立体几何练习题(答案)(DOC 56页).docx

1、立几测 001 试一、选择题：1a、b 是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ）A过不在 a、b 上的任一点，可作一个平面与 a、b 都平行B过不在 a、b 上的任一点，可作一条直线与 a、b 都相交C过不在 a、b 上的任一点，可作一条直线与 a、b 都平行D过 a 可以且只可以作一个平面与 b 平行2空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) 0 1 1或 4 无法确定3在正方体ABCD A B C D 中， M 、 N 分别为棱 AA1 、 BB1 的中点，则异面直线 CM 和 D1N 所成角1 1 1 1的正弦值为 ( )19234 592 594已知平面 平面 ， m 是 内的一

2、直线， n 是 内的一直线，且 m n，则： m ； n ； m 或 n ； m 且 n 。这四个结论中，不正确的三个是( ) 5. 一个简单多面体的各个面都是三角形，它有 6 个顶点，则这个简单多面体的面数是 ( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 86. 在北纬 45 的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为 90 ，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为 R）( )2A. R4B. R 3C. R 2D.R37. 直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下列四个命题(1) / l m (2) l / m (3) l / m (4) l m / 其中正确的命题是( )A. (1) 与(2) B.

3、 (2) 与(4) C. (1) 与(3) D. (3) 与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为 ，则下列不等式成立的是 ( )A.0 B.6C. D.6 4 4 3 3 29 ABC中， AB 9， AC 15， BAC 120 ， ABC 所在平面 外一点 P到点 A、 B、C 的距离都是 14，则 P到平面 的距离为 ( ) 7 9 11 1310在一个 45 的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角 45 ，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( ) 30 45 60 9011. 如图,E, F 分别是正方形 SD1DD2 的边 D1D,DD2 的

4、中点 ,沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体 , 使 D1,D,D 2重合, 记作D.给出下列位置关系 : SD面 DEF; SE面 DEF;.DFSE; EF面 SED,其中成立的有 : ( ). 与 B. 与 C. 与 D. 与12. 某地球仪的北纬 60 度圈的周长为 6 cm,则地球仪的表面积为 ( ) 2 B. 48 cm2 C. 144 cm2 D. 288 cm2A. 24 cm二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13. 直二面角 MN 中，等腰直角三角形 ABC的斜边 BC ， 一直角边AC ，BC与 所成角的正弦值是_。64，则 AB与 所成角大

5、 小为.P14. 如图在底面边长为 2 的正三棱锥 VABC中,E 是 BC中点 , 若VAE的面积是14, 则侧棱 VA与底面所成角的大小为A D15如图， 已知矩形 ABCD 中，AB 1，BC a ， PA 面 ABCD。若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ QD ，则 a 的值等于 _.B Q C16. 六棱锥 PABCDEF中，底面 ABCDEF是正六边形， PA底面ABCDE，F 给出下列四个命题线段 PC的长是点 P 到线段 CD的距离；异面直线 PB与 EF 所成角是 PBC；线段 AD的长是直线 CD与平面 PAF的距离；PEA是二面角 PDEA 平面角。其中所有真命题的

6、序号是 _ 。三. 解答题 : （共 74 分，写出必要的解答过程）C17( 本小题满分 10 分)如图，已知直棱柱ABC A B C 中，1 1 1BAMACB 90 ， BAC 30 ， BC 1， AA1 6 ，M 是CC 的中点。1C1求证： AB1 A1MB A1118（本小题满分 12 分）如图， 在矩形 ABCD中， AB 3 3 ，BC 3 ，沿对角线 BD 将 BCD 折起， 使点 C 移到 P 点，且 P在平面 ABD上的射影 O恰好在 AB上。（1）求证： PB 面 PAD ；（2）求点 A到平面 PBD 的距离；（3）求直线 AB 与平面 PBD 的成角的大小P(C)

7、ABB AOC DD 19（本小题满分 12 分）如图, 已知 PA 面 ABC , AD BC , 垂足 D 在 BC 的延长线上 , 且 BC CD DA 1(1) 记 PD x , BPC , 试把 tan 表示成 x 的函数 , 并求其最大值 . P.(2) 在直线 PA上是否存在点 Q , 使得 BQC BAC20. （本小题满分 12 分）正三棱锥 V-ABC的底面边长是 a, 侧面与底面成 60 的二面角。求（1）棱锥的侧棱长；（2）侧棱与底面所成的角的正切值。21. （本小题满分 14 分）已知正三棱柱 ABC-A1 B1C1的底面边长为 8，面的对角线 B1C=10，D为 A

8、C的中点，（1） 求证： AB1 / 平面 C1BD;（2） 求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值 ;（3） 求直线 AB1 到平面 C1BD的距离。22. （本小题满分 14 分）已知 A1B1C1-ABC 为直三棱柱， D为 AC中点， O为 BC中点， E 在 CC1 上，ACB=90 ，AC=BC=CE=，2 AA1=6.（1）证明平面 BDEAO；（2）求二面角 A-EB-D 的大小；（3）求三棱锥 O-AA1D体积 .立测试 001答案一选择题： ( 每题 5 分, 共 60 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C C B D B C

9、C A A B C二填空题： ( 每题 4 分, 共 16 分)13. 60 o 14.arctan1415. 2 16. 三. 解答题 : （共 74 分，写出必要的解答过程）17(10 分) 解：【法一】 ACB 90 B1C1 A1C1 ，又三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 B1C1 面 A1C ，连结 A1C ，则 AC1是 AB1 在面 A1C 上的射影在四边形 AA1C 1C 中，AA AC1 1 1AC C M1 1 12AAC AC M ，且 1 1 1 12AAC AC M ， AC1 A1M AB1 A1M1 1 1 1【法二】以 C1B1 为 x 轴， C1

10、A1 为 y 轴， C1C 为 z 轴建立空间直角坐标系由 BC 1，AA1 6 ， ACB 90 ， BAC 30 ，易得A ， A(0, 3, 6) ，1(0, 3,0)6M (0,0, )， B1(1,0,0)2AB1 (1, 3, 6) ， A1M6(0, 3, )26AB A M 0 3 ( 6) 0 AB1 A1M 所以 AB1 A1M1 1218解： （1） P在平面 ABD上的射影 O在 AB 上， PO 面 ABD。故斜线 BP在平面 ABD 上的射影为 AB 。又 DA AB， DA BP，又 BC CD ， BP PDAD PD D BP 面 PAD （2）过 A作 AE

11、 PD ，交 PD 于 E。BP 面 PAD ， BP AE ， AE 面 BPD 故 AE 的长就是点 A到平面 BPD 的距离AD AB， DA BC AD 面 ABP AD AP在 Rt ABP中，2 2 3 2AP AB BP ；在 Rt BPD中， PD CD 3 3.在 Rt PAD中，由面积关系，得AEAP ADPD3 2 33 36（3）连结 BE ， AE 面 BPD ， BE 是 AB 在平面 BPD 的射影ABE 为直线 AB 与平面 BPD 所成的角在 Rt AEB中，sin ABEAEAB23，ABEarcsin2319(1) PA 面 ABC , BD AD, BC

12、 PD , 即 PDB 90.在 Rt PDB和 Rt PDC 中,2 1tan BPD , tan CPDx x2 1,tan tan BPC tan( BPD CPD )1xx x2 1 22xx x( x 1 )1 1 22 2 2 4xx, 当且仅当 x 2 时, tan 取到最大值24.(2) 在 Rt ADB和 Rt DC 中, tan BAD =2, tan CAD 1tan BAC tan( BAD CAD )2 1 1 21 2 1 3 4故在 PA存在点 Q( 如 AQ 1) 满足 1 tan 2 BQC , 使 BQC BAC3 420. (12 分) 解：（ 1）过 V

13、 点作 V0面 ABC于点 0，VEAB于点 E三棱锥 VABC是正三棱锥 O为ABC的中心2 3 3则 OA= a a3 2 31 3 3，OE= a a3 2 6又侧面与底面成 60 角 VEO=60则在 RtVEO中； V0=OE tan60 =3 a a 36 2在 RtVAO中， VA=2 2 22 a a 7a 21a2VO AO4 3 12 621即侧棱长为 a6.aVO AO（2）由（ 1）知 VAO即为侧棱与底面所成角，则 tan VAO=233a3221 (12 分) 解：（ 1）连结 BC1 交 B1C于点 E，则 E 为 B1C的中点，并连结 DED为 AC中点 DEA

14、B1而 DE 面 BC1D， AB1 面 BC1DAB1面 C1BD（2）由（ 1）知 AB1DE，则 DEB或其补角为异面直线 AB1 与 BC1所成的角由条件知 B1C=10， BC=8 则 BB1=6E 三棱柱中 AB1=BC1 DE=53又BD= 8 4 32 2 2 2 BE DE BD 25 25 48 1在 BED中 cos BED2BD DE 2 5 5 251故异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值为25（3）由（ 1）知 A到平面 BC1D 的距离即为直线 AB1 到平面 BC1D的距离设 A 到平面 BC1D的距离为 h，则由VA VBC D C1 1ABD得131S

15、 BC D h S ABD C1C13即 h=SABDSCC1BC D11由正三棱柱性质得 BDC1D 则 S BD C DBC : 1D 12h12BD AD1BDC D12CC1ADC1CC1D4266242452121313即直线 AB1 到平面的距离为12131322. (14 分)证明： 设 F 为 BE与 B1C的交点， G为 GE中点AODFAO平面 BDE=arctan 2 -arctan22或 arcsin1/3用体积法 V=1312 6 h=1.立几测试002一、选择题（ 125 分）1已知直线 a、 b 和平面 M，则 a/b 的一个必要不充分条件是（ ）Aa/M, b/

16、M Ba M，bMCa/M, b M Da、 b 与平面 M成等角2正四面体 P ABC中， M为棱 AB的中点，则 PA与 CM所成角的余弦值为（ ）A32B36C34D333a, b 是异面直线， A、Ba, C 、Db，ACb，BDb，且 AB=2，CD=1，则 a 与 b 所成的角为（ ）A30 B60 C90 D 454给出下面四个命题：“直线 a、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线 a、b 不相交；“直线 l 垂直于平面 内所有直线”的充要条件是：l 平面 ；“直线 ab”的充分非必要条件是“ a 垂直于 b 在平面 内的射影”；“直线 a 平面 ”的必要非充分条件是“直线

17、a 至少平行于平面 内的一条直线”其中正确命题的个数是（ ）A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个5设l 1 、l 2 为两条直线， a、为两个平面，给出下列四个命题：(1) 若 l 1 , l 2 ， l 1 ， l 1a 则 a . (2) 若 l 1a ，l 2a，则 l 1l 2 (3) 若 l 1 a，l 1 l 2， 则 l 2 a (4) 若 a ， l 1 ， 则 l 1 其中，正确命题的个数是（ ）A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个A1 B16三棱柱ABC A1B C 中，侧面 AA1 B1B 底面 ABC ，1 1C1直线 A C1 与底面成 60 角， AB

18、 BC CA 2，AA1 A1B ，则该棱柱的体积为（ ）A 4 3 B 3 3 C 4 D 37已知直线 l 面 ，直线 m 面 ，给出下列命题：A BC S（1） / / l m （2） l / /mH G（3） l / /m （4） l m / /其中正确的命题个数是（ ） B AA. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E F8正三棱锥S ABC的底面边长为 a，侧棱长为 b，那么经过底C边AC和 BC的中点且平行于侧棱 SC的截面 EFGH的面积为（ ）A. ab B.ab2C.ab4D.22ab9已知平面 、 、 ，直线 l 、m，且 l m, , m, l ，给出下列四个结论： ；

19、 l ； m ； . 则其中正确的个数是（ ）A0 B 1 C 2 D 310在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M是棱 DD1 的中点， O是底面 ABCD的中心， P是棱D 1 A1B1 上任意一点，则直线 OP与支线 AM所成角的大小为（ ）A 1A.45 o B.90 o C.60 o D. 不能确定M .DOA11将边长为 1 的正方形 ABCD沿对角线 BD折起，使得点 A 到点 A的位置，且 AC1，则折起后二面角 ADCB 的大小为（ ）A.2arctan B. 2C. arctan 2 D.4 312. 正方体 ABCD A B C D1 1 1 1 ，E、F 分别是 A

20、A1、CC1 的中点， P 是CC1 上的动点（包括端点），过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹是（ ）A. 线段 C F1 B. 线段 CFC. 线段 CF和一点 C1 D. 线段 C1F 和一点 C二、填空题（ 4 4 分）13矩形 ABCD的对角线 AC，BD成 60 角，把矩形所在的平面以 AC为折痕，折成一个直二面角 DACB，连结 BD，则 BD与平面 ABC所成角的正切值为 .14将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ，球的表面积为（不计损耗） .15. 四面体 ABCD中，有如下命题：若 ACBD，ABCD，则 ADBC；

21、若 E、F、G分别是 BC、AB、CD的中点，则 FEG的大小等于异面直线 AC与 BD所成角的大小；若点 O是四面体 ABCD外接球的球心，则 O在面 ABD上的射影是 ABD的外心若四个面是全等的三角形，则 ABCD为正四面体。其中正确的是： _ 。（填上所有正确命题的序号）16直三棱柱 ABCA1B1C1 的每一个顶点都在同一个球面上，若 AC 2, BC CC 1 ，1ACB ，则 A、C 两点之间的球面距离为 .2A 1B1 C1D 1三、解答题（ 12+12+12+12+12+14 分）17已知长方体 AC1 中，棱 AB=BC=1，棱 BB1=2，连结 B1C，过 B 点作 B1

22、C的垂线交 CC1于 E，交 B1C于 F.（1）求证 A1C平面 EBD；E （2）求点 A 到平面 A1B1C的距离；A FD（3）求平面 A1B1CD与直线 DE所成角的正弦值 .B C18在平行四边形 ABCD中， AB 3 2 ， AD 2 3 ， ADB 90 , 沿 BD将其折成二面角 ABDC，若折后 AB CD 。A（1）求二面角 A BD C 的大小；（2）求折后点 C到面 ABD的距离。D BEB C19在棱长 AB=AD=2，AA=3 的长方体 AC1 中，点 E 是平面 BCC1B1上动点，点 F 是 CD的中点。(1) 试确定 E 的位置，使 D1E平面 AB1F。

23、A 1D1(2) 求二面角 B1AFB 的大小。B1 C1.A DF20（本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱A B C ABC 中，D、E 分别是棱 BC 、CC1的中点， AB AA1 2 。1 1 1（）证明：BE AB ；（）求二面角1B AB D 的大小。1C 1A1B 1EC21如图，在直三棱柱 ABC A B C1 1 1 中，ADBC AA1 4，AC 3，ACB90 ，D是 A1B1 的中点。B（1）在棱 BB1 上求一点 P，使 CPBD；（2）在（ 1）的条件下，求 DP与面 BB C C1 1 所 成的角的大小。22如图，三棱锥 PABC中，PB底面 ABC于 B，B

24、CA=90 ，PB=BC=CA=4 2 ，点 E，点 F 分别是 PC，AP的中点 .（1）求证：侧面 PAC侧面 PBC；（2）求异面直线 AE与 BF所成的角；P（3）求二面角 ABEF 的平面角 .EFC BA.立几测试002 答案一、选择题（ 125 分）1已知直线 a、 b 和平面 M，则 a/b 的一个必要不充分条件是（ D）Aa/M, b/M Ba M，bMCa/M, b M Da、 b 与平面 M成等角2正四面体 P ABC中， M为棱 AB的中点，则 PA与 CM所成角的余弦值为（ B）A32B36C34D333a, b 是异面直线， A、Ba, C 、Db，ACb，BDb，

25、且 AB=2，CD=1，则 a 与 b 所成的角为（ B）A30 B60 C90 D 454给出下面四个命题：“直线 a、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线 a、b 不相交；“直线 l 垂直于平面 内所有直线”的充要条件是：l 平面 ；“直线 ab”的充分非必要条件是“ a 垂直于 b 在平面 内的射影”；“直线 a 平面 ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面 内的一条直线”其中正确命题的个数是（ B）A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个5设l 1 、l 2 为两条直线， a、为两个平面，给出下列四个命题：(1) 若 l 1 , l 2 ， l 1 ， l 1a 则 a .

26、 (2) 若 l 1a ，l 2a，则 l 1l 2 (3) 若 l 1 a，l 1 l 2， 则 l 2 a (4) 若 a ， l 1 ， 则 l 1 其中，正确命题的个数是（ B）A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个A1 B16三棱柱ABC A1B C 中，侧面 AA1 B1B 底面 ABC ，1 1C1直线 A1C 与底面成 60 角， AB BC CA 2，AA1 A1B ，则该棱柱的体积为（ B）A 4 3 B 3 3 C 4 D 37已知直线 l 面 ，直线 m 面 ，给出下列命题：A BCS（1） / / l m （2） l / /m（3） l / /m （4） l

27、m / /H G 其中正确的命题个数是（ B）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B A8正三棱锥S ABC的底面边长为 a，侧棱长为 b，那么经过底E F边AC和 BC的中点且平行于侧棱 SC的截面 EFGH的面积为（ C）CA. ab B.ab2C.ab4D.22ab9已知平面 、 、 ，直线 l 、m，且 l m, , m, l ，给出下列四个结论： ； l ； m ； . 则其中正确的个数是（ C）A0 B 1 C 2 D 310在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， M是棱 DD1 的中点， O是底面 ABCDD 1的中心， P 是棱 A1B1 上任意一点，则直线 OP与支线

28、AM所成角的大小为（ B）A 1M .DOAA.45 o B.90 o C.60 o D. 不能确定C1，则折起后二面角 A11将边长为 1 的正方形 ABCD沿对角线 BD折起，使得点 A 到点 A的位置，且 A DCB 的大小为（ C）A.2arctan B. 2C. arctan 2 D.4 312. 正方体 ABCD A1B1C1 D1 ，E、F 分别是 AA1、CC1 的中点， P 是CC1 上的动点（包括端点），过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹是（ C）A. 线段 C F1 B. 线段 CFC. 线段 CF和一点 C1 D. 线段 C1F 和一点 C二

29、、填空题（ 4 4 分）13矩形 ABCD的对角线 AC，BD成 60 角，把矩形所在的平面以 AC为折痕，折成一个直二面角 DACB，连结 BD，则 BD与平面 ABC所成角的正切值为 21 .714将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为，球的表面积为 6（不计损耗） .15. 四面体 ABCD中，有如下命题：若 ACBD，ABCD，则 ADBC；若 E、F、G分别是 BC、AB、CD的中点，则 FEG的大小等于异面直线 AC与 BD所成角的大小；若点 O是四面体 ABCD外接球的球心，则 O在面 ABD上的射影是 ABD的外心若四个面是全等的三角形，则 ABCD

30、为正四面体。其中正确的是： _。（填上所有正确命题的序号）16直三棱柱 ABCA1B1C1 的每一个顶点都在同一个球面上，若 AC 2, BC CC 1 ，1ACB ，则 A、C 两点之间的球面距离为22.A 1B1 C1D 1三、解答题（ 12+12+12+12+12+14 分）17已知长方体 AC1 中，棱 AB=BC=1，棱 BB1=2，连结 B1C，过 B 点作 B1C的垂线交 CC1于 E，交 B1C于 F.（1）求证 A1C平面 EBD；E （2）求点 A 到平面 A1B1C的距离；A FD（3）求平面 A1B1CD与直线 DE所成角的正弦值 .解：（ 1）连结 AC，则 ACBD

31、B CAC是 A1C 在平面 ABCD内的射影 A1CBD；又A1B1面 B1C1CB，且 A1C在平面 B1C1CB内的射影 B1CBE，A1C BE又 BD BE B A1C 面EBD（2）易证：AB/ 平面 A1B1C，所以点 B 到平面 A1B1C 的距离等于点 A 到平面 A1B1C的距离， 又 BF平面 A1B1C，2 1 2 5所求距离即为 .BF2 252 1（3）连结 DF，A1D， EF B1C, EF A1CEF 面A1B1C ， EDF即为 ED与平面 A1B1C 所成的角 .由条件 AB=BC=1， BB1=2，可知 1C 5B ，2 5 4 5 5 FC BF 5

32、FC BB 11BF , B1 F ,CF , EF ., EC5 5 5 B1 F 10 B F 212 2ED EC CD52.sinEDFEFED1 5.18在平行四边形ABCD中， AB 3 2 ， AD 2 3 ， ADB 90 , 沿 BD将其折成二面角 ABDC，若A 折后 AB CD 。（1）求二面角 A BD C 的大小；D B（2）求折后点 C到面 ABD的距离。解法一：设A 点在面 BCD内的射影为 H，E 连结BH交 CD于 E，连DH，在 ADB中，AB 2=AD2+BD2， ADDB。2=AD2+BD2， ADDB。B C又 AH面 DBC， BHDH。 ADH为二

33、面角 A BD C的平面角。由 AB CD，AH面 DBC， BHCD。 易求得 CE=2 2 ，DE= 2 。又 RtDEHRtCEB DH= 3 。在 Rt ADH中，1cos ADH , ADH ， 2 3二面角 A BD C 的大小为。33法二：在 BCD中，由余弦定理得 cos BDC , ADB DBC 90 。3 DA BD , BC DB , 二面角的大小就是 DA , BC 。 AB DC , AB DC 0 , 即( DB DA) CD 0 ，即 DB CD DA CD 0 , 故 DB CD DA CD 。cos DA, BCDA BC| DA | BC |=DA =(D

34、C DB )2 3 2 3(DA DC ) (DA DB) = 12DB DC 12=DB DCcos(DB , DC 12)=63 2 123312( DA, BC) 60(2) 由对称性成等积性知： C到面 ABD的距离等于 A 到面 BCD的距离3AH AD sin ADH 2 3 3 (12分)219在棱长 AB=AD=2，AA=3 的长方体AC1 中，点 E 是平面 BCC1B1上动点，点 F 是 CD的中点。(1) 试确定 E 的位置，使 D1E平面 AB1F。A 1D1(2) 求二面角 B1AFB 的大小。B1 C1.A DF解：(1) 建立空间直角坐标系，如图A(0，0，0)

35、，F(1 ，2，0) ，B1(2 ，0，3) ，D1(0 ，2，3) ，设 E(2 ，y，z)D1 E ( ,y z 3 ， AF (1,2,0 ) ， AB1 (2,0,3)2 2, )由 D1E平面 AB1FD1E AF 0，即D1EAB10242(y3(z2)3)00yz153E(2，1，53) 为所求。4(2) 当 D1E平面 AB1F 时， D1E (2, 1, ) ， B1B (0,0 , 3)3又 B1 B与 D1E 分别是平面 BEF与平面 B1EF 的法向量，则二面角 B1-AF-B 的平面角等于 。cos=3223(143)(43)246161B1-AF-B 的平面角为4

36、61arccos 或用传统法做 ( 略) (61arctan3 54)20（本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱A B C ABC 中，D、E 分别是棱 BC 、CC 的中点，1 1 1 1AB AA 。1 2BE AB ；（）求二面角（）证明：1解：如图建立空间直角坐标系，则B AB D 的大小。1A 1C1（）证明：因为 B( 1, 0 , 0) ， E (1, 0 ,1) ，B1EA(0 , 3 ,0) ， B1 ( 1, 0 , 2) ，所以 BE (2 , 0 ,1) ， AB1 ( 1, 3 , 2) ，故CBE AB1 2 ( 1) 0 ( 3) 1 2 0 ，AD因此，有 B

37、E AB1；B（）设 n1 (x , y , z) 是平面 ABB1 的法向 量，z因为 AB1 ( 1, 3 , 2) ， BB1 (0 , 0 , 2) ， 所以由C 1A1B1Ex CyA DB.n AB n AB x 3y 2z 01 1 1 1n BB n BB 2z 01 1 1 1可取 n1 ( 3 , 1, 0) ；同理，n2 (2 , 0 ,1) 是平面AB D 的法向量。1设二面角B AB D 的平面角为 ，则1|n n | 15 151 2cos | cos n ,n | arccos1 2| n | |n | 5 51 2。21如图，在直三棱柱 ABC A B C1 1

38、 1 中，BC AA1 4，AC 3，ACB90 ，D是 A1B1 的中点。（1）在棱 BB1 上求一点 P，使 CPBD；（2）在（ 1）的条件下，求 DP与面 BB C C 1 1 所成的角的大小。解法一：（ 1）如图建立空间直角坐标系设 P 4，0，z ，则 CP 4，0，z3 3由 B 4，0，0 ，D 2， ，4 得： BD 2，42 2由 CPBD，得： CPBD 0 z 2所以点 P 为 BB1 的中点时，有 CPBD（2）过 D 作 DEB1C1，垂足为 E，易知 E 为 D在平面 BC1上的射影，DPE为 DP与平面 BC1所成的角3 3由（1），P（4，0，z）， D 4

39、得： PD 2，2 2， ，2 2 E(2 , 0 , 4) ， PE ( 2, 0 , 2) 。 PD PE | PD | | PE cos DPE ， 4 82cos DPE ， 41 4 82DPE arccos 。 41即 DP与面 BB C C1 1 所成的角的大小为 4 82arccos 。 41解法二：取 B1C1 的中点 E，连接 BE、DE。 显然 DE平面 BC1BE为 BD在面 BC1 内的射影，若 P 是 BB1 上一点且 CP BD，则必有CPBE四边形 BCC B1 1 为正方形， E 是 B1C1 的中点.点 P 是 BB1的中点， BB1 的中点即为所求的点 P（2）连接 DE，则 DE B C 1 1 ，垂足为 E，连接 PE、DPDPE 为 DP与平面 BC1 所成的角3由（1）和题意知： DE PE,22 2DE 3 2tan DPE , DPEPE 8arctan3 2 8即 DP与面 BB C C1 1 所成的角的大小为3arctan2822如图，三棱锥 PABC中，PB底面 ABC于 B，BCA=90 ，PB=BC=CA=4 2 ，点 E，点 F