1、第七章 三角形第7章三角形精练精析一、填空题1如果三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形是_三角形2已知ABC中，ADBC于D，AE为A的平分线，且B=35，C=65，则DAE的度数为_ 3三角形中最大的内角不能小于_，两个外角的和必大于_ 4三角形ABC中，A=40，顶点C处的外角为110，那么B_5锐角三角形任意两锐角的和必大于_6三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形为_ 三角形7在三角形ABC中，已知A80，B50，那么C的度数是 8已知A=B=3C，则A= 9已知，如图7-1，ACD130，AB，那么A的度数是 图7-1 图7-2 图7-3 10如图7-2，根据图
2、形填空：（1）AD是ABC中BAC的角平分线，则 （2）AE是ABC中线，则 （3）AF是ABC的高，则 9011如图7-3所示，图中有 个三角形， 个直角三角形12在四边形的四个外角中，最多有 个钝角，最多有 个锐角，最多有 个直角13四边形ABCD中，若A+B=C+D，若C=2D，则C 14一个多边形的每个外角都为30，则这个多边形的边数为 ；一个多边形的每个内角都为135，则这个多边形的边数为 15某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是 16若一个n边形的边数增加一倍
3、，则内角和将 17在一个顶点处，若此正n边形的内角和为 ，则此正多边形可以铺满地面18如图7-4，BCED于O，A=27，D=20，则B= ，ACB= 图7-4 图7-5 19如图7-5，由平面上五个点A、B、C、D、E连结而成，则A+B+C+D+E= 20以长度为5cm、7cm、9cm、13cm的线段中的三条为边，能够组成三角形的情况有 种，分别 是 二、选择题21已知三角形ABC的三个内角满足关系BC=3A，则此三角形（ ） A一定有一个内角为45 B一定有一个内角为60 C一定是直角三角形 D一定是钝角三角形22如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为（
4、）图7-6 A4：3：2 B3：2：4 C5：3：1 D3：1：523三角形中至少有一个内角大于或等于（ ） A45 B55 C60 D6524如图7-6，下列说法中错误的是（ ） A1不是三角形ABC的外角 BBA+B25如图7-7，C在AB的延长线上，CEAF于E，交FB于D，若F=40，C=20，则FBA的度数为（ ）图7-7 A50 B60 C70 D8026下列叙述中错误的一项是（ ） A三角形的中线、角平分线、高都是线段 B三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部 C只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形 D三角形的三条角平分线都在三角形内部27下列长度的三条线段中，能组
5、成三角形的是（ ） A1，5，7 B3，4，7 C7，4，1 D5，5，528如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（ ） A1 B9 C3 D1029三条线段a5，b3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（ ） A1个 B3个 C5个 D无数个30四边形的四个内角可以都是（）A锐角 B直角C钝角 D以上答案都不对31下列判断中正确的是（ ）A四边形的外角和大于内角和B若多边形边数从3增加到n（n为大于3的自然数），它们外角和的度数不变C一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多D一个多边形的内角和为188032一个五边形有三个角是直角，另两个角都等于n，则n的值为（ ）A
6、108 B125 C135 D15033多边形每一个内角都等于150，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（）A7条 B8条 C9条 D10条图7-9 图7-10 图7-1134如图7-9，三角形ABC中，D为BC上的一点，且SABD=SADC，则AD为（ ）A高 B角平分线C中线 D不能确定35如图7-10，已知12，则AH必为三角形ABC的（ ）A角平分线 B中线 C一角的平分线 D角平分线所在射线36现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D 437如图7-11，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分别交A
7、B、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（ ） 图7-12 38如图7-12，在三角形ABC中，12，G为AD的中点，延长BG交AC于EF为AB上的一点，CFAD于H下列判断正确的有（ ）（1）AD是三角形ABE的角平分线（2）BE是三角形ABD边AD上的中线（3）CH为三角形ACD边AD上的高A1个 B2个 C3个 D0个三、解答题39如图，在三角形ABC中，BC，D是BC上一点，且FDBC，DEAB，AFD140，你能求出EDF的度数吗？ 40如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏
8、西52方向，乙岛在丁岛的南偏东40方向那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？ 41如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IHBC于H，试比较CIH和BID的大小 42如图，在三角形ABC中，ADBC，BEAC，CFAB，BC=16，AD3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？ 43如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？ 44已知等腰三角形的周长是16cm（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长； （2）若其中一边长为6cm，求另外两边长； （3）若三边长都是整数，求三角形各边的长45如
9、图，四边形ABCD中，AC=90，BE平分ABC，DF平分ADC，试问BE与DF平行吗？为什么？46某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？47把边长为2cm的正方形剪成四个一样的直角三角形，如图所示请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形：（1）不是正方形的菱形；（2）不是正方形的长方形；（3）梯形；（4）不是长方形、菱形的的平行四边形48下面是数学课堂的一个学习片段， 阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后， 张老师请同学们交流讨论这样一个问题“已知等腰三角形AB
10、C的角A等于30， 请你求出其余两角”同学们经过片刻的思考与交流后， 李明同学举手说: “其余两角是30和120”；王华同学说：“其余两角是75和75” 还有一些同学也提出了自己的看法（1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么？（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示）49如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120，边长AB2cm，BC=8cm，CD11cm，DE6cm，你能求出这个六边形的周长吗？参考解析：一、填空题1 直角2 153 60，180 4 705 90 6锐角7C1808050508设A的度数为x则B2x，Cx 所以x2xx180，解得x54 所以A
11、549ABACD6510（1）BAD，CAD，BAC； （2）BE，CE，BC； （3）AFB，AFC11解：有5个三角形，分别是ABD，ADE，CDE，ADC，ABC；有4个直角三角形，分别是ABD， ADE，CDE，ADC123，2，4 13120 1412，815正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形中任选两种即可16增加（n4）18017360或720或18018解：因为BEDAD=47， 所以B180904743 所以BCD274370 所以ACB1807011019解：连结BC，如图， 则DBCECBD+E 所以A+B+C+D+EA+B+C+DBCECB1802
12、0解：有3种分别以长为5cm，7cm，9cm；7cm，9cm13cm；5cm，9cm，13cm的线段为边能组成三角形二、选择题21A 22C 23C 24D 25C 26C 27D 28C 29C 30B 31B 32C 33C34C（点拨：可能会错选A或B有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选B其实，因为ABD与ACD同高h，又SABD=SADC，即BDh=CDh，所以，BD=CD，由此可知，AD为三角形ABC中BC边的中线）35D（点拨：可能会错选A或选C错选A的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件；而错选C的同学
13、，实质上与错选A的同学犯的是同一个错误，显然这里“角平分线”与“一角的平分线”是一个意思，因为前提条件是说“AH必为三角形ABC的”）36A（点拨：由三角形的三边关系知：若长度分别为2cm、4cm、6cm，不可以组成三角形；若长度分别为4cm、6cm、8cm，则可以组成三角形；若长度分别为2cm、4cm、8cm，则不可以组成三角形；若长度分别为2cm、6cm、8cm，则不可以组成三角形即分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为1，故应选A）37C（点拨：因为EGAD，交点为H，AD平分BAC，所以在直角三角形AHE中，190，在三角形ABC中，易知BAC1
14、80（23）， 所以190180（23）=（3+2） 又因为1是三角形EBG的外角，所以12G 所以G12（3+2）2（32）38A（点拨：由12，知AD平分BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2）不正确；由于CHAD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确应选A）三、解答题39解析：要想求EDF的度数，我们可以利用平角定义，只要能求出EDB即可而EDB在三角形BDE中，只要能求出B就可以利用三角形内角和求EDB而B又等于C，题中告诉了三角形DFC的一个外角AFD140，所以我们能
15、得出C的度数 解：因为AFD是三角形DCF的一个外角 所以AFD=C+FDC 即140C90 解得C50 所以BC50 所以EDB180905040 所以FDE18090405040解析：我们可以用字母代替甲、乙、丙、丁，用角度代表方向把题中数据与图形一一对应，利用各方向的关系可求出丁岛分别在甲岛和乙岛的方向 解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C如图： 因为丁岛在丙岛的正北方， 所以CDAB 因为甲岛在丁岛的南偏西52方向， 所以ACD52 所以CAD180-90-5238 所以丁岛在甲岛的东偏北38方向 因为乙岛在丁岛的南偏东40方向， 所以BCD=4
16、0 所以CBD180-90-4050 所以丁岛在乙岛的西偏北50方向41解析：利用角平分线的性质解解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线， 所以BAD=BAC，ABI=ABC，HCI=ACB 所以BADABI+HCI=BAC+ABC+ACB（BAC+ABC+ACB）18090 所以BADABI90HCI 又因为BADABIBID，90HCICIH， 所以BIDCIH 所以BID和CIH是相等的关系42解析：本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三边相加即可得到三角形的周长 解：由三角形面积公式可得SABCBCADACBE，即1634AC，所以AC12 由
17、三角形面积公式可得SABCBCADABCF，即1636AB 所以AB8 所以三角形ABC的周长为16+12+83643解析：本题要求AC与AB的边长的差，且AC与AB的长度都不知道，不少同学感到无从下手其实，只要我们仔细分析分析题中条件：三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，即AC-AB+CD-BD=5，又AD是BC边上的中线，所以BD=CD所以AC-AB=5 解：AC-AB=544解析：在第（1）和第（2）问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论在第（3）问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm，我们可以用列表法一一列出各组边
18、长 解：（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-48cm三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理所以应该是底边长为4cm所以腰长为（16-4）26cm三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm （2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-64cm三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理所以另外两边长分别为6cm和4cm 如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）25cm三边长为6cm，5cm，5cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm （3）因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且
19、是等腰三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下： 7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况45解析：要想BE与DF平行，就要找平行的条件题中只给出了AC=90，BE平分ABC，DF平分ADC那么我们是利用同位角相等呢还是利用同旁内角互补？经过仔细观察图形我们知道BFD是三角形ADF的外角，则BFDA+ADF而ADF是ADC的一半，ABE是ABC的一半，所以我们选择用同旁内角互补来证平行 解：BE与DF平行理由如下： 由n边形内角和公式可得四边形内角和为（4-2）180360 因为AC=90， 所以ADC+ABC=180 因为BE平分ABC，DF平分
20、ADC， 所以ADFADC，ABEABC 因为BFD是三角形ADF的外角， 所以BFDA+ADF 所以BFDABEA+ADCABCA+（ADC+ABC）9090180 所以BE与DF平行46解析：我们发现1125不能被180整除，所以老师说少加了一个角的度数我们可设少加的度数为x，利用整除求解 解：设少加的度数为x 则11251807-135 因为0x180， 所以x135 所以此多边形的内角和为1125+1351260 设多边形的边数为n， 则（n2）1801260，解得n9 所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是13547解析：题中告诉了我们按要求拼成 解：如图： 48解析：本题首先
21、要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30”这个不确定条件进行分析研究当A是顶角时，设底角是，30+=180， =75，其余两底角是75和75当A是底角时，设顶角是，30+30+=180， =120，其余两角是30和120由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误 对于第（2）问应在第（1）问的解答的基础上，可总结出“根据图形位置关系，实施分类讨论思想方法解多解型问题”，“考虑问题要全面”等小结：三角形的中线、角平分线、高（线）是三角形中三条十分重要的线段，初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵，而出现
22、这样或那样的错误，现举例分析如下，以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的49解析：要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长由六边形ABCDEF的六个角都是120，可知六边形的每一个外角的度数都是60，如图4，如果延长BA，得到的PAF=60，延长EF，得到的PFA=60，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，P的度数为180606060，因此三角形APF是等边三角形同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形所以P=G=H=60所以三角形GHP也是等边三角形于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形
23、DHE、三角形GHP四个等边三角形于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P因为六边形ABCDEF的六个角都是120，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形所以GC=BC=8cm，DH=DE6cm所以GH=811625cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-815cm，EF=PH-PF-EH=25-15-64cm所以六边形的周长为28+11+
24、6+4+1546cm7.3 多边形及其内角和一、选择题:(每小题3分,共24分)1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )毛 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.不能作为正多边形的内角的度数的是( ) A.120 B.(128) C.144 D.1453.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( ) A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:44.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( ) A.都是钝角; B.都是锐角 C.是一个锐角、一个钝角 D.是
25、一个锐角、一个直角6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( ) A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570,则这个内角的度数为( ) A.90 B.105 C.130 D.120二、填空题:(每小题3分,共15分)1.多边形的内角中,最多有_个直角.2.从n边形的一个顶点出发,最多可以引_条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成_个三角形.3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135, 那么
26、这个多边形的边数最少为_.4.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_.5.每个内角都为144的多边形为_边形.三、基础训练:(每小题12分,共24分)1.如图所示,用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到20层(n=20)时,需要多少根火柴?2.一个多边形的每一个外角都等于24,求这个多边形的边数.四、提高训练:(共15分)一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.五、探索发现:(共18分) 从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少
27、条条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.六、中考题与竞赛题:(共4分) (2002湖南)若一个多边形的内角和等于1080,则这个多边形的边数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6答案:一、1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C 二、1.4 2.(n-3) (n-2) 3.9 4.11 5.十三、1.630根 2.15四、边数为,n=1或2.五、(n-3) 条六、B.毛多边形练习题一、判断题1当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加（ ） 2当多边形边数增加时它的外角和也随着增加（ ）3三角形的外角和与一多边形的外角和相等（ ） 4从n边形一个顶点出发，可以引出
28、（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形（ ） 5四边形的四个内角至少有一个角不小于直角（ ）二、填空题 1一个多边形的每一个外角都等于30，则这个多边形为 边形 2一个多边形的每个内角都等于135，则这个多边形为 边形 3内角和等于外角和的多边形是 边形 4内角和为1440的多边形是 5一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100，最大的是140，那么这个多边形是 边形 6若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形7五边形的对角线有 条，它们内角和为 8一个多边形的内角和为4320，则它的边数为 9多边形每个内角都相等，内角和为720，则它的每
29、一个外角为 10四边形的A、B、C、D的外角之比为1：2：3：4，那么A：B：C：D= 11四边形的四个内角中，直角最多有 个，钝角最多有 个， 锐角最多有 个12如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 三、选择题 1多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ） A互为余角 B互为邻补角 C两个角相等 D外角大于内角2若n边形每个内角都等于150，那么这个n边形是（ ） A九边形 B十边形 C十一边形 D十二边形 3一个多边形的内角和为720，那么这个多边形的对角线条数为（ ）A6条 B7条 C8条 D9条 4随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）A增加 B减
30、小 C不变 D不定 5若多边形的外角和等于内角和的和，它的边数是（ ） A3 B4 C5 D7 6一个多边形的内角和是1800，那么这个多边形是（ ）A五边形 B八边形 C十边形 D十二边形 7一个多边形每个内角为108，则这个多边形（ ）A四边形 B，五边形 C六边形 D七边形 8，一个多边形每个外角都是60，这个多边形的外角和为（ ） A180 B360 C720 D1080 9n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个A1个 B2个 C3个 D4个 10多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）A八边形 B九边形 C十边形 D，十一边形四、解答题 1一个多边形少一个内角的度数和为2300 （1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数2一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？3已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数4若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数5多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600，求这个多边形的边数6n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n7五边形ABCDE的各内角都相等，且AEDE，ADCB吗？8将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？ 9四边形ABCD中，A+B=210，C4D求：C或D的度数10在四边形ABCD中，ABACAD，DAC2BAC求证：DBC2BDC
