1、机械能守恒定律的综合运用（含典型例题变式练习题和答案）一. 教学内容：机械能守恒定律的综合运用二. 学习目标：1、掌握机械能守恒定律的表达式及应用机械能守恒定律解题的一般方法和步骤。2、深刻掌握关于机械能守恒定律的习题类型及其相关解法。三. 考点地位：机械能守恒定律的综合应用问题是高考考查的重点和难点，题目类型通常为计算题目形式，从出题形式上常与牛顿定律、圆周运动、电磁学、热学等问题进行综合，从习题模型化的角度上来看，常与线、轻杆、弹簧等模型综合，题目灵活性很强，在高考当中常做为压轴题形式出现，2007年天津理综卷第5题，2006年全国卷理综卷第23题、2006年广东大综合卷第34题、2006
2、年北京理综卷第22题、2005年北京理综卷的第23题均通过大型计算题目形式考查。知识体系：（一）机械能守恒定律的表达式：当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。=或，即动能（或势能）的增加量等于势能（或动能）的减少量。，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。（二）应用机械能守恒定律解题的步骤及方法： （1）根据题意选取研究对象（物体或系统）。（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在运动过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在运动过程中的始态和末态的机械能。
3、（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果。说明：（1）机械能守恒定律只关心运动的初、末状态，而不必考虑这两个状态之间变化过程的细节，因此，如果能恰当地选择研究对象和初、末状态，巧妙地选定势能参考平面，问题就能得到简捷、便利的解决，可避免直接应用牛顿定律可能遇到的困难，机械能守恒定律为解决力学问题提供了一条简捷的途径。（2）如果物体运动由几个不同的物理过程组成，则应分析每个过程机械能是否守恒，还要分析过程的连接点有无能量损失，只有无机械能损失才能对整体列机械能守恒式，否则只能列出每段相应的守恒关系。【典型例题】问题1、单一物体的机械能守恒问题：（2005年北京卷）例1. 是竖直平面
4、内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：（1）小球运动到B点时的动能；（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。解析：（1）小球从A滑到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则。（2）由机械能守恒有。小球速度大小为，速度方向沿圆弧在该点的切线方向向下，如图所示，即图中角。由几何关系知，速度方向与竖直方向的夹角为。（3）由机械能守恒得由牛顿第二定律得由式解得。小球运动到C点，在竖直方向上受力平衡，。
5、答案：（1）。（2），与竖直方向夹角。（3）；。变式、（2007南昌调考）如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：（1）小球落地点到O点的水平距离；（2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？解析：（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度。根据机械能守恒定律得设水平距离为s，根据平抛运动规律可得（2）因H为定值，则当时，即时，s最大，最大水平距离。问题2、双物体的机械能守恒问题： 例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体
6、A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？解析：释放后，系统加速运动，当A着地时B恰好达水平直径的左端，此时A、B速度均为，这一过程系统机械能守恒，此后B物体竖直上抛，求出最高点后即可得出结果，下面用机械能守恒定律的三种表达式来求解。（1）用求解。由有，得，B以竖直上抛，则上抛最大高度，故B上升的最大高度为。（2）用求解。对A、B系统，由有，得。同理可得。（3）用求解。对A物体：，对B物体：。由有，则。同理可得。答案：。变式1、（2007江苏南京）如图所示，A物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连
7、，绳子处于绷直状态，已知A物体质量，B物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取）解析：在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得解得代入数据有A着地后，B做竖直上抛运动，竖直上抛能上升的高度为代入数据有B物体上升过程中离地面的最大高度为。答案：。变式2、 一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为角的光滑斜面上的物体连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体连接，设定滑轮到竖直杆距离，又知物体由静止从连接为水平位置开始下滑时，和受力恰平衡，如上图所示，（）求：（1）下滑过程中的最大速度
8、；（2）沿竖直杆能够向下滑的最大距离。解析：（1）、与地组成的系统的机械能守恒，物体由静止开始先做加速度不断减小的加速运动，当加速度减小到0时，速度最大，此时受力平衡，随后，向下做加速度不断增大的减速运动，速度为0时下滑到最大距离，选取水平面为重力势能零势能面，设的最大速度为，对从B到C过程，设开始时斜面上绳长为，至C时斜面上绳长为，由机械能守恒定律：设，则，则，又。再根据、此时受力平衡，可知绳子拉力：，将、代入式，整理得：。（2）设沿竖直杆能够向下滑的最大距离为H，设此时斜面上绳长为，则由机械能守恒定律：，又，代入上式解得。问题3、机械能守恒与圆周运动的综合问题： 例3. 把一个小球用细线悬
9、挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？解析：小球摆动过程中受重力和细线的拉力作用，细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。小球在最高点作为初状态，如果把最低点的重力势能定为0，在最高点的重力势能就是，而动能为零，即。小球在最低点作为末状态，势能，而动能可以表示为。运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即。把各个状态下动能、势能的表达式代入，得，由此解出。从得到的表达式可以看出，初状态的角越大，越小，就越大，v也就越大，也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最下端时的速度也就越大，这与生活经验是一致的。答
10、案：。变式1、 （2005沙市）如图所示，用一根长为L的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A，在O点的正下方钉一钉子B，当质量为m的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B，小球开始以B为圆心做圆周运动，恰能过B点正上方C，求的距离。解析：小球在整个运动过程中，仅受到重力和绳的拉力，而拉力对它不做功，所以在整个运动过程中机械能守恒，小球从释放位置运动到C点的过程中机械能守恒，以过C的水平面为零势能面，设小球在C点的速度为则有：而所以小球在竖直平面内以B为圆心做圆周运动，而且恰能经过C点，即在C点仅由重力提供向心力，所以：由以上各式可得：，则变式2、（2005年广
11、东）如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A，一质量0.10的小球，以初速度在水平地面上向左做加速度的匀减速直线运动，运动后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C间的距离（）解析：匀减速运动过程中，有。恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：，得。假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒有，解得。因为，所以小球能通过最高点B。小球从B点做平抛运动，有，解得。答案：1.2m。变式3、（2006年全国）如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道，其半径，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度，结果它沿运动，通过A点，
12、最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s。取重力加速度。解析：设小物块的质量为m，过A处时的速度为v，由A到D经历的时间为t，有。由式并代入数据得。答案：1m。【模拟试题】 1、如图所示，某人站在阳台上，以的速度把质量为m的小球斜向上抛出，不计空气的阻力，则小球到达空中的B点时的动能为 A. B. C. D. 2、将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3、如图所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中，然后，将弹簧压缩至最短，现将木块、子弹、弹簧作为研究
13、对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的 A. 机械能守恒B. 机械能不守恒C. 产生的热能等于子弹动能的减少量D. 弹簧压缩至最短时，动能全部转化成热能 4、一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，那么如图中，表示物体的动能随高度h变化的图象A，物体的重力势能随速度v变化的图象B，物体的机械能E随高度h变化的图象C，物体的动能随速度v的变化图象D，可能正确的是 5、以相同大小的初速度将物体从同一水平面分别竖直上抛和斜上抛，沿光滑的足够长的固定斜面的表面上滑，如图所示，三次达到的高度分别为、，空气阻力不计，则下列判断正确的是 A. B. C. D. 6、某同学身高1.8m，
14、在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（g取） A. B. C. D. 7、如图所示，将一根长的金属链条拉直放在倾角的光滑斜面上，链条下端与斜面下边缘相齐，由静止释放后，当链条刚好全部脱离斜面时，其速度大小为。（g取） 8、小钢球质量为m，沿光滑的轨道由静止滑下，轨道形状如图所示，与光滑轨道相接的圆形轨道的半径为R，要使小球沿光滑圆轨道恰能通过最高点，物体应从离轨道最低点多高的地方开始滑下？9、细绳的一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球绕细绳的固定点在竖直平面内做圆周运动，绳在最高点和在最低点的拉力差为多大？ 10、如图所示
15、，一固定的楔形木块，其斜面的倾角，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两边分别与A、B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物体A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大距离H。【试题答案】 1. B（选B点所在平面为零势能面，则小球在B点只有动能，而在A点处机械能为，由机械能守恒可知，故选项B正确。） 2. C（上升和下降两过程，小球通过的位移大小相等，由受力分析知小球上升过程的加速度大于下降过程的加速度，小球上升的时间应小于下降的时间；小球运动过程中损失的机械能等于克服空气阻
16、力做的功，因为空气阻力大小不变，上升、下降两过程的位移大小相等，所以上、下过程损失的机械能相等。） 3. B （子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中这一过程中，摩擦力对M做的功（M位移小）小于子弹克服摩擦力做的功，机械能减少，机械能不守恒，子弹减少的动能一部分转化为热能，另一部分转化成M的动能和弹簧的势能，然后，将弹簧压缩至最短这一过程中只有系统内弹力做功，机械能守恒，但全过程机械能不守恒，从子弹射向木块直至弹簧被压缩至最短，动能一部分转化成热能，另一部分转化成势能。应选B。） 4. A、B、C、D（以一定初速度竖直上抛的物体，不计空气阻力，机械能守恒，因此C选项正确，由机械能守恒定律
17、可得，所以A选项正确，由公式可知B选项正确，又因为，所以D选项正确。） 5. D（由于在三种情况下，均只有重力对物体做功，因此物体的机械能守恒，竖直上抛运动，物体在最高点时的速度为零，选取抛出点为零势能参考面，则物体在初状态的机械能为，末状态的机械能为，由机械能守恒定律，可得，。对于斜上抛运动，物体到达最高点时速度不为零，设为，则由机械能守恒定律可得，对于沿光滑斜面向上滑动的物体，到达最高点时物体的速度为零，因此有，故答案应选D。） 6. B（设该同学的重心在其身体的中点上，把他看成质点，他上升的最大高度是，根据机械能守恒，即，所以最接近。） 7. （取水平面为参考平面，根据机械能守恒定律有，解得。） 8. 。（刚释放时，小球的机械能为。到达圆轨道的最高点时机械能为。根据机械能守恒定律：。要使小球刚好沿圆轨道通过最高点，应有，解得。） 9. 。（在最高点，设此时小球的速度为，绳子拉力为，由向心力公式可得，。小球在做圆周运动时，从最高点向最低点运动过程中机械能守恒，设绳子长度为L，最低点时速度为，则由机械能守恒定律可得。小球在最低点时，设绳的拉力为，则有，。由式，且可得。） 10. （设物体A沿斜面向下滑动s时速度为v，则由机械能守恒定律可得：s，即为。细线断开瞬间，物块B上升的速度为，此后B做竖直上抛运动，设上升的距离为h，则有。物体B上升的最大高度。由式，可解出）
