1、 斐波那契数列的应用课题设计一、课题的确定：孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题斐波那契数列的应用。二、课题的布置与指导：斐波那契数列的应用是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以兔子的繁殖为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力
2、以及大自然造物的神奇。我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以兔子的繁殖为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象
3、。而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。三、课堂实录：（一）、导入：师：大家喜欢数学吗？问大家一个问题：我们天天在学习数学，那你知道我们为什么要学习数学吗？其实根本原因有三：计算、应用、激发灵感。数学是一门研究规律的科学，我们通过学习数学可以提高我们的逻辑思维能力、思辨能力和创造力，可以让我们越变越聪明，数学在我们的生活中无处不在。今天老师就领大家去体验一下数学的神奇。【通过谈话导入，激发起学
4、生的兴趣，通过谈话了解了学习数学的原因，引发学生思考。】（二）、小组汇报：（过渡）师：请看大屏幕：1、1、2、3、4、8、13、（ ）、34、55、89、144 括号里填什么数字？ 生：21.师：这可是一个著名的数列，叫斐波那契数列，谁知道这是为什么？谁对这个问题有研究？ 生:因为是一个叫斐波那契的人发明的。师：说得非常准确，事实上我们称为斐波那契的人，他的名字叫列昂那多，来自于比萨，这个数列出自于他的书算盘宝典，这本书奠定了西方数学的基础，其中的算术方法一直沿用至今。【介绍大数学家斐波那契，让学生感受数学文化的魅力。】师：今天我们就跟随数学小课题研究小组的同学来从不同的角度欣赏一下斐波那契数
5、列的神奇。（一）、第一小组汇报：生1：大家好！我们小组是从计算的角度来研究的，其实斐波那契数列很容易被理解，大家请看，（大屏幕）出示：1、1、2、3、5、8、13. 边说：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13.1、用一句话来概括就是：（屏幕出示）从第三项开始每一项等于前两项之和，大家同意吗？2、计算斐波那契数的平方：好请拿起笔来，在本子上写下这个数列，请大家跟我一起计算一下这些数的平方：1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55.1、 1、 4、 9、 25、64、169、441、1156、3025.尝试一下，把斐波那契数的平方加起来看得到一个什么
6、有意思的结果呢？（屏幕出示）：相邻的两个斐波那契数的平方和加起来还是一个斐波那契数。3、计算头几个斐波那契数的平方和：我们再来计算一下，头几个斐波那契数的平方和，看结果是什么？ 1+1+4=61+1+4+9=151+1+4+9+25=401+1+4+9+25+64=104我们回头看一下这些数字，他们是不是斐波那契数呢？生：不是请大家仔细看，看他们的背后，隐没隐藏着斐波那契数？发现了吗？谁来说？生：.对让我写给你看：6=23 15=35 40=58 104=813结论：头几个斐波那契数的平方和是两个斐波那契数的乘积。4、探究原因：好玩吗？接下来会更加好玩，你知道其中的原因吗？我们小组还研究了背后
7、的原因，大家请看最后一个算式：1+1+4+9+25+64=104=8131+1+2+3+5+8=813为什么呢？谁知道，我启发大家一下：看到平方这两个字你会想到什么图形？还会想到什么？好真聪明！（边出示课件边说）我们就来用一个11的小方块表示1，然后再来旁边放一个相同尺寸的方块，拼接起来之后得到一个12的长方形，再在下面放一个22的方块，之后再贴着放一个33的方块，再在下面放一个55的方块，之后是一88的，得到了一个更大的长方形对吧？现在问大家一个问题：这个长方形的面积是多少？ 生思考回答它的面积是组成它的小正方形的面积之和对吧？长=5+8=13 宽=8它的面积=组成它的小正方形的面积之和=长
8、宽它的面积=1+1+2+3+5+8=8131+1+2+3+5+8=813 1+1+4+9+25+64=813大家知道为什么了吗？神奇吧？师：斐波那契数列神奇吧？ 生：神奇。师：还有更加神奇的呢！5、斐波那契与黄金分割生：如果我们继续探索下去，还会得到一个1321、2134的长方形，以此类推：大家请看 （出示课件） 我们用一个大的斐波那契数去除一个小的斐波那契数，他们的比值会越来越接近1.618，这就是很多人都知道的黄金分割率，神奇吧？我们的汇报完毕，感谢大家的倾听。【通过从不同的角度进行计算，让学生感受数学的好玩，不仅让学生知道了是什么还通过用小方块提示了其中的原因，既形象又利于理解，让学生初
9、步感受到了数学的好玩与神奇。】（过渡）师：神奇吗？我们一起来梳理一下第一小组的汇报：第一小组是从计算的角度来领我们体验斐波那契数列的，先计算了斐波那契数的平方和，发现两个斐波那契数的平方和还是斐波那契数，然后又计算了头几个斐波那契数的平方和，发现了一个有意思的现象它们的平方和竟然是两个斐波那契数的乘积，更有意思的是，居然用小方块解释了其中的原因，更有意思的是用大的斐波那契数除以小的斐波那契数，他们的商竟然越来越接近于黄金分割率，神奇吧？我们要像他们学习，学习数学不仅要知道是什么还要知道为什么，学习他们这种精神。我们回过头来看一组绘制的这个矩形，课件： 在矩形内绘制一个圆的1/4就会得到一个螺线
10、，这样的螺旋线就被称为斐波那契螺旋，神奇吧？更神奇的是斐波那契数列在自然界中神奇的出现呢！下面有请第二小组，我们跟随他们到大自然中感受一下斐波那契数列的神奇。（二）第二小组汇报：1、花瓣里的斐波那契数列。生1：大家好！ 上个星期，我和爸爸来到花卉市场，映入眼帘的朵朵美丽的花儿让人心旷神怡。课件出示：图一、花卉市场下面请大家和我一起欣赏一下这些美丽的花儿。同学们，请看这朵花，大家知道它叫什么名字吗？出示马蹄莲、虎刺梅、三角梅、杜鹃、海棠、桃花、大波斯菊、金盏花图片。数一数它们的花瓣数，同学们，有没有发现它们的花瓣数3、5、8、13这些数有什么规律呢？对它们的花瓣数是 “斐波那契数”。那么，很多花
11、为何要拥有斐波那契数的花瓣呢？原来，在花儿绽放前，花瓣要形成花蕾来保护内部的雌蕊和雄蕊。此时，花瓣要相互叠加用最佳的形状裹住雌雄蕊，这就需要斐波那契数列那么多的花瓣。通过我们小组的研究我们得出结论：大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。斐波那契数列存在于大自然和生活中的方方面面，需要我们认真去发现。【让学生通过欣赏不同的花，感受花瓣里存在的斐波那契数列，感叹大自然造物的神奇。】2、生2：不只是花瓣中有斐波那契数列，在植物的叶子中也有斐波那契数列。先给大家讲一个小知识，大家看，这段树枝是不是一个圆柱？那么这段树枝表面的高就是它的母线，大家看，假如这是一段树枝的横截面，那么AB线就是它的一条母
12、线，CD线也是它的一条母线。大家再在这段树枝上找到同一母线上的两个叶子，从这个叶子开始数，1,2，这个叶子就不用数了，大家再数一数这段树枝，1,2,3，有三个叶子，为了让大家看得更清楚，我画了一幅图，1,2,3,4,5，有5个叶子。讲到这里，大家一定发现了，2,3,5，但是斐波那契数列中的数。但是，我发现，虽然大多数树枝上的叶子是这样排列的，可也有不是这样的，所以我调查资料发现结论：90%的树枝上的叶子都是这样排列的，而剩下的则不是这样的。大家听懂了吗？我们的汇报完毕，谢谢大家。师：大自然中的花花草草大树竟然与斐波那契数列有着千丝万缕的关系，太不可思议了，我们看看第三研究小组又给我们带来了什么
13、惊奇呢？好有请第三研究小组。（三）第三小组：菠萝中的斐波那契奥秘。生1：大家好，我们小组研究的是菠萝中的斐波那契奥秘。 生2：大家都买过菠萝吧，那谁能举手告诉我你买的菠萝是什么样子的？星期天妈妈带我去水果市场买菠萝，我发现相邻的两个水果摊，虽然摊主用的工具一样都是像是小铲子的刀具，而且削的菠萝大小相同，但是他们削菠萝的次数却不一样，一个是每次削8下，一个却是每次削13下，这让我感到很奇怪，为了弄清楚这个原因，所以我们从市场上买来了完整的菠萝。 先请大家仔细观察一下这个菠萝，它有什么特点？ 对，菠萝表面有许多像鱼鳞而且扎人的凸起物，这就是菠萝的鳞片。把这些鳞片按顺序一行行排列起来，就组成了一条条
14、螺旋线。有谁愿意上来数一数这个菠萝有多少条螺旋线呢？ 是不是容易数混呢，所以我们给他加工了一下，现在哪位同学想上来再数一下呢？ 对，你数得很正确，就是8条，那有同学就要问了，费枫舒你提出的疑问怎么会有13这个数字呢？其实大家是从右往左数的，如果我们换个方向从左往右数就会发现其实菠萝有13条螺旋线。这是因为当我们往右数的时候会遇上“左下”的三条螺旋线，再加上头和尾，一共就是13条喽。生1：由一个个菠萝鳞片排列组成的螺旋线，在菠萝表面上一般会有5、8、13条。生2：大家看，5、8、13这三个数字你想到了什么？ 对，这三个数字就是斐波那契数列中的数字，那大家发现没有，菠萝其实是斐波那契螺旋的典型代表
15、。 通过我们这几周的观察研究，我们得出结论：市面上不论大小所有的菠萝都是按斐波那契螺旋这个定义生长的。 生1：没想到美味爽口的菠萝里经隐藏着这么大的数学奥秘，真是“人不可貌相，菠萝不可手量啊！”【通过本小组研究菠萝里的斐波那契的奥妙，让学生感受到斐波那契螺旋的奇妙，感受数学的无处不在。】（过渡）师：不论是花瓣的数量、植物的叶序、还是第三小组探究的菠萝这其实都属于斐波那契数列在植物中的体现,它真是在我们的生活中无处不在，第四研究小组的同学还研究了我们每天都要走的楼梯台阶，看台阶又与斐波那契数列有着什么样的关系呢？（四）第四研究小组：台阶里的秘密生：大家好，今天我们给大家介绍的是楼梯中的斐波那契奥
16、秘。我们常见，几乎每天都见的楼梯，大家不陌生吧！既然不陌生，那有没有谁来给大家介绍一下你平时是怎么上楼梯的？对，我们有时候是一个一个上，有时候是两个两个上，也就是我们大家共同的癖好：跨楼梯！不过，大家知道上楼梯和斐波那契数列有关联吗？我想大家都没有研究过其中的奥秘吧！那今天就让我们一起来研究一下楼梯中的斐波那契奥秘！假设上楼梯的时候，只有两种走法：每次走一层或者两层。那么，今天我们所要研究的问题也就来了，十层楼梯一共有多少种走法？在这插入一些题外话，大家知道地板的英文是什么吗？是floor，我们用F1表示第一层台阶。假设只有一层台阶时，那毫无疑问，只有一种走法，就是一步上去。F1=1.两层台阶
17、时，有两种走法：1.（1，1）2.（2）。F2=2. 三层台阶时，有三种走法：1.（1,1,1,）2.（2,1）3.（1,2）。F3=3四层台阶时，有五种走法：1.（1,1,1,1）（2,2）（1,1,2）（2,1,1,）（1,2,1）。F4=5 既然前面的规律大家都知道了，那有没有哪位同学来给大家说一下五层台阶的走法？我们小组也研究了五层台阶的走法，现在让我们来对照一下是否正确。大家看这个表，大家发现了其中的规律了吗？对，每层楼梯的走法正好都是斐波那契数列当中的一个。我们小组猜测，十层楼梯有89种走法，我们在课下也研究出了结果：六层楼梯：F6=13，七层楼梯：F7=21，八层楼梯：F8=34
18、，九层楼梯：F9=55，十层楼：F10=89。结论：通过我们的研究我们发现楼梯的走法种数竟然是斐波那契数。斐波那契数列在生活中有非常广泛的应用，对其进行研究，会对我们的生活有非常大的帮助。另外给大家个友好提醒：上下楼梯靠右行，不要跨楼梯，请注意安全！我们的汇报结束，谢谢大家！【通过本小组的研究，让学生感受到数学真的就在我们身边，只要我们善于观察，善于思考。】师：斐波那契数列神奇吗？它真是无处不在。老师还搜集了一些与斐波那契数列相关的图片，让我们一起来静静地欣赏一下：课件出示图片师：看完了这些图片你有什么想说的？斐波那契数列神奇吗？数学神奇吗？自然界的神奇造化让我们不得不惊叹！在自然界中小到地球
19、上的植物的花瓣、螺线、树枝、松果、向日葵大到宇宙星系，它都是按照斐波那契数列排列的，这究竟是一种巧合？还是存在着某种必然？这都有待于我们今后去思考去探索。你知道吗？斐波那契数列在它诞生的近800年间，由于它包含着太多的奥秘，由于它的神奇，引来无数的“斐迷”，驱使他们不仅在数学领域研究它更有人从自然领域、化学领域、科学领域探究它的奇妙。感兴趣的同学可以在课下研究一下它在动物中的是怎样神奇出现的。【通过展示图片，让学生感受大自然的鬼斧神工，感受斐波那契数列的神奇，体验数学的魅力】（三）总结：谁来说说上完这节课给你带来了什么感受？可以用一个词，也可以用一句话来表达。(四)作业：魔术师的地毯： 一位魔
20、术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！该怎么办呢？ 四、课后研究及成果展示：1、因时间关系，在本节课我把数列的产生没有让孩子做交流汇报，围绕让孩子们体会感受数学的神奇这一目标展示了四个小组的研究成果。并指导孩子们把研究成果以数学小论文和手抄报的形式在班里宣传栏做了展示。2、还有的小组研究了动物里存在的斐波那契现象，因考虑到时间有限，课堂容纳不了那么多，我思考再三决定在本节课不做展示，但课后进一步引导全班孩子都去做研究，班里掀起了一股研究斐波那契数列的热潮。极大地调动了学生们学习数学的兴趣。（附：学生研究报告）
