1、第1章 有理数1.1 正数和负数专题一 与正数和负数有关的规律探究题1. 观察下面一列数，按规律在横线上填写适当的数：2. 观察下面一组数据，探求其规律：，（1）填出第7、8、9项的三个数；（2）第2013个数是什么？（3）如果这组数据无限排列下去，与哪两个数越来越接近？专题二 利用正数和负数解决实际问题3. 安庆石化出售的三种品牌的化肥袋上分别标有质量为（400.1）kg、（400.2）kg、（400.3）kg的字样，从中任意取出两袋，它们的质量最多相差（ ） A0.8 kg B0.6 kg C0.5 kg D0.4 kg4. 刘佳全班在操场上围坐成一圈若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，
2、小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人求小嘉班上共有多少人（）A36 B37 C38 D395. 某工厂有一种秘密的记账方式当他们收入300元时，记为-240元；当他们用去300元时，记为360元猜一猜当他们用去100元时，可能记为多少元？当他们收入100元时，可能记为多少元？说说你的理由状元笔记【知识要点】1. 像5，0.7这样大于0的数叫做正数；像1.5，7这样在正数前面加上负号“”的数叫做负数.数前的“”“”叫做它的符号；“”通常可以省略不写.2. 整数和分数统称为有理数，即有理数可以分为整数和分数，有理数也可以分为正有理数、负有理数和0.【温馨提示】1.
3、对于数字“0”,它既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界；2. 对有理数分类时，可以有不同的方法，无论按哪一种标准分，都要做到不重不漏；3. 因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数；4. 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数.【方法技巧】1. 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负；2. 相反意义与相反意义的量不一样，
4、相反意义是指一组词或词组在意义上的相反，如支出和收入；相反意义的量包括两个要素：一是意义上的相反；二是具有数量，如上升5米与下降3米.参考答案1. ， 解析：因为从所给数的分子可以看出，它们分别是1，3，5，7，9，11,所以第五个数的分子是9，第六个数的分子是11.因为从分母可以看出2到6相差4，6到12相差6，12到20相差8，所以分别相差4，6，8，10，12，可以得出第五个数的分母是30，第六个数的分母是42.从所给的符号可以看出，奇数项是正数，偶数项是负数，所以第五个数是，第六个数是2. 解析：（1）要解决此题，关键是研究其规律.经观察比较我们会发现，这一组数据的分母分别为2,3,4
5、，分子相应地为1,2,3，并且奇数项为负，偶数项为正.（2）利用（1）的规律即可求解；（3）根据变化的规律可以确定正数与1越来越接近，负数与1越来越接近.找出这些特征后，此题就不难解决了.解：（1），；（2）；（3）1和1.3B 解析：从条件中可以看出，在三种化肥中，最多可以超出标准质量0.3 kg，最低低于标准质量0.3 kg， 所以从中任意取出两袋，它们的质量最多相差0.6 kg，所以答案为B.4. A 解析：若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人，此时共有17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人，此时共有21人，但班长和小嘉两次都数了，所以要减去2所以1
6、7+21-2=36（人）故选A5. 解：收入300元记作-240元，300和240相差60，用去300元记作360元，300和360相差60，所以用去100元记作：100+60=160元，收入100元记作-（100-60）=-40元当他们用去300元时可能记为160元；收入100元时，可能记为-40元1.2 数轴、相反数和绝对值专题一 与相反数和绝对值有关的规律探究题1将1，-，-，-，按一定规律排列如下：第1行1第2行-第3行-第4行-第5行-请你写出第20行从左至右第10个数是 .专题二 利用数轴、绝对值解决实际问题2. 如图，检测10个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足的克数记为
7、负数，若设一个排球的标准质量为265克从轻重的角度看，哪个排球与标准重量偏差最大？3. 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行使，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里现在一个轨道长为180 cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为40 cm，B到右挡板的距离为50 cm，A、B两球相距30 cm（1）在数轴上，A球在坐标原点，B球代表的数为30，找出C球及右挡板E代表的数（2）碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一
8、速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10 cm的速度向右匀速运动，问多少秒后B球第二次撞向右挡板E？（3）在前面的条件下，当3个钢球运动的路程和为6 m时，哪个球正在运动？此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是什么？状元笔记【知识要点】1. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴2. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是03. 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离.即若a是有理数，则| a |就是数轴上表示“a”的点与原点“0”的距离.【温馨提示】1. 所
9、有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.正数可用原点右边的点表示，反过来, 原点右边的点都表示正数；负数可用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；零用原点表示，反过来，原点表示零.2.（1）“只有”意味着除符号外，其后面的数字应是相同的. 如4和3不是互为相反数；“互为”的含义是指相反数是成对出现的，如4是4的相反数，反过来，4是4的相反数（2）互为相反数的两数在数轴上的位置是很有特点的：在原点两旁，与原点的距离相等3. 求一个数a的绝对值，就是求它到原点的距离因为距离不能是负数，所以任何一个数的绝对值都是非负数，即对于有理数a，【方法技巧】1. 求一个数的
10、绝对值和相反数可以借助数轴形象、直观地解题；2. 利用相反数的意义化简式子时，若含有多重符号，最后结果的符号只与这个数前面的负号个数有关，若负号的个数是偶数时，则最后结果符号为正；若负号的个数为奇数时，则最后结果符号为负. 如遇到绝对值问题，要先去绝对值符号，再用前面的方法化简. 参考答案1- 解析：题中的正负号可暂时不考虑，因为当你找到的数若分母是偶数则带负号，若分母是奇数时，则带正号.这些数字第一行1个数,第2行2个数,所以第1到20行共1+2+3+20=210个数,即第20行的最后一个数为,所以第20行从左到右第10个数,可从第20行去掉后面的10个数而得到,即为-.2. 解：根据图形可
11、得与标准质量的差的绝对值最大为3.5，所以与标准质量相差为-3.5的球偏差最大.3. 解：（1）依题意得：AC=180-40-30-50=60，AE=80，又C在负半轴，C代表-60，E代表+80（2）依题意得T=（1802+80）10=44（秒）（3）当3个钢球运动的路程和为6米时，C球正在运动，此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是-60，30，-801.3 有理数的大小 专题一 利用数轴来比较多个有理数的大小1. 若a0b，且数轴上表示a的点A与原点距离大于表示b的点B与原点的距离，试把a，-a，b，-b这四个数从大到小排列起来2. 利用数轴,试比较a与-a的大小专题二 寻求合适的
12、方法比较有理数的的大小3已知，请比较、的大小关系？4. 如图是小李发明的填图游戏，游戏规则是：把5，6，7，8四个数分别填入图中的空格中，使得网格中每行、每列的数字从左到右和从上到下都按从小到大的顺序排列，那么共有 6种不同的填法12349状元笔记【知识要点】1. 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.2. 在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小【方法技巧】1. 0是正数、负数的分界点，对于一些有理数的比较，可以直接利用符号来判断.2. 要比较两个负数的大小，可以分两步进行：分别求出这两个负数的绝对值，并比较其大小；根据“两个负数，绝对值大的
13、反而小”得出结论参考答案1. 解：如图所示： 故a-bb-a2. 解：a与-a的大小关系有三种情况.当时，.如图.当时，.如图.当时，.如图.3解：和这两个分数的分子都比分母小,那么，.因为，所以，根据“两个负数，绝对值大的反而小”可知.46 解析：由于从上到下和从左到右都按从小到大的顺序排列，因此第一横行的第三个空，可以填写为5，6，7本题可分三种情况进行讨论：当第一横行填5时，按从上到下，从左到右的顺序，这4个空可填写为：一：5，6，7，8；二：5，7，6，8；三：5，8，6，7，共三种方法；当第一横行填6时，按从上到下，从左到右的顺序，这4个空可填写为：一：6，7，5，8；二：6，8，5
14、，7，共两种方法；当第一横行填7时，按从上到下，从左到右的顺序，这4个空可填写为：一：7，8，5，6，共一种方法因此共有3+2+1=6种不同的填写方法1.4 有理数的加减专题一 与有理数的加减有关的规律探究题1. 计算1+2-3-4+5+6-7-8+2009+2010-2011-20122计算+.专题二 利用有理数的加减解决实际问题3. 一口水井,水面比井口低3 m ,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5 m后又往下滑了0.1 m;第二次往上爬了0.42 m ,却又下滑了0.15 m ;第三次往上爬了0.7 m,却下滑了0.15 m;第四次往上爬了0.75 m ,却下滑了0.1
15、 m; 第五次往上爬了0.55 m ,没有下滑; 第六次蜗牛又往上爬了0.48 m.问蜗牛有没有爬出井口?4. 一名潜水员在水下方80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物垂死挣扎，立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃（1）求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置；（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有什么变化？状元笔记【知识要点】1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数
16、.2. 减去一个数等于加上这个数的相反数, 即表达式：.3. 有理数的加、减混合运算步骤:（1）将减法化为加法，写成带有加号的代数和的形式;（2）省略加号和括号，即写成省略加号的代数和的形式;（3）运用加法运算律;（4）写出结果. 【方法技巧】1. 有理数的加法运算可以分两步进行：先确定符号，再确定和的绝对值；2. 有理数的加法运算可遵循“一定二求三加减”的顺序，即第一步是确定和的符号，第二步是求加数的绝对值，第三步依据加法法则确定是把绝对值相加还是相减.参考答案1. 解：原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（2009+2010-2011-2012）=(-4)+(-4)+(-4)=
17、-420124=-20122. 解：原式=(1-)+(-)+(-)+(-)=1+(+)+(+)+(+)+(+)-=1-=3. 解析：把往上爬的距离用正数表示,下滑的距离用负数表示,根据题意,蜗牛每次上爬和下爬的情况可用下列表格表示:时间第一次第二次第三次第四次第五次第六次上爬/米+0.5+0.42+0.7+0.75+0.55+0.48下爬/米-0.1-0.15-0.15-0.10这样问题就转化为有理数的加减运算了.解：依题意可得:0.5-0.1+0.42-0.15+0.7-0.15+0.75-0.1+0.55-0+0.48=2.9(m)3(m).答:蜗牛没有爬出井口.4. 解：（1）（-80）
18、+（+25）+（-42）+（+10）=-80+25-42+10=-122+35=-87即鲨鱼在水下方87米处吃掉猎物； （2）（-80）+（25）-（-87）=-80+25+87=-80+112=32鲨鱼向下游了32米1.5 有理数的乘除专题一 与有理数的乘除有关的规律探究题1. 法国的“小九九”从“一一得一” 到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算78和89的两个示例.若用法国“小九九”计算79，左、右手依次伸出手指的个数是( )A.2，3B.3，3C.2，4 D.3，42. 观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究
19、其中的规律：写出第5个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：猜想并写出与第n个图形相对应的等式.专题二 与有理数的乘除有关阅读问题的探究题3. 阅读下面的材料：计算：.解：应用：根据你对材料的理解，计算：4.（1）阅读下列材料：计算.解法一：(1)上述解法得的结果不完全相同，你认为解法_是错误的，在正确解法中，你认为解法_较简捷.专题三 与有理数的乘除有关的应用问题5. 张在办理业务时，约定存入为正，取出为负2012年6月29日他办理了6件业务：-780元、-650元、+1250元、-310元、-420元、+240元（1）若他早上领取备用金5000元，那么下班时应交回银行多少元？
20、（2）若每办一件业务，银行发给业务量的0.1%作为奖励，那么这天小张应得奖金多少元？6. 小张上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌情况：星 期一二三四五每股涨跌+4+5-1-3-6（1）到本周三，小张所持股票每股多少元？（2）本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？（3）已知小张买进股票时付了1.5的手续费，卖出时需付成交额1.5的手续费和 3 的交易税如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？状元笔记【知识要点】1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得02. 乘积是1的两个数互为倒数3. (1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因
21、数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正(2)几个数相乘，有一个因数为0，积就为0【方法技巧】1. 有理数乘法运算的方法与步骤：第一步确定符号；第二步计算积的绝对值；第三步写出结果.对于有理数的除法运算,应先将除法转化为乘法,再按乘法运算的方法和步骤进行运算.2.（1）同级运算按从左到右的顺序进行；（2）要注意算式中有没有括号，如有括号，要按小括号中括号大括号的顺序进行；（3）灵活运用运算律简化运算.参考答案1C 解析：因为 79=63，所以两手伸出的手指数和为6，未伸出手指数的积为3，满足以上两个条件左、右手依次伸出手指的个数必须是2，4.故选C.2. 解析：观察题
22、目中图形的规律发现：每个图形中小正方形的个数等于与之对应的式序数，且每个图形被等分的份数等于左边等式中分式的分母，其阴影部分份数等于相应的分式的分子，由此可得（1）问的图形.且由上面探索可以很方便地得到本题的等式规律，即第（2）问的答案.解：(2) . 3. 解：原式=（100）（6）=100（6）（6）=600+=-5994. 解：（1）解法一是错误的，解法二、三是正确的，解法三较简捷.5. 解：（1）5000-780-650+1250-310-420+240=4330（元）；他下班时应交回银行4330元.（2）（780+650+1250+310+420+240）0.1%=3.65（元），这
23、天他应得奖金为3.65元6. 解：（1）20+4+5-1=28（元）答：到本周三，小张所持股票每股28元（2）20+4+5=29（元）答：本周内，股票最高价出现在星期二，是29元（3）29-1-3-6=19（元），100019=19000（元），100020=20000（元）， 19000-20000-200001.5-19000（1.5+3）=-1000-30-85.5=-1115.5（元） 所以小张亏了1115.5元1.6 有理数的乘方专题一 与有理数乘方有关的规律探究题1. 观察下列等式，找出规律，然后在空格处填上具体的数字1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=4
24、2，1+3+5+7+9=25=52，1+3+5+7+9+11= （1）第5个式子等号右边应填的数是 （2）根据规律填空：1+3+5+7+9+99= 2. 问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是自然数）然后，我们从分析n=1，n=2，n=3这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小：（在空格中填“”“”“=”） 12 21 ， 23 32 ，34 43 ，45 54 ， 56 65，67 76；（2）从第（1）题的结果
25、经过归纳，猜想nn+1和（n+1）n的大小关系；（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：2012201320132012专题二 利用有理数乘方解决实际问题3水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力据报道，现已造成某些流域河道堵塞、水质污染等严重后果，据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用若在适宜条件下（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）（1）假设江面上现有1株水葫芦，填写下表：第几天51015505n总株数24（2）假定某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度
26、，多少天时水葫芦约有33万株，此后就必须开始定期打捞处理？（要求写出必要的尝试、估算过程）状元笔记【知识要点】1. 一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作an，读作a的n次方.求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.2.（1）正数的任何次幂都是正数.（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.（3）0的任何次幂（0除外）都是0.【温馨提示】1. 当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.例如不能写成，不能写成.2. 如23与32看似相同，而实际上是不
27、同的，切不可以犯233223的错误.参考答案1. 解：（1）第5个式子是：1+3+5+7+9+11=（）2=36，即第5个式子等号右边应填的数是36；（2）1+3+5+7+9+99=（）2=502 = 25002. 解：（1）1221 ， 2332 ，3443 ，4554 ， 5665，6776.（2）当n=1或2时，nn+1（n+1）n，当n3，且n为自然数时，nn+1（n+1）n.（3）20122013201320123. 解：（1）依次填8，1024，2n.如表格 第几天51015505n总株数24810242n（2）当n=13时，10213=81920,当n=14时，10214=163
28、840,当n=15时，10215=327680,当n=16时，10216=655360,当n=15时，1021533（万）,5n=75答：75天时水葫芦约有33万株1.7 近似数专题一 与近似数有关的探究题1. 小亮与小明讨论有关近似数的问题小亮：如果把3498精确到千位，可得到3000小明：不，我的想法是，先把3498近似到3500，接着再把3500用四舍五入近似到千位，得到4000小亮：你怎样评价小亮与小明的说法？同伴间可相互交流2. 阅读下列材料：（1）学校组织同学们去参观博物馆，一位解说员指着一块化石说：“这块化石距今已有700003年了”小明问：“为什么您知道的这么准确呢？”解说员说
29、：“因为3年前，一位学者来我们这里，并考察了这块化石，说它距当时已有70万年了，因此，3年后就应该距今700003年啦！”（2）小刚和小军在一个问题上发生了争执小刚说：“6845精确到百位应该是6.8103”而小军却说：“6845先精确到十位是6.85103，再精确到百位，应该是6.9103”请你用所学的知识分别对（1）、（2）这两段对话进行正确的评价专题二 利用近似数解决实际问题3. 中国的国土面积约为9596960千米2，美国和罗马尼亚的国土面积分别约为9364000千米2（四舍五入到千位）和240000千米2（四舍五入到万位）如果要将中国的国土面积与它 们相比较，那么中国的国土面积分别四
30、舍五入到哪一位时，比较起来误差会比较小一些？状元笔记【知识要点】1. 误差：近似值与它的准确值的差叫误差，即：误差=近似值准确值.2. 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.对于一个四舍五入得到的近似数，如果是整数，就精确到个位；如果有一位小数，就精确到十分位；两位小数，就精确到百分位； 【方法技巧】1. 误差可以是正数也可以是负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，换一句话说就是近似程度越高.2. 当近似数不是精确到个位时，一般用科学记数法表示这个近似数参考答案1. 解：小亮的说法正确，小明的说法不正确因为由四舍五入取近似值时，由精确的那个数位起，如果后面一位上的数字大于等于5，则向前入一位；如果后面一位上的数字小于5，则马上舍去故3498精确到千位的近似数只能是3000而不能是40002. 解：（1）解说员的话比较片面，因为70万年这个说法本身就是一个近似数（2）小军的说法错误6845精确到十位时已经改变了原来的数据，不能用精确过的数据 来再精确到百位，应像小刚那样直接从原数精确到百位.3. 解：当与美国的国土面积相比较时，可以将中国的国土面积四舍五入到千位，得到9597000千米2因为它们同时四舍五入到了千位，这样比较起来误差会比较小一些类似地，当与罗马尼亚国土面积相比较时，可以将中国的国土面积四舍五入到万位，得到96000000千米233
