1、高等数学（上）基本概念与基本计算练习题(参考答案)一求极限1. 解： （毕） 2. 解： （毕） 3. 解： （毕）4. 解： （毕） 解： （毕）6 解： （毕）7 解： （毕）8 . 解： （毕）二函数的连续性与间断点1. 解：因为对数函数是初等函数，所以该函数的定义域就是该函数的连续区间。即：为连续区间。（毕）2 解：该函数为初等函数，且在点处无定义。因此，这三点就是该函数的间断点。又，所以为该函数的可去间断点；函数在点处，左右极限存在但不相等，所以为跳跃型间断点；所以为无穷间断点。（毕）讨论： ，又因为因此函数在点处，只是右连续而非左连续。故函数在点处是间断的；为第一类跳跃间断点。（毕
2、） 解：只需选择使函数在点处连续即可。因为： ，又由。即：当时，函数为连续函数。（毕）证明：设：，因为函数在区间上连续，又。所以方程在区间至少有一个根。即：（毕）证明：设： ，则依题设在区间上连续。当时，只需取即可；当时，因为由连续函数的中介值定理可知，至少存在一点使成立。综上所述，（毕）三 求导数与求微分解：（毕）解：（毕）解：又所以，（毕）解：（毕）解：因为，函数在点处可导的必要条件是：函数在点处连续。所以有即：当函数在点处可导时。（毕）（或用下列方法求极限）解：切线方程：法线方程：又所以：切线方程：；法线方程：（毕）解：两边对求导得：将代入得 即 所以, 切线方程：;法线方程：(毕)解：
3、因为当时，切线方程：法线方程：又：所以，切线方程：,；法线方程：,。（毕）四 利用导数研究函数的性质1. 结论：函数的单调增区间为函数的单调减区间为，其极大值为，其极小值为2. 结论：曲线在内为凹，曲线在内为凸的；为拐点。3 。解：是可微的，由极值的必要条件可得：又，解方程组 ，得：。结论：其极大值为，其极小值为4. 解：且：依题设，应有解方程组结论：曲线在内为凹，曲线在内为凸的； 5. 结论：是函数f(x)在内唯一的极小值点, 从而也是f(x)在该区间上的最小值点;且6. （提示：设）提示：令 ， 令 得 故在内单调增.也即 由此便知 . 即在内单调增.提示：令 ， 证明在内单调增证明在内满
4、足零点定理；则有且仅有一个正根。9.求函数在上的最大值与最小值.提示： 求导，证明在内单调增 则 ，五 求不定积分与定积分1. 解： （毕） 解：（毕） 解：（毕） 解：（毕） 解：（毕） 解：（毕） 解：（毕） 解：（毕）9.已知的一个原函数是, 求解：（毕）10已知,计算提示：（毕）11. 判断下列反常积分的收敛性，若收敛，计算其值。 提示：（1）为瑕点，又；故反常积分发散。（2）故反常积分收敛, 其值为;六定积分的应用 提示： 提示： 提示： 4. 提示： 提示：6过点，坐曲线的切线，此切线与曲线和y=0围成一块平面图形。（1）求该平面图形的面积；（2）求该平面图形绕轴旋转所得旋转体的体
5、积；（3）求该图形边界曲线的弧长。提示：设切点，求切线方程。得切点；切线方程面积或体积七微分方程1.求方程： 的通解和满足初始条件：的特解。提示：分离变量得两边积分得通解 (C 为任意常数)2.求方程:的通解. 提示：按可分离变量方程求解 按一阶线性方程求解（用常数变易法或用公式法）常数变易法：先求的通解；即将代入原方程得，即从而得原方程通解为3.提示：此为一阶线性方程求特解（用常数变易法或用公式法）其中 常数变易法：先求的通解；即将代入原方程得，即从而得原方程通解为所求方程的特解为或直接利用公式：4. 验证：是方程的解，并求该方程的通解。提示：先验证是方程的解验证线性无关，即该方程的通解为(为任意常数)5. 求下列方程的通解1) 2） 3）提示：1）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为2）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为3）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为6.求下列方程的通解1) 2） 3）提示：非齐次方程的通解=对应的齐次方程通解+非齐次方程一个特解1）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为特解形式为 ， 代入原方程得 因此特解为原方程的通解为2）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为特解形式为 代入原方程得 ,因此特解为原方程的通解为3）特征方程为，其根为对应齐次方程的通解为特解形式为 ， 代入原方程得 因此特解为原方程的通解为16
