柱的体积为 _. 【答案】 4 . 【解析】 【分析】 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。 【详解】四棱锥的高为5 12 ， 故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为 1 2 ， 故其体积为 2 1 1 24 。 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。 13. 设0x， 0y ，24xy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为_. 【答案】9 2 【解析】 14. 在四边形ABCD中，ADBC，2 3AB ，5AD ，30A ， 点E在线段CB 的延长线上，且AEBE，则BD AE _. 【答案】1. 【解析】 【分析】 可利用向量的线性运算，也
16、可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】详解：解法一：如图，过点B作AE的平行线交AD于F， 因为AEBE，故四边形AEBF为菱形。 因为30BAD，2 3AB ，所以2AF ，即 2 5 AFAD. 因为 2 5 AEFBABAFABAD， 所以 2227273 () ()2 3 512 101 55552 BD AEADABABADAB ADABAD . 解法二：建立如图所示的直角坐标系，则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22 D。 因为ADBC，30BAD，所以30CBE， 因为AEBE，所以30BAE， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 y
17、x， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx 。 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x ，1y ， 所以( 3, 1)E。 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE 。 【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用 坐标方法更为方便。 三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤. . 15.2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、 住房贷款利息或
18、者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除 的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （） 抽取的25人中， 享受至少两项专项附加扣除的员工有6人， 分别记为, ,A B C D E F. 享受情况如右表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接 受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的 2 人享受
19、的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生 的概率. 【答案】 （I）6 人，9 人，10 人； （II） （i）见解析； （ii） 11 15 . 【解析】 【分析】 （I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽 到的概率是相等的，结合样本容量求得结果； （II） （I）根据 6 人中随机抽取 2 人，将所有的结果一一列出； （ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】 （I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人
20、. （II） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 ,A BA CA DA EA F, ,B CB DB EB F, ,C DC EC F, ,D ED FE F,共 15 种； （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ,A BA DA EA F, ,B DB EB F, ,C EC F, ,D FE F, 共 11 种， 所以，时间 M 发生的概率 11 () 15 P M . 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即 其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 16. 在中，内角A BC， ，所对的边分
21、别为, ,a b c.已知 2bca ， 3 sin4 sincBaC. （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B 值. 【答案】() 1 4 ； () 3 57 16 . 【解析】 【分析】 ()由题意结合正弦定理得到, ,a b c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值 ()利用二倍角公式首先求得sin2 ,cos2 BB的值， 然后利用两角和的正弦公式可得 2a的 值. 【详解】()在VABC中，由正弦定理 sinsin bc BC 得sinsinbCcB， 又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba. 又因为2bca ，得到 4 3 ba，
22、 2 3 ca. 由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac 222 416 1 99 2 4 2 3 aaa aa . ()由()可得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB . 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB . 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦 公式，以及正弦定理余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等
23、边三角形，平 面PAC 平面PCD，PACD，2CD ，3AD ， （）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH平面PAD； （）求证：PA 平面PCD； （）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】 （I）见解析； （II）见解析； （III） 3 3 . 【解析】 【分析】 （I）连接BD，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GHPD，利用 线面平行的判定定理证得结果； （II）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC，结合面面垂直的性质以及线 面垂直的性质得到DNPA，利用线面垂直的判定定理证得结果； （III） 利用线面角的平面角的定义得到DAN为直线AD
24、与平面PAC所成的角， 放在直角 三角形中求得结果. 【详解】 （I）证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH， 又由BGPG，故GHPD， 又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD， 所以GH平面PAD. （II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC， 又因为平面PAC 平面PCD，平面PAC平面PCDPC， 所以DN 平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA， 又已知PACD，CDDND， 所以PA 平面PCD. （III）解：连接AN，由（II）中DN 平面PAC， 可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角. 因为PCD为等边三角形，2CD 且N为PC的中点， 所以3DN
25、 ，又DNAN， 在Rt AND中， 3 sin 3 DN DAN AD ， 所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 . 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面 所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 18. 设 n a 是等差数列， n b是等比数列，公比大于0，已知 11 3ab， 23 ba ， 32 43ba. （）求 n a 和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 2 1, , n n n c bn 为奇数 为偶数 求 * 1 12222nn a ca ca cnN. 【答案】 （I）3 n an，3n n b
26、； （II） 22 (21)369 () 2 n nn nN 【解析】 【分析】 （I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 3 3 d q ， 进而求得等差数列和等比数列的通项公式； （II）根据题中所给的 n c所满足的条件，将 1 12 222nn aca ca c表示出来，之后应用分 组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果. 【详解】 （I）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 依题意，得 2 332 3154 qd qd ，解得 3 3 d q ， 故3 3(1)3 n ann ， 1 3 33 nn
27、 n b ， 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式为3n n b ； （II） 1 12 222nn aca ca c 135212 14 26 32 ()() nn n aaaaa ba ba ba b 123 (1) 36(6 312 318 363 ) 2 n n n nn 212 36 (1 32 33 ) n nn ， 记 12 1 32 33n n Tn 则 231 313233 n n Tn 得， 231 233333 nn n Tn 1 1 3(1 3 )(21)33 3 1 32 nn n n n ， 所以 1 22 1 12 222 (21)33 36
28、33 2 n nnn n a ca ca cnTn 22 (21)369 () 2 n nn nN . 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查 数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目. 19. 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知 3| 2|OAOB（O为原点）. （）求椭圆的离心率； （）设经过点F且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和 直线l相切，圆心C在直线4x 上，且OCAP，求椭圆的方程. 【答案】 （I） 首先设椭圆的半焦距为c， 根据题意得到32a
29、b， 结合椭圆中, ,a b c的关系， 得到 222 3 () 2 aac，化简得出 1 2 c a ，从而求得其离心率； （II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 22 22 1 43 xy cc ，写出直线的方程，两个方程联立， 求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c ，从而得到椭圆 的方程. 【解析】 【分析】 （I） 1 2 ； （II） 22 1 1612 xy . 【详解】 （I）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有32ab， 又由 222 abc，消去b得 222 3 () 2 aac，解得 1 2 c a ， 所以，椭圆的离心率为 1 2 . （II）解
30、：由（I）知， 2 ,3ac bc ，故椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc ， 由题意，(,0)Fc，则直线l的方程为 3 () 4 yxc， 点P的坐标满足 22 22 1 43 3 () 4 xy cc yxc ，消去y并化简，得到 22 76130xcxc， 解得 12 13 , 7 c xc x ， 代入到l的方程，解得 12 39 , 214 yc yc ， 因为点P在x轴的上方，所以 3 ( ,) 2 P cc， 由圆心在直线4x 上，可设(4, )Ct，因为OCAP， 且由（I）知( 2 ,0)Ac，故 3 2 42 c t cc ，解得2t ， 因为圆C与x轴相切，所
31、以圆的半径为 2， 又由圆C与l相切，得 2 3 (4)2 4 2 3 1 ( ) 4 c ，解得2c ， 所以椭圆的方程为： 22 1 1612 xy . 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题 的能力. 20. 设函数( )ln(1) x f xxa xe，其中aR. （）若0a ，讨论 f x的单调性； （）若 1 0a e ， （i）证明 f x恰有两个零点 （ii）设x为 f x极值点， 1 x为 f x的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 【答案】
32、（I） ( )f x在(0,)内单调递增.； （II） （i）见解析； （ii）见解析. 【解析】 【分析】 （I） ；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； （II） （i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数， 得到结果； （ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果. 【详解】 （I）解：由已知， ( )f x 定义域为(0,)， 且 2 11 ( )(1) x xx ax e fxaea xe xx ， 因此当0a 时， 2 10 x ax e，从而 ( )0fx ， 所以 ( )f x在(0,)内单
33、调递增. （II）证明： （i）由（I）知， 2 1 ( ) x ax e fx x ， 令 2 ( )1 x g xax e ，由 1 0a e ，可知( )g x在(0,)内单调递减， 又(1)10gae ，且 22 1111 (ln)1(ln)1 (ln)0ga aaaa ， 故( )0g x 在(0,)内有唯一解， 从而( )0fx 在(0,)内有唯一解，不妨设为 0 x， 则 0 1 1lnx a ，当 0 (0,)xx时， 0 ()( ) ( )0 g xg x fx xx ， 所以 ( )f x在 0 (0,)x内单调递增； 当 0 (,)xx时， 0 ()( ) ( )0 g
34、xg x fx xx ， 所以 ( )f x在 0 (,)x 内单调递减， 因此 0 x是( )f x的唯一极值点. 令( )ln1h xxx，则当1x 时， 1 ( )10h x x ，故( )h x在(1,)内单调递减， 从而当1x 时，( )(1)0h xh，所以ln1xx， 从而 1 ln 111111 (ln)lnln(ln1)lnlnln1(ln)0 a faeh aaaaaaa ， 又因为 0 ()(1)0f xf，所以( )f x在 0 (,)x 内有唯一零点， 又 ( )f x在 0 (0,)x内有唯一零点 1，从而，( )f x在(0,)内恰有两个零点. （ii）由题意，
35、0 1 ()0 ( )0 fx f x ，即 0 1 12 0 11 ln(1) x x ax e xa xe ， 从而 10 1 1 2 0 1 ln xx x xe x ，即 10 2 01 1 ln 1 xx xx e x ， 以内当1x 时，ln1xx，又 10 1xx，故 10 2 2 01 0 1 (1) 1 xx xx ex x ， 两边取对数，得 10 2 0 lnln xx ex ， 于是 1000 2ln2(1)xxxx，整理得 01 32xx， 【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和 方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
