1、栏目索引高中数学第五节直线、平面垂直的判定与性质栏目索引1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理教材研读教材研读文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 abababOlalb、ab栏目索引2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行
2、,或在平面内,就说它们所成的角是0的角.如图所示,PAO就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角的范围:.0,2栏目索引3.二面角的有关概念二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.栏目索引4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 lllalla
3、栏目索引判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(2)若直线a平面,直线b,则直线a与b垂直.()(3)直线a,b,则ab.()(4)若,aa.()(5)a,a.()(6)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()栏目索引1.给出下列四个命题:垂直于同一直线的两个平面互相平行;垂直于同一平面的两个平面互相平行;若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案答案 B正确.栏目
4、索引2.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则能得出ab的是()A.a,b,B.a,b,C.a,b,D.a,b,答案答案C对于C项,由,a可得a,又由b,得ab.故选C.栏目索引3.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA、AC、BD,则一定互相垂直的平面有()A.8对B.7对C.6对D.5对答案答案 B由于PD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,故平面PAD平面ABCD,平面PDB平面ABCD,平面PDC平面ABCD,平面PDA平面PDC,平面PAC平面PDB,平面PAB平面PAD,平面PBC平面PDC,共7对.栏目索引4.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中
5、,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部答案答案A连接AC1.BAC=90,ABAC,又ACBC1,BC1AB=B,AC平面ABC1,又AC平面ABC,平面ABC平面ABC1.平面ABC1平面ABC=AB,点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.栏目索引考点一直线与平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定与性质典例典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CDAE;(2)证明:PD平面ABE.考点突
6、破考点突破栏目索引证明证明(1)在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中点,AEPC.由(1)知,AECD,又PCCD=C,所以AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,又ABAD,ABPD.又ABAE=A,PD平面ABE.栏目索引方法技巧方法技巧(1)证明直线和平面垂直的常用方法:利用判定定理;利用面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助
7、于线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.栏目索引1-1(2016课标全国,19,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.栏目索引解析解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.又PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而
8、G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,又PAPC=P,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.23栏目索引由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,所以四
9、面体PDEF的体积V=222=.23132131243栏目索引考点二面面垂直的判定与性质考点二面面垂直的判定与性质典例典例2如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.栏目索引证明证明(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=AB.12栏目索引又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE 平面PAD,因此,CE平面PAD.12证法
10、二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=AB.12栏目索引又CD=AB,所以AF=CD.又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又AD平面PAD,CF 平面PAD,所以CF平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又PA平面PAD,EF 平面PAD,所以EF平面PAD.12栏目索引因为CFEF=F,CF平面CEF,EF平面CEF,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.
11、又M,N分别为PD,PC的中点,A栏目索引所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.栏目索引方法指导方法指导证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(不常用);(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决(常用方法).栏目索引2-1(2015课标,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平
12、面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.63栏目索引解析解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.又BDBE=B,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=ACGDBE=x3=.故x=2.322x32221
13、31262463从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.655栏目索引考点三平行与垂直的综合问题考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明命题角度一平行与垂直关系的证明典例典例3 (2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.栏目索引证明证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDA
14、C.又BDDE=D,所以AC平面BDEF,因为FB平面BDEF,所以ACFB.栏目索引(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,栏目索引所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.栏目索引典例典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,SAAB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB平面SCD;(2)求证:SN平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD平面ABCD?若存在,求出的值;若不存在
15、,请说明理由.SPPC命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题栏目索引解析解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以ABCD,又因为AB 平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD.(2)证明:因为ABSA,ABAD,SAAD=A,所以AB平面SAD,又因为SN平面SAD,所以ABSN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SNAD.又因为ABAD=A,栏目索引所以SN平面ABCD.(3)棱SC上存在一点P,使得平面PBD平面ABCD.理由:如图,连接BD交NC于点F,在SNC中,过F作FPSN,交SC于点P,连接PB,PD.因为SN平面ABCD,所以FP
16、平面ABCD.又因为FP平面PBD,栏目索引所以平面PBD平面ABCD.在矩形ABCD中,因为NDBC,且N为AD的中点,所以=.在SNC中,因为FPSN,所以=.所以在棱SC上存在一点P,使得平面PBD平面ABCD,此时=.NFFCNDBC12NFFCSPPC12SPPC12栏目索引典例典例5(2016江苏扬州二模)如图1,在边长为4的菱形ABCD中,DAB=60,点E,F分别是边CD,CB的中点,ACEF=O.沿EF将CEF翻折到PEF,连接PA,PB,PD,得到图2所示的五棱锥P-ABFED,且PB=.(1)求证:BD平面POA;(2)求四棱锥P-BFED的体积.图1图210命题角度三平
17、行与垂直关系中的折叠问题命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题栏目索引解析解析(1)证明:翻折前,点E,F分别是边CD,CB的中点,BDEF.菱形ABCD的对角线互相垂直,BDAC.EFAC.则翻折后,EFAO,EFPO.AO平面POA,PO平面POA,AOPO=O,EF平面POA.BD平面POA.(2)设AOBD=H,连接BO,栏目索引DAB=60,ABD为等边三角形.BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=.在RtBHO中,BO=,在PBO中,BO2+OP2=10=PB2,POBO.3322BHHO7栏目索引又OPEF,EFBO=O,EF平面BFED,BO平面BFED,PO平面BFED.梯
18、形BFED的面积S=(EF+BD)HO=3,四棱锥P-BFED的体积V=SPO=3=3.方法技巧方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识建点.(2)解决此类问题的关键是结合图形,弄清折叠前后变与不变的数量关系及位置关系.123131333栏目索引3-1如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;(2)若平面ADE平面ABCE,求证:平面BDE平面ADE.栏目索引证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BCEH,AK=AB,F为AE的中点,KFEH,KFBC,KF平面DFK,BC 平面DFK,BC平面DFK.(2)证明:在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,14解析解析(1)如图,线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC平面DFK.14栏目索引在折起后的图形中,AE=BE=,从而AE2+BE2=4=AB2,AEBE.平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,BE平面ABCE,BE平面ADE,BE平面BDE,平面BDE平面ADE.2
