1、 3.1.1 直线的倾斜角和斜率一、教材分析本课是解析几何第一课时。“万事开头难”，“好的开始是成功的一半”，解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。本课涉及两个概念倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂
2、直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。综上，从解析几何的基本方法坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念。（一）直线的斜率在高中数学课程中的地位作用 随着后续内容的学习，我们逐渐发现，一点和倾斜程度确定直线的很多应用：直线的方向向量、直线的参数方程等等。另外，从加强知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容的角度看，如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型，那么从变化的
3、角度看，直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简单的变化之一。即直线在某个区间上的平均变化率，与直线上任意一点的瞬时变化率（导数）是相同的，都等于这条直线的斜率。一切不均匀的变化或者非线性的变化，在某个很小的区间（领域）内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。这也是为什么用线性的研究非线性的，以直代曲，用平均变化率研究瞬时变化率（导数）的原因。在这种研究方法中，直线的斜率起着枢纽作用，此处不赘述。因此，直线的斜率是重要的概念之一，在高中数学课程中具有重要的地位作用。 （二）课时划分“ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率”的教学在在新课标中加上引言为一个课时完成。二、学情和教学设计分析（一）学情分析已
4、知1、了解点与坐标的关系，实现了最简单的形与数的转化； 2、了解刻画楼梯的倾斜程度可以用角和 ；3、学生具备了一定的数形结合和分类讨论的思想； 未知1、楼梯表面抽象成的直线倾斜程度刻画的推广； 2、为什么有了倾斜角，还要引入斜率来描述直线的倾斜程度呢? “角”是形，“率”是数，它们的关系如何？ 3、两点确定一条直线，一个定点和一个倾斜角（斜率）也能确定同一条直线，两个几何问题的联系是什么? （二）教学设计分析1. 倾斜角和斜率是在直角坐标系中研究直线时所产生的概念学生通过直角坐标系已经研究过函数及其图象，具有了数形结合的初步意识，但这是“将代数问题几何化”，对直角坐标系的认识还比较肤浅、片面作
5、为解析几何的起始课，教学中有必要通过活动，加深学生对直角坐标系的认识，突出“几何问题代数化”的思想。2. 斜率是本课的核心概念，因为它既从代数角度刻画了倾斜程度，同时也是建立直线方程的基础。对于引进斜率的合理性和必要性的认识是本课教学的难点。(1)斜率为什么也能表示直线的倾斜程度。关键是让学生认识到斜率与倾斜角的对应关系。倾斜角与斜率的关系中有几个难点:一是所有的直线都有倾斜角，但并不是所有直线都有斜率;二是并非倾斜角越大，斜率也越大。产生这两个难点的原因在于:一是学生缺乏对倾斜角范围的认识，二是分类讨论的思想意识淡薄，三是由式子k=tana联系到函数及其图象的能力不足。因此教学中有必要分步设
6、置台阶，通过问题让学生思考讨论，以突破难点。但考虑到课时的限制，为突出主题，需避免过分展开。(2)为什么有了倾斜角，还要引入斜率来描述直线的倾斜程度呢?要认识这一点，需要从代数的角度多方面分析，如斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性，斜率在研究直线平行与垂直上的作用，直线的代数表示y=kx+b中k的几何意义等。但一节课是难以面面俱到的，需要今后在学习中螺旋上升，分步达成。为了使课堂教学体现准、精、简的特点，可作如下处理:以生活中坡角和坡度作类比，引出斜率概念，使学生体会可以从不同侧面描述倾斜程度，“角”是形，“率”是数。引导学生思考：在直角坐标系下，两点定，直线定;直线定，倾
7、斜程度定；那么给定两点坐标，如何才能求出描述直线的倾斜角和斜率呢?学生在自主探究的过程中体会斜率是直线倾斜程度的代数化表示，通过斜率的运算，可以研究直线的几何性质。最后通过例题从不同的侧面体现斜率在沟通数与形上的作用。三、教学目标：1.结合实际倾斜程度情景（两个不同楼梯）引出表示倾斜程度的两个量：“角”和“斜率”，从而引出直线的倾斜角和斜率的定义。2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法和几何方法都可刻画直线倾斜程度，理解解析几何研究问题的基本方法：几何问题代数化，更具有量化功能。3.会用代数方法求过具体两点的直线斜率，会从中推导出直线的斜率公式。4.初步体会借助于直角坐标系可以用代数
8、的方法刻划几何元素或几何特征。5.通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。四、教学重点，难点 重点：理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式及推导。难点：直角坐标系下刻画直线的倾斜程度中的几何要素“倾斜角”和代数形式“斜率”的关系。五、教法选择：情景式教学、问题式教学、学生分组自主探究教学、多媒体教学六、教学过程教学环 节教学过程及设计设计意图引言活动设置:看视频和教材引言，让学生了解解析几何的研究方法、产生过程和影响。师：展示解析几何的实际应用，介绍数学家，增强学生的数学文化。培养学生看书的意识，让学生了解“坐标法”是解析几何中最基本的方法，同时增强学生的数学文化。课题引入引导性语
9、言：我们这节课就在学习直线的倾斜角和斜率中体会和感受解析几何研究几何问题的基本方法和思想。教师：写本节课的标题“ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率”使学生明确本课目的。探究新知倾斜角概念的形成联系实际：在日常生活中，我们看到过哪些具有倾斜程度的实际情景？ 学生活动： 联系实际生活，想具有倾斜程度的实物。预设答案：山坡，楼梯等师：幻灯片展示两个不同倾斜程度的楼梯并同时问“同学们怎样刻画它们不同的倾斜程度？”学生活动：思考，联系初中知识作答预设答案：“坡度”，与地面所成的角，某些同学就回答斜率等。期望进而同时引出直线倾斜角和斜率。师生活动：当学生谈到可与地面所成的角可刻画它们不同倾斜程度时，教师引出
10、直线的倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angleofinclination）当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。（动画1展示，几何画板中完成，并让同学参与）师问1：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？你能否给倾斜角分个类？学生活动：思考，回答师问2：不同的直线其倾斜角一定不相同吗？学生活动：思考，举反例设计意图：创设实物情景，为探讨楼梯的不同倾斜程度的量做铺垫。从实际生活中抽象出直线的倾斜角的概念，为后面推两点斜率公式作准备。问1设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0180，有四类不同位置的直线。问2设计意图：使
11、学生理解在直角坐标系中确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。探究新知斜率概念学生谈到可用可刻画它们不同倾斜程度时，（教师从几何和代数两个不同角度进行比较）引出从代数的角度刻画直线的倾斜程度，即斜率定义：直线倾斜角的正切值，数学上称之为直线的斜率(slope)。“率”，是指两个相关数的比值。顾名思义，“斜率”，是指反映直线倾斜程度的一个比值，角是几何图形，而斜率是一个数量。 （动画2展示，几何画板中完成）师： 直线的倾斜角能表示直线的倾斜程度，直线的斜率也能表示直线的倾斜程度，那同学们有什么疑问吗？预设答案：倾斜角和斜率有什么对应关系吗？（或寻求倾斜角和斜率的
12、联系）师：借助函数图象找出直线倾斜角和斜率的关系？ 学生活动：动画2，研究的对应关系和相互制约的变化关系，得到它们的图像。师生活动：老师给出一条直线斜率的范围，学生从图象中找出该直线倾斜角的范围；学生自己设问，给出一条直线倾斜角的范围，从图象中找出该直线斜率的范围。主要学生活动，站台展示学生解题过程。设计意图：1、斜率也是刻画倾斜程度的；2、斜率定义，是初中坡度的延伸。设计意图：体现解析几何定量和变化的思想探究新知两点间的斜率公式师：平面直角坐标系中，怎样确定直线？预设回答：1.两点确定一条直线；2.一个定点和一个倾斜角（斜率）确定一条直线探究学习:在直角坐标系中，两点确定一条直线，一个点和直
13、线的倾斜角也能确定该直线，那么这两点坐标和该直线的倾斜角有什么关系？ （动画3）学生活动预设：小组讨论，主要活动为建系，描出两点坐标和确定的直线及该直线的倾斜角等。活动期望：学生得到，或相关的如：比值，增加量等结论。教师预设：学生可得到，可引导同学对它的完善性，使用条件加以研究；对四种不同位置的直线的使用性加以辨析，引起同学们思维的碰撞，提高学生的数学思维能力。（动画3展示）特别引导学生讨论得到直线倾斜角为钝角的斜率公式 结论：若为直线上的两点，则直线斜率知识延展：，当点无限接近于时，两点在直线上有无影响，几何意义还是倾斜角的斜率吗？若两点在曲线上，该式的几何意义是什么？（动画展示）请同学们课
14、后思考。探究学习设计意图：1、知识方面，让学生自己发现和挖掘直线的斜率和两点间的斜率公式。2、能力情感方面，设计学习探究情景，让学生体验用代数的方法去研究两个几何问题间的关系。3、知识延展性，渗透点微积分的思想。学以致用例：如图1直角坐标系中，已知点A(1,3)，B(3,1)，C(6,4)，请你指出直线AC，AB，BC的斜率并给出直线AB，BC的倾斜角. 变式：过点A的直线与线段BC相交，指出该直线的斜率的变化范围. 思考：若点在线段AC上移动，求 的范围. 活动预设：体现斜率和倾斜角大小的关系，加强学生的动手能力，巩固已学知识。例设计意图:本题的重点是让学生体会通过代数的运算可以研究几何图形
15、的性质。变式设计意图：数形结合，提高学生的思维和动手能力。谈谈收获问题:本课学习了哪些知识概念?你体会到涉及到了哪些思想方法?（1）直线两概念；（2）两个问题：已知直线上两点如何求斜率；已知一点和斜率如何画出直线；（3）数形结合的思想方法；（4）分类讨论的思想。体验了解析几何研究问题的过程：把几何问题代数化，研究它们的关系和性质.设计意图:通过回顾反思交流，促进学生的知识的内化和情感的共鸣，激发学生对学习解析几何的信心和兴趣。作业P86练习：2，3，4.P89习题3.1A组：3，4，5 P90习题3.1B组：5，6.七、板书设计及时间安排： 3.1.1 直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角定义：
16、范围：2.直线的斜率定义：两点斜率公式 多媒体课件展示区1.与地面的夹角2.坡度（比）学生演示区：八、教学结构与反思 “直线倾斜角和斜率”教学设计反思 本节课是解析几何的开始，内容分为两个概念和一个公式，内容不难。所以，设计本节课的主导思想是：力求缩小知识方法前后衔接的梯度，过度自然，使学生易于接受新知识，即从实际情景出发。 首先，通过实际情景出发，让学生给出刻画楼梯倾斜程度的量：角和，推广给出直线倾斜角和斜率的概念，并进行概念的辨析。进一步设问，激发学生探求两者间关系的欲望，使学生带着问题、有目的的开始本节课的学习，会有很好的学习效果。 其次，为了让学生易于接受直线倾斜角和斜率的关系，通过学
17、生自主讨论探究给出它们的图象关系。并进一步进行两者关系的辨析，使学生加深对定义的理解和掌握，前后呼应，也为后面学习斜率公式做好了铺垫。 再次，通过学生给出的在平面直角坐标系两种确定直线的几何方案，再一次让学生发现问题，探究这两者确定直线的关系，从而让学生建系描点，自己探究斜率公式，并完善斜率公式（并展示）。例题和变式尽可能的让学生自己动手来完成（并展示），整个过程教师只需恰到好处的点拨引导即可。“直线倾斜角和斜率”教学效果反思 通过我自己的实际授课和学生的学习情况来看，这样的设计总体是很成功的，效果也很好。 学生对这样的课堂刚开始还不习惯，但随着学习的深入，学生明显自觉的参与其中，做到了他们的主体地位。但我认为我还是讲多了，还需改进。 变式训练和思考题是为进一步激发学生的学习兴趣而设计的，对学有余力的学生来说又是一次提高和飞跃。从课后学生主动来对答案，展示自己的思路的情景看，这样设计，效果是很好的。 另外，我还有个思考，其实新课标就是要学生自主的学习，每一知识的学习可以突破章节的限制。比如该章节的学习，学生很容易想到函数和 不妨让同学们尽情的展开，思考、讨论、学习。这样对培养学生能力会更有益！ 第 7 页 共 7 页
