1、一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知x1、x2是关于x的元二次方程（a6）x2+2ax+a=0的两个实数根（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值【答案】（1）a0且a6;（2）a的值为7、8、9或12【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2= ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= 是是负整数，即可得是正整数根据a是整数，即可求得a的值2【详解】（1）原方程有两实数根，a0且a6（2）x1、x2是关于x的一元二次
2、方程（a6）x2+2ax+a=0的两个实数根，x1+x2=，x1x2=，（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=+1=（x1+1）（x2+1）是负整数，是负整数，即是正整数a是整数，a6的值为1、2、3或6，a的值为7、8、9或12【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键2解方程：（3x+1）2=9x+3【答案】x1=，x2=【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）23（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+13）=0，可得3x+1=0或3x2=0，解得：x
3、1=，x2=点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x24x10；（2）(y2)2(3y1)20.【答案】（1）x11，x21；（2）y1，y2.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）a=2，b=4，c=-1=b2-4ac=16+8=240x= x11，x21（2）(y2)2(3y1)20(y+2)+
4、(3y-1) (y+2)-(3y-1)=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y1，y2.4关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=1【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.详解：（1）解：由题意：，原方程有两个不相等的实数根（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：解：令，则原方程为，解得：
5、点睛：考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.5淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品在“双十一”购物
6、活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于a的一元二
7、次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1x）239.2，解得：x10.330%，x21.7（不合题意，舍去）答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元（2）根据题意得：0.580（1+a%）301000（1+2a%）30000，整理得：a2+75a25000，解得：a125，a2100（不合题意，舍去），80（1+a%）80（1+25%）100答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正
8、确列出一元二次方程是解题的关键6已知关于x的方程x2（2k+1）x+4（k）0（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰ABC的一边长a3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k或2【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到（2k3）20，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x12k1，x22，再根据等腰三角形的性质得到2k12或2k13，然后分别解关于k的方程即可【详解】（1）（2k+1）244（k）4k212k+9（2k3）20，该方程总有实数根；（2）x12k1，x22，a、b、c为等腰三角形的
9、三边，2k12或2k13，k或2【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.7某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量（单位：件）是关于时间（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：时间/天131020日销售量/件98948060这20天中，该产品每天的价格（单位：元/件）与时间的函数关系式为：（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出关于的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元（）给希望工程，通过销
10、售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围.【答案】（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得: 解得:k=-2,b=100关于的函数关系式为:.（2）设前20天日销售利润为元，由题意可知，当时，.在第15天时日销售利润最大，最大利
11、润为612.5元.（3）由题意得：，对称轴为：，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且，.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.8元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均
12、少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克, 元/千克. 由题得： 解之得： 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得： 解之得：，经检验，均符合题意答：的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
13、9已知关于x的方程（a1）x2+2x+a10（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根【答案】（1）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：当a=1时，为一元一次方程；当a1时，利用b24ac0求出a的值，再代入解方程即可【详解】（1）将x2代入方程，得，解得：a将a代入原方程得，解得：x1，x22a，方程的另一根为；（2）当a1时，方程为2x0，解得：x0.当a1时，由b24ac0得44(a1)20，解得：a2
14、或0当a2时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21；当a0时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21综上所述，当a1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.10阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2y，那么x4y2，于是原方程可变为y25y+40 ，解得y11，y24当y1时，x21，x1；当y4时，x24，x2；原方程有四个根：x11，x21，x32，x42（1）在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）120【答案】（1）换元，降次；（2）x1=3，x2=2【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x=2，得方程x2+x+2=0，b24ac=142=70，此时方程无实根所以原方程的解为x1=3，x2=2
