1、第二章第二章 杆件的内力杆件的内力.截面法截面法本章学习目标本章学习目标学会用学会用截面法截面法及及简便法简便法求杆件发生各求杆件发生各种基本变形时的内力种基本变形时的内力第二章第二章 杆件的内力杆件的内力.截面法截面法2-2 轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图轴力与轴力图2-3 扭转的概念扭转的概念.扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图2-4 弯曲的概念弯曲的概念.剪力与弯矩剪力与弯矩2-5 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程.剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图2-6 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系载荷集度、剪力与弯矩之间的关系2-7 平面刚架与平面曲杆的弯曲内力平面刚架与平面曲杆的弯曲
2、内力2-1 杆件内力的普遍情况杆件内力的普遍情况2-2 2-2 轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图轴力与轴力图一、一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念活塞杆FFFFFF压杆压杆拉杆拉杆受力特点：受力特点：外力或外力合力作外力或外力合力作用线与杆件的轴线重合用线与杆件的轴线重合变形特点：变形特点：杆件沿轴线方向伸杆件沿轴线方向伸长或缩短长或缩短,横向尺寸减小或横向尺寸减小或增大增大 轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念活塞杆计算简图：计算简图：压杆压杆拉杆拉杆受力特点：受力特点：外力或外力合力作外力或外力合力作用线与杆件的轴线重合用线与杆件的轴线重合变形特点：变形
3、特点：杆件沿轴线方向伸杆件沿轴线方向伸长或缩短长或缩短,横向尺寸减小或横向尺寸减小或增大增大 轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念计算简图：计算简图：当杆件所受外当杆件所受外力或外力合力作用力或外力合力作用线与杆件的轴线重线与杆件的轴线重合，杆件的变形是合，杆件的变形是沿轴线方向的伸长沿轴线方向的伸长或缩短，这种基本或缩短，这种基本变形叫做变形叫做轴向拉伸轴向拉伸或压缩变形或压缩变形二、二、轴力与轴力图轴力与轴力图截、选、代、求截、选、代、求由平衡条件由平衡条件 FN分布内力系的合力分布内力系的合力轴力轴力符号规定：拉为正符号规定：拉为正(+)(+)，压为负，压为负(-)(-),0 xF求
4、得内力求得内力FF N0NFF 1 1、轴力、轴力x2 2、轴力图、轴力图表示轴力与横截面位置关系的图线，称为表示轴力与横截面位置关系的图线，称为 轴力图轴力图FNx+-例例1 图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：解：求求OA段内力段内力FN1：设置截面如图：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDFN10 xF01NDCBAPPPPF 04851NPPPPFPF21Nx同理，求得同理，求得AB、BC、CD段内力分段内力分别为：别为：FN2=3PFN
5、3=5PFN4=PBCDPBPCPDFN2CDPCPDFN3DPDFN4FNx2P3P5PP+ABCDPAPBPCPDO轴力图轴力图解解:1)AB段段：,0yF由平衡方程由平衡方程01NFFkN501N FF150kN50kN4m3m2)BC段：段：由平衡方程由平衡方程0,yFkN15032NFF032NFF例例2一横截面为正方形的砖柱分上下两段，受力如一横截面为正方形的砖柱分上下两段，受力如图所示，已知图所示，已知F 5050kN，试做砖柱的轴力图。，试做砖柱的轴力图。150kN50kN4m3mNF1.1.要根据轴力的实际方向判断其正负。用截面法求轴要根据轴力的实际方向判断其正负。用截面法求
6、轴力时，在切开的截面上建议假设正的轴力，由平衡方力时，在切开的截面上建议假设正的轴力，由平衡方程得出的程得出的F FN N值为正，说明轴力为正（拉力）；值为正，说明轴力为正（拉力）；F FN N值为值为负，说明轴力为负（压力）。负，说明轴力为负（压力）。或或。2 2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式；并注上要画剖面线形式；并注上 符号符号注意注意3.3.轴力数值总结：轴力数值总结：某截面的轴力在数值上等于截某截面的轴力在数值上等于截面一侧所有外力的代数和，外力在代数和中的正面一侧所有外力的代数和，外力在代数和中的正负取决于其在截面上引
7、起的轴力正负。负取决于其在截面上引起的轴力正负。（简便法）（简便法）第二章第二章 杆件的内力杆件的内力.截面法截面法2-2 轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图轴力与轴力图2-3 扭转的概念扭转的概念.扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图2-4 弯曲的概念弯曲的概念.剪力与弯矩剪力与弯矩2-5 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程.剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图2-6 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系载荷集度、剪力与弯矩之间的关系2-7 平面刚架与平面曲杆的弯曲内力平面刚架与平面曲杆的弯曲内力2-1 杆件内力的普遍情况杆件内力的普遍情况扭水龙头扭水龙头用钥匙扭转开门用钥匙扭转开门酒瓶软木塞的
8、开瓶酒瓶软木塞的开瓶器器自行车的脚蹬工作自行车的脚蹬工作一、一、扭转的概念扭转的概念2-3 2-3 扭转的概念扭转的概念.扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图螺丝刀杆工作时受扭螺丝刀杆工作时受扭 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶扭转的实例扭转的实例汽汽车车转转向向轴轴扭转的实例扭转的实例机机器器主主轴轴 扭转的概念扭转的概念1 1受力特点受力特点：在杆件上垂直于杆轴线的平面内作用：在杆件上垂直于杆轴线的平面内作用着外力偶。着外力偶。2 2变形特点变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动，表面纵线转过一个角度。生相对转动，表面纵线转过一个角度。轴轴：以扭转为
9、主要变形的构件称为轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。计算简图计算简图mmOBAmm二、二、外力偶矩的计算外力偶矩的计算P传递的功率传递的功率,（kw）n转速转速,（r/min）e100030nPMePM30ne7024(N.m)PMn若传递功率单位为马力（若传递功率单位为马力（PS),由于由于1PS=735.5Nm/se1000 309549(N.m)PPMnn三、三、扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 1、扭矩扭矩,0 xM由e0TMeTM得 T 称为截面称为截面n-n上的上的扭矩扭矩。扭矩是横截面上的分布内力系的合力偶矩扭矩是横截面上的分布内力系的合力偶矩2.扭矩的正负号规定：扭矩的正负号规定：按
10、右手按右手螺旋法则，螺旋法则，T矢量与截面外法矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负线方向一致为正，反之为负用截面法求扭矩时，建议均假设各截面用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩扭矩T为正，如果由平衡方程得到为正，如果由平衡方程得到T为正，为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。的扭矩。注意注意3.扭矩图扭矩图表示扭矩与横截面位置关系的图线，称为表示扭矩与横截面位置关系的图线，称为扭矩图扭矩图解解：求外力偶矩：求外力偶矩：m).(N11469549nPMAAm).(N3509549nPMMBcBm).(N4469549nPMDD例例1：已知：传动轴，
11、已知：传动轴，n=300r/min，PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW。试画出轴的扭矩图。试画出轴的扭矩图。对对BCBC段段0,01BxMTM由同理，同理，CA段：段：ADAD段：段：扭矩图扭矩图.446N m700N m350N mm.N3501BMTm.N7002CBMMTm.N4463DMT 例例 2 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输入的功率主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。1.计算作用在各轮上
12、的外力偶矩31500(9549 10)N m15.9kN m300M 323150(9549 10)N m4.78kN m100MM34200(9549 10)N m6.37kN m300M 解：解：M1 M2 M3 M4 ABCD2.2.分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩mkN78.421MTm9.56kN322MMTmkN37.643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩图扭矩图Tmax=9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.78 kNm9.56 kNm6.37 kNmmkN78.
13、41Tm9.56kN2TmkN37.63TT 某横截面的扭矩在数值上等于截面一侧某横截面的扭矩在数值上等于截面一侧所有外力偶矩的代数和，外力偶矩的正所有外力偶矩的代数和，外力偶矩的正负取决于其在截面上引起的扭矩正负。负取决于其在截面上引起的扭矩正负。（简便法）（简便法）4.4.扭矩的数值总结扭矩的数值总结第二章第二章 杆件的内力杆件的内力.截面法截面法2-2 轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图轴力与轴力图2-3 扭转的概念扭转的概念.扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图2-4 弯曲的概念弯曲的概念.剪力与弯矩剪力与弯矩2-5 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程.剪力图与弯矩图剪力图与
14、弯矩图2-6 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系载荷集度、剪力与弯矩之间的关系2-7 平面刚架与平面曲杆的弯曲内力平面刚架与平面曲杆的弯曲内力2-1 杆件内力的普遍情况杆件内力的普遍情况2-4 2-4 弯曲的概念弯曲的概念.剪力与弯矩剪力与弯矩一、弯曲变形的概念一、弯曲变形的概念受力特点受力特点：直杆受到横向外力的作用。（力作用线垂：直杆受到横向外力的作用。（力作用线垂直于轴线或者力偶矩矢量垂直于轴线）直于轴线或者力偶矩矢量垂直于轴线）变形特点变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。：杆件轴线由直线变为曲线。一、弯曲变形的概念一、弯曲变形的概念2-4 2-4 弯曲的概念弯曲的概念.剪力与弯矩剪力与弯矩受
15、力特点受力特点：直杆受到横向外力的作用。（力作用线垂：直杆受到横向外力的作用。（力作用线垂直于轴线或者力偶矩矢量垂直于轴线）直于轴线或者力偶矩矢量垂直于轴线）变形特点变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。：杆件轴线由直线变为曲线。一、弯曲变形的概念一、弯曲变形的概念2-4 2-4 弯曲的概念弯曲的概念.剪力与弯矩剪力与弯矩当杆件受到横向外力的作用，杆件的轴线由直线变当杆件受到横向外力的作用，杆件的轴线由直线变成曲线，这种变形叫做成曲线，这种变形叫做弯曲变形。弯曲变形。以以弯曲变形弯曲变形为主要变形的杆件叫做为主要变形的杆件叫做梁梁。纵向对称面纵向对称面对称轴对称轴轴线轴线变形后的轴线变形后的轴线
16、对称弯曲对称弯曲 受力特点：横向外力作用在纵向对称面内受力特点：横向外力作用在纵向对称面内(平面弯曲平面弯曲)变形特点：轴线变形成为纵向对称面内的变形特点：轴线变形成为纵向对称面内的 平面曲线平面曲线二、梁的简化二、梁的简化 1.梁的支座简化梁的支座简化1.梁的支座简化梁的支座简化1.梁的支座简化梁的支座简化2.梁的载荷简化梁的载荷简化3.3.梁的计算简图梁的计算简图 4.4.梁的分类梁的分类 简支梁：简支梁：一端为固定铰支座，一端为固定铰支座，一端为可动铰支座一端为可动铰支座 悬臂梁：悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁一端为固定端，另一端为自由端的梁外伸梁：外伸梁：一端或两端伸出支座之
17、外的梁一端或两端伸出支座之外的梁静定梁：静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。确定。静不定梁：静不定梁：梁的支座反力不能全部由静力梁的支座反力不能全部由静力平衡方程确定。平衡方程确定。跨：跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。的跨长。三、弯曲内力三、弯曲内力 1.1.由梁的静力平衡方程求支座反力由梁的静力平衡方程求支座反力FA、FB2 2、截面法：截、选、代、求、截面法：截、选、代、求，得由平衡方程 0yF1SFFFA0S1FFFAFS称为横截面称为横截面m-m上的上的剪力剪力，它是，它是与与横截
18、面相切的分布内力系的合力横截面相切的分布内力系的合力。axFxFMA10,01)(xFaxFMMAFO由M称为横截面称为横截面m-m上的上的弯矩弯矩。它是。它是与横与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。截面垂直的分布内力系的合力偶矩。FSMFSMy例例 梁长度为梁长度为l，试求横截面，试求横截面m-m的内力的内力1.1.剪力的符号规定：剪力的符号规定：剪力剪力：当剪力使微段左端相对当剪力使微段左端相对于右端向上错动，剪力为正，于右端向上错动，剪力为正，反之，剪力为负反之，剪力为负若外力对截面形心取矩为顺若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上时针力矩，则该力在截面上引起正的剪力，反之引起
19、负引起正的剪力，反之引起负的剪力的剪力（顺为正，逆为负）（顺为正，逆为负）。力偶不会在截面上引起剪力力偶不会在截面上引起剪力某种载荷在截面上引某种载荷在截面上引起的剪力符号？起的剪力符号？1SFFFAFS例例 梁长度为梁长度为L，试求横截面，试求横截面m-m的内力的内力BFFF2Sb某横截面的某横截面的剪力剪力在数值上等于在数值上等于截面一侧所有横向外力的代数截面一侧所有横向外力的代数和，在代数和中和，在代数和中,外力的正负取外力的正负取决于其在截面上引起的剪力正决于其在截面上引起的剪力正负。负。y弯矩弯矩：取微段，变形下凸取微段，变形下凸为正，反之为负为正，反之为负 1.1.向上的载荷在截面
20、上引起向上的载荷在截面上引起正的弯矩，反之，向下的载正的弯矩，反之，向下的载荷在截面上引起负的弯矩荷在截面上引起负的弯矩:上上正下负正下负（集中力或者分布力）（集中力或者分布力）2.2.力偶引起的弯矩正负根据力偶引起的弯矩正负根据变形判断变形判断2.2.弯矩的符号规定弯矩的符号规定MMMM负正负某种载荷在截面上引起的某种载荷在截面上引起的弯矩符号？弯矩符号？axFxFMA1MFSbbFxlFMB2)(某横截面的某横截面的弯矩弯矩在数值上等于在数值上等于截面一侧所有外力对截面形心截面一侧所有外力对截面形心之矩的代数和，在代数和中之矩的代数和，在代数和中,外外力矩的正负取决于其在截面上力矩的正负取
21、决于其在截面上引起的弯矩正负。引起的弯矩正负。例例 梁长度为梁长度为L，试求横截面，试求横截面m-m的内力的内力3.剪力和弯矩数值的总结剪力和弯矩数值的总结 某横截面的某横截面的剪力剪力在数值上等于截面一侧所有在数值上等于截面一侧所有横向外力的代数和，在代数和中横向外力的代数和，在代数和中,外力的正负取外力的正负取决于其在截面上引起的剪力正负。顺正逆负决于其在截面上引起的剪力正负。顺正逆负 某横截面的某横截面的弯矩弯矩在数值上等于截面一侧所有在数值上等于截面一侧所有外力对截面形心之矩的代数和，在代数和中外力对截面形心之矩的代数和，在代数和中,外外力矩的正负取决于其在截面上引起的弯矩正负。力矩的
22、正负取决于其在截面上引起的弯矩正负。上正下负上正下负根据剪力和弯矩数值的总结，可以根据梁的计算根据剪力和弯矩数值的总结，可以根据梁的计算简图直接求出某截面的剪力和弯矩，不需要再列简图直接求出某截面的剪力和弯矩，不需要再列平衡方程求解。平衡方程求解。解：解：1.1.求支座反力求支座反力03,0)(0,0lFlFFMFFFFBABAy得得FFFFBA31,322.2.求截面求截面1 11 1上的内力上的内力FFFAD32SFaaFMAD32同理同理,对于对于C C左左截面：截面：FllFMFFFCAC92332,32S左左对于对于C C右右截面：截面：3SFFFFAC右FllFMAC923右在集中
23、力作用截面，左在集中力作用截面，左右截面上剪力发生突变，右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大突变值为该集中力的大小；而弯矩没有突变。小；而弯矩没有突变。右左右左CCCCMMFF,SS例例1 1 如图所示的简支梁，试求如图所示的简支梁，试求1 11 1及及C左右截面上的内力。左右截面上的内力。解：解：1.1.求支求支反力反力0,0AxxFF2,0qlFFFAyy83,0)(2qlFlMFmAA2.2.求截面求截面C的内力的内力2qlFFFAyC8222qlFllFMMAyAC注：对悬臂梁，可取截注：对悬臂梁，可取截面到自由端部分为研究面到自由端部分为研究对象，可省略求支反力对象，可省略求支
24、反力3.3.求距求距A为为x处截面的内力处截面的内力)()2(xlqFlxqFFAySx2)2(21lxqxFMMAyAx2)(2122qlFlxqlFqxAyFAxFAyFAMAyF例例2 2 如图所示的悬臂梁，求截面如图所示的悬臂梁，求截面C及距及距A端为端为x处截面的内力。处截面的内力。2-5 2-5 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一一.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，
25、这种图形分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图 画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：剪力弯矩方程法剪力弯矩方程法和简便法和简便法 二二.剪力、弯矩方程法剪力、弯矩方程法 若以横坐标若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩的剪力和弯矩,可以可以表示为表示为x的函数，即的函数，即)(SSxMMxFF根据根据剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。即可画出剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图的步骤：画剪力图和弯矩图的步骤：第一，求支座反力。第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出
26、第二，根据截荷情况分段列出FS(x）和和M(x)方程。方程。在集中力（包括支座反力）在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点分段点。第三，求控制截面内力，作第三，求控制截面内力，作FS、M图。图。一般每段的一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的
27、内力值标在坐标的相应位置处矩值。将控制截面的内力值标在坐标的相应位置处 。分段点之间的图形可根据剪力方程和分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明弯矩方程绘出。并注明 的数值。的数值。maxmaxMFS和例例1 1 试画出如图示简支梁试画出如图示简支梁 AB AB 的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反力，由求支反力，由0,0)(FAymF得得lFaFlFbFBA,2.2.列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程 在在AC段内，段内，axlFbFxFAS0,)(1axxlFbxFxMA0,)(1在在BC段内段内lxalFaFxFB,)(2S lxaxllFaxlFxMB
28、,)(2集中力作用处剪力图有突变，变化值等集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小于集中力的大小弯矩图上无突变，但斜率发生突变，转弯矩图上无突变，但斜率发生突变，转折点折点在某一段上若无载荷作用，在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。图为一斜直线。x例例2 2 受均布载荷作用的简支梁，如下图所示，作梁受均布载荷作用的简支梁，如下图所示，作梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反力求支反力2qlFFByAy2.2.列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程lxqxqlqxFxFAy0,2)(SlxqxxqlxqxxFxMAy0,222
29、)(28,22maxmaxSqlMqlF 0,82,002lMqllMM 2,20SSqllFqlF在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于最大值发生于FS=0处。处。FAyFByMSF在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为突变值为,000mlamlbm而剪力图无改变。而剪力图无改变。例例3 3 如图示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。如图示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反力，由求支反力，由0,0BAmm2.2.求内力求内力
30、在在ACAC段内段内axlmFxFAy0,)(01SaxxlmxFxMAy0,)(01在在BCBC段内段内lmFFByAy0得得lxalmFxFBy,)(02S lxaxllmxlFxMBy,)(023.3.画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图FAyFBySFM注意注意 x取值范围的取法取值范围的取法：1.1.若载荷为集中力若载荷为集中力(剪力图中有突变剪力图中有突变)，剪力方程中，剪力方程中x x的取的取值没有等号；值没有等号；2.2.若载荷为集中力偶若载荷为集中力偶(弯矩图中有突变弯矩图中有突变)，弯矩方程中，弯矩方程中x x的取的取值没有等号；值没有等号；3.3.对于某一截面，在无限接近的范
31、围内，左右相等才对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等才有有“”,即剪力图和弯矩图为连续时才有等号。即剪力图和弯矩图为连续时才有等号。(0 xa),(axl)(0 xl)v集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为拐点。突变，弯矩图上为拐点。v在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。矩图为一斜直线。v在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯
32、矩弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于最大值发生于FS=0处。处。v在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小，而剪力图无改变。该集中力偶的大小，而剪力图无改变。总结2-6 2-6 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系载荷集度、剪力与弯矩之间的关系规定：分布载荷以向上为正。规定：分布载荷以向上为正。解：考虑解：考虑dx段的平衡段的平衡0d)()(d)()(,0SSSxxqxFxFxFFy02dd)(d)()(d)(,0)(SxxqxMxMxMxxFFMO上式再对上式再对x一次微分，得一次微分，得)()(xFdxxdMS)()(22xqd
33、xxMd)()(dSxqdxxF 以上三式给出了以上三式给出了q(x)、FS(x)、M(x)间的导数关系间的导数关系。)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM利用导数关系，经过积分得利用导数关系，经过积分得 211S2SxxdxxqxFxF 21S12xxdxxFxMxM 以上两式表明，在以上两式表明，在x=x2 2和和x=x1 1两截面上的剪力之差，两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。于两截面间剪力图的面积。梁段上无荷载作用，即梁段上无荷载作用，即 q(x
34、)0时，时，)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM剪力剪力FS(x)=C(常数）常数）xFS(x)oxoM(x)弯矩弯矩M(x)C C x D D,即弯矩为即弯矩为x的一次函数，的一次函数，xFS(x)oq(x)、FS(x)、M(x)图之间的关系图之间的关系xoM(x)剪力剪力FS(x)为为x的一次函数的一次函数而弯矩而弯矩M(x)为为x的二次函数的二次函数 若若q(x)=常数，常数，)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMxFS(x)oxFS(x)oxoM(x)xoM(x)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(
35、d)(d22xqxxM若某截面的剪力若某截面的剪力 ，根据根据该截面的弯矩为极值。该截面的弯矩为极值。0)(xFS0)(dxxdM图SFBFAF在集中力在集中力F作用处，剪力图有突变作用处，剪力图有突变,突突变值等于集中力变值等于集中力F 的大小，弯矩图为拐的大小，弯矩图为拐点可能出现剪力和弯矩的极值；在集中点可能出现剪力和弯矩的极值；在集中力偶力偶M作用处，剪力图不变，弯矩图有作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变值等于力偶矩突变，突变值等于力偶矩M，弯矩可能，弯矩可能是极值是极值。Mmax出现的地方：剪力出现的地方：剪力FS=0的截面；集中力的截面；集中力F作作用处；集中力偶用处；集中力偶
36、M作用处。作用处。FSmax出现的地方：集中力出现的地方：集中力F作用处；支座处；作用处；支座处；)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置表表 2-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC上凸的二次上凸的二次抛物线抛物线在在FS=0的截面的截面一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变F在在C处有尖角处有尖角或或在剪
37、力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面向右下倾斜向右下倾斜的直线的直线 水平直线水平直线 图SFBFAF利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：骤如下：1 1求支座反力；求支座反力；2 2分段确定剪力图和弯矩图的形状；分段确定剪力图和弯矩图的形状；3 3求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和
38、弯矩求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；图；4 4确定确定 和和 。maxSFmaxM简便法做剪力图、弯矩图简便法做剪力图、弯矩图例例1 1 如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反力求支反力kN25kN,35BAFF2.2.画剪力图画剪力图在在AC段，段，q=0，该段剪力图，该段剪力图(-)(-)在在AB段，段，q=C0，该段剪力图，该段剪力图()()在在A点，因有反力点，因有反力FA，剪力图有突，剪力图有突 变，突变值为变，突变值为=FA。3.3.画弯矩图画弯矩图在在CA段，段，q=0，FS0，弯矩图，弯矩图()(
39、)；在在AB段，段，q=C0,弯矩图弯矩图()()；在；在FS=0的截面处，的截面处，M图取极值；图取极值；在在A点，因有力偶点，因有力偶m，弯矩图有突，弯矩图有突 变，突变值为变，突变值为=m 。图SFBFAFm.kN25.310m5.2maxSMFx处，例例2 2 如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。4243442434例例3 3 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。矩图。252312224398252312224398252312224398。2,qaMqaFe已知已知从内力图看，组合从内力图看，组合梁
40、与普通梁并无区梁与普通梁并无区别，但由于铰链不别，但由于铰链不能传递力偶（不能能传递力偶（不能限制相对转动），限制相对转动），故铰链处截面的弯故铰链处截面的弯矩等于零矩等于零例例4 4 已知简支梁的剪力图如图所示。作梁的弯矩图和荷载已知简支梁的剪力图如图所示。作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。图。已知梁上没有集中力偶作用。18kN2kN14kN3m3m6mABCDP=20kNq=2kN/m54kN.m48kN.mMFsEXEX 已知外伸梁的剪力图和弯矩图，已知外伸梁的剪力图和弯矩图，试作出梁的荷载图。试作出梁的荷载图。1.8kN.m3kN1.2kN.m1.25kN.m5kN2.4
41、kN.m7kN0.5m0.6m0.6m1.2mABCD做做看做做看FsM按叠加原理与数值法计算弯矩按叠加原理与数值法计算弯矩叠加原理：在线弹性、小变形叠加原理：在线弹性、小变形范围内，由几个外力共同作范围内，由几个外力共同作用时所引起的某一参数（用时所引起的某一参数（内力、应力、位移内力、应力、位移），等于每个），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的叠加。外力单独作用时所引起的该参数值的叠加。当梁上有几个载荷共同作用时，可以按叠加原理采用当梁上有几个载荷共同作用时，可以按叠加原理采用数值方法编制出计算程序来计算梁的弯矩：在梁上选取等数值方法编制出计算程序来计算梁的弯矩：在梁上选取等间距的个
42、横截面，首先分别计算每一个载荷在第一个截间距的个横截面，首先分别计算每一个载荷在第一个截面上引起的弯矩，然后叠加起来即得该截面上的弯矩值。面上引起的弯矩，然后叠加起来即得该截面上的弯矩值。按照同样的方法，依次计算第、按照同样的方法，依次计算第、个横截面弯、个横截面弯矩值。上述过程可以在计算机上实现。在计算机上，不仅矩值。上述过程可以在计算机上实现。在计算机上，不仅可以计算出梁有限个截面上的弯矩值，而且可以打印出弯可以计算出梁有限个截面上的弯矩值，而且可以打印出弯矩值沿着梁长度变化的图形。当然，这时所求得的弯矩不矩值沿着梁长度变化的图形。当然，这时所求得的弯矩不是连续变量的连续函数，而是离散变量
43、的离散函数是连续变量的连续函数，而是离散变量的离散函数(x)。数值计算方法是工程中常用的方法。有许多成熟的商。数值计算方法是工程中常用的方法。有许多成熟的商业计算软件，如业计算软件，如ANSYS,ADINA等等。等等。2-7 2-7 平面刚架与平面曲杆的弯曲内力平面刚架与平面曲杆的弯曲内力刚架刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。称为刚架。一一.平面刚架平面刚架2-7 2-7 平面刚架与平面曲杆的弯曲内力平面刚架与平面曲杆的弯曲内力刚架刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。称
44、为刚架。一一.平面刚架平面刚架平面刚架平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。端相互刚性连接而组成的结构。各杆连接处称为各杆连接处称为刚节点刚节点。刚架变形时，刚节点处各。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。（弯矩不变）杆轴线之间的夹角保持不变。（弯矩不变）静定刚架静定刚架:凡未凡未知反力和内力能知反力和内力能由静力学平衡条由静力学平衡条件确定的刚架。件确定的刚架。静不定刚架静不定刚架 平面刚架的内力平面刚架的内力:剪力、剪力、弯矩、轴力弯矩、轴力弯矩图弯矩图：画在各杆的受：画在各杆的受压一侧，不注明正、负
45、压一侧，不注明正、负号。号。剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画：可画在刚架轴线的任一侧在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外（通常正值画在刚架外侧），注明正负号。侧），注明正负号。当载荷作用在包含轴线当载荷作用在包含轴线的平面内，平面刚架的的平面内，平面刚架的变形？变形？如何判断刚架内力的正负？如何判断刚架内力的正负？-+-+-+-人站在刚架内人站在刚架内部观察，内力部观察，内力符号规定和以符号规定和以前一样前一样？上上上上上上上上下下下下下下下下例例1 1 试绘出如图所示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图试绘出如图所示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图 对对C CA段距右端为段距右端为x1的截面的截面)
46、0(111axFxxM 01NxF FxF1S2图图图2图图图对对BA段距段距B端为端为x2的截面的截面)0(212222lxqxFaxMFxF2N22SqxxF平面曲杆平面曲杆轴线为平面曲线的杆轴线为平面曲线的杆当载荷作用在包含轴线的平面内，曲杆将发当载荷作用在包含轴线的平面内，曲杆将发生弯曲变形，其横截面的内力分量一般有生弯曲变形，其横截面的内力分量一般有轴轴力、剪力、弯矩。力、剪力、弯矩。符号规定符号规定：引起拉伸变形的轴力为正：引起拉伸变形的轴力为正使轴线曲率增加的弯矩为正使轴线曲率增加的弯矩为正对所取杆段内任一点，若剪力对对所取杆段内任一点，若剪力对 该点之矩为顺时针转向，则剪力为正
47、该点之矩为顺时针转向，则剪力为正内力图内力图：根据内力方程做内力图，正的剪力：根据内力方程做内力图，正的剪力和轴力画在外侧，标注正负号；正的弯矩画和轴力画在外侧，标注正负号；正的弯矩画在受压一侧，不标正负号在受压一侧，不标正负号二二.平面曲杆平面曲杆解：用任意横截面取右段，解：用任意横截面取右段，cos)(,0SPFFt例例1 1 如图曲杆，轴线为如图曲杆，轴线为1/4圆弧，半径为圆弧，半径为R，受垂直向下的载，受垂直向下的载荷荷P的作用，试画出其内力图。的作用，试画出其内力图。sin)(,0PRMMCF Fsin)(,0NPFFnNFPR对于曲杆，内力的符号规定为：对于曲杆，内力的符号规定为
48、：引起拉伸变形的轴力为正；使轴引起拉伸变形的轴力为正；使轴线曲率增加（即外侧受拉）的弯线曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正；对所取杆段内任一点，矩为正；对所取杆段内任一点，若剪力对该点之力矩为顺时针转若剪力对该点之力矩为顺时针转向，则剪力为正。向，则剪力为正。2.12.1杆件内力的普遍情况杆件内力的普遍情况图2.17ZZyyxSzzSyyNxMMMMTMFFFFFF熟练掌握拉伸与压缩、扭转、弯曲变形的熟练掌握拉伸与压缩、扭转、弯曲变形的受力特点受力特点和和变形特点变形特点，内力的计算及画内力图内力的计算及画内力图熟练掌握熟练掌握简便法简便法画剪力和弯矩图画剪力和弯矩图掌握平面刚架的内力计算及画内力图掌握平面刚架的内力计算及画内力图重点及难点重点及难点
