1、排列组合教案1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法例：1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A大学里有4种他所感兴趣的专业，在B大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种选择？2.一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第步有种不同的方
2、法，那么完成这件事共有：种不同的方法例：1.从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村到C村，不同的线路种数是 2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？3.从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_ _；3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件例：1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1） 从书
3、架中任意取一本书，有多少种取法？（2） 从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？排列定义 从n个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取m个的无重排列。排列的全体组成的集合用 A(n,m)表示。排列的个数用表示。当m=n时称为全排列。 (1)排列数公式；。例：1. ； ； ； ； ； ； ； 1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，
4、共有多少种挂法？2.从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名，并按排列的顺序出场比赛，有多少种不同的方法？组合定义 从n个不同元素中取m个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取m个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,m)表示，组合的个数用表示.(2)组合数公式；其中. 例： ； ；= ； ； ； ； 1.（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？2.在一100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这10
5、0件产品中任意抽出3件，（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？排列数、组合数的性质：；.例：1. ， ；2. ， . 2. ； 3 ；解排列组合问题的方法有：一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。1 (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加
6、比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.3.某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_ _；4.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？5.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？6.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个；7.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数
7、，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_ _种；9.的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_ _个三角形；10.用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法；ACBD11如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种
8、不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84） 图512将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420） 图6 13.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种二：相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_；
9、2. 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？3.有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种(结果用数值表示)4.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.）1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种3一个晚
10、会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？2. 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个(用数字作答)四：可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；五：有序问题组合法1.学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩且满足，则这四位同学考试成绩的所有可
11、能情况有_种；2.设集合，对任意，有，则映射的个数是_ _；3.离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_ _。六：定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。4.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、
12、210种 B、300种 C、464种 D、600种七：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_种八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种；2.某公司新招聘
13、进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种；九：阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组至少一份，分成n份，需要n-1个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后再做）1. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？4.有20个不加区别的小球放入编号为1，
14、2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）十.（不同物品）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？2.把6个不同苹果平均分成三堆，一共有 种分法.3.把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有 种分法.4.把6个不同的苹果分成4堆，一共有 种分法.5.把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有 种分法.本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？本不同的书，全部分给4个学生，每个
15、学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种9某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A、种 B、种 C、种 D、种11.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种12.如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答
16、：37440）；十一：选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.1.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_ _。2.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？十二：标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.1.将数字1，2，3，4填入
17、标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种2.同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种；3.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_ _种4.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？十三：多排问题单排法:把元素排成
18、几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。1.如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_；2. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？十四：圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之
19、分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.1.有5个人站成一圈，一共有多少种站法？1.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？十五：排除法，部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、52种2.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种 B、147种 C、144种 D、141种3.如在平面直角坐标系中，
20、由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以确定三角形的个数为_。3. 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？十六：已排好元素中新增元素增位排列法1.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？2.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_ _。3.如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同
21、的放法；二项式定理：例：1.的展开式为 2.的展开式为 3.的展开式为 4.设N*，化简_；5.设N*，化简_；例：1. 的展开式中，每项的系数和为 2. 的展开式中，每项的二项式系数和为 3. 的展开式中，每项的二项式系数和为 4. 的展开式中，每项的系数和为 二项式的题型一：（求或的系数）1（重庆3）的展开式中的系数是（ ）A16B70C560D11202(2008天津理) 的二项展开式中，的系数是 （用数字作答）.3（全国1/13）的展开式中，的系数与的系数之和等于 4（全国2/13） 的展开式中的系数为 5(2008全国卷理) 的展开式中的系数是（ ） A B C3 D46(2008四
22、川理) 展开式中的系数为_。7（2008浙江文、理）在的展开式中，含的项的系数是（ ） （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）2748. (2008广东理)已知(k是正整数)的展开式中，的系数小于120，则k=_.题型二：求常数项1（四川13）的展开式的常数项是 （用数字作答）2(2008山东理)（x-）12展开式中的常数项为（ ）（A）-1320（B）1320（C）-220 (D)2203（全国卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ ） B4 C5 D64(安徽理科第12题)若的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 5（湖北理科第1题）如果的展开式中含有非零常数项
23、，则正整数的最小值为（）3 56106（全国卷理科第13题）的展开式中常数项为 （用数字作答）7(2008江西理) (1)6(1)10展开式中的常数项为（ ）A1 B46 C4245 D4246题型三：求展开式的系数或二项式系数1(2008福建理)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=_.(用数字作答)2（重庆理科第4题）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A10 .20 C 3（2008北京理）若展开式的各项系数之和为32，则_，其展开式中的常数项为_（用数字作答）4（江西理科第4题）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（）5（湖南10）在的展开式中，的系数为_(用数字作答) 6（2008安徽文、理）设则中奇数的个数为（ ）A2B3C4D57已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为112，则n是（ ）8.设，则= .题型四：1、 被7除所得的余数是_；2、 被9除的余数为（ ） （A）7 （B）2 （C）8 （D）13、 除以100的余数是（ ） （A）1 （B）90 （C）91 （D）9
