1、九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案一、圆的综合1如图，点A、B、C分别是O上的点， CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC（1）若B=60，求证：AP是O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BEAB的值【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）求出ADC的度数，求出P、ACO、OAC度数，求出OAP=90，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出DBE和ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案试题解析：连接AD，OA，ADC=B，B=60，ADC=60，CD是直径，DAC=90，ACO=180-90-60=30，AP=AC
2、，OA=OC，OAC=ACD=30，P=ACD=30，OAP=180-30-30-30=90，即OAAP，OA为半径，AP是O切线（2）连接AD，BD，CD是直径，DBC=90，CD=4，B为弧CD中点，BD=BC=，BDC=BCD=45，DAB=DCB=45，即BDE=DAB，DBE=DBA，DBEABD，BEAB=BDBD=考点：1切线的判定；2相似三角形的判定与性质2如图，在O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED（1）求证：DE是O的切线；（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆
3、O的半径【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3【解析】试题分析：（1）先判断出OCF+CFO=90，再判断出OCF=ODF，即可得出结论；（2）先判断出BDE=A，进而得出EBDEDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论试题解析：（1）证明：连结OD，如图EF=ED，EFD=EDFEFD=CFO，CFO=EDFOCOF，OCF+CFO=90OC=OD，OCF=ODF，ODC+EDF=90，即ODE=90，ODDE点D在O上，DE是O的切线；（2）线段AB
4、、BE之间的数量关系为：AB=3BE证明如下：AB为O直径，ADB=90，ADO=BDEOA=OD，ADO=A，BDE=A，而BED=DEA，EBDEDA，RtABD中，tanA=，=，AE=2DE，DE=2BE，AE=4BE，AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=xOF=1，OE=1+2x在RtODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，x=（舍）或x=2，圆O的半径为3点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出EBDEDA是解答本题的关键3如图，四边形A
5、BCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF（1）求证：DF是O的切线；（2）若DB平分ADC，AB=DE=41，求DE的长【答案】(1)见解析;(2) 【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出FDO=FCO=90，得出答案即可； （2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用ADCACE，得出AC2=ADAE，进而得出答案详解：（1）连接OD OD=CD，ODC=OCD AC为O的直径，ADC=EDC=90 点F为CE的中点，DF=CF=EF，FDC=FCD，FDO=FCO 又ACCE，FD
6、O=FCO=90，DF是O的切线 （2）AC为O的直径，ADC=ABC=90 DB平分ADC，ADB=CDB，=，BC=AB=5在RtABC中，AC2=AB2+BC2=100 又ACCE，ACE=90，ADCACE，=，AC2=ADAE设DE为x，由AD：DE=4：1，AD=4x，AE=5x，100=4x5x，x=，DE= 点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=ADAE是解题的关键4如图，CD为O的直径，点B在O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE交BC于点F.（1）求证：OEBD；（2）当O的半径为5，时，求EF的长.【答案】（
7、1）证明见解析；（2）EF的长为【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB， CD为O的直径 ， .AE是O的切线， . .OB、OC是O的半径，OB=OC. . .，. OEBD.（2）由（1）可得sinC= DBA= ，在Rt中, sinC =,OC=5，CBDEBO. .OEBD，CO=OD，CF=FB.5如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P（1）求证
8、：BF=EF：（2）求证：PA是O的切线；（3）若FG=BF，且O的半径长为3，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得BFCDGC且FECGAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到FAO=EBO，结合BE是圆的切线，得到PAOA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FHAD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度详解：证明：(1)BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，EBBC.又ADBC，ADBE.BFCDGC，F
9、ECGAC，=，=，=，G是AD的中点，DG=AG，BF=EF；(2)连接AO，AB.BC是圆O的直径，BAC=90，由(1)得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点，AF=FB=EF，可得FBA=FAB，又OA=OB，ABO=BAO，BE是圆O的切线，EBO=90，FBA+ABO=90，FAB+BAO=90，即FAO=90，PAOA，PA是圆O的切线；（3）过点F作FHAD于点H，BDAD，FHAD，FHBC，由(2)，知FBA=BAF，BF=AF.BF=FG，AF=FG，AFG是等腰三角形.FHAD，AH=GH，DG=AG，DG=2HG.即，FHBD，BFAD，FBD=90，四边形BDHF是
10、矩形，BD=FH，FHBCHFGDCG，即，O的半径长为3，BC=6，BD=2.点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交O于点F，A=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2 =0的两根（k为常数）（1）求证：PABD=PBAE；（2）求证：O的直径长为常数k；（3）求tanFPA的值【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tanFPA=2 .【解析】试题分析：（1）由PB切
11、O于点B，根据弦切角定理，可得PBD=A，又由PF平分APB，可证得PBDPAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：O的直径长为常数k；（3）由A=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tanFPB的值，则可得tanFPA的值试题解析：（1）证明：如图，PB切O于点B，PBD=A，PF平分APB，APE=BPD，PBDPAE，PB：PA=BD：AE，PABD=P
12、BAE；（2）证明：如图，BED=A+EPA，BDE=PBD+BPD又PBD=A，EPA=BPD，BED=BDEBE=BD线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），AE+BD=k，AE+BD=AE+BE=AB=k，即O直径为常数k（3）PB切O于B点，AB为直径PBA=90A=60PB=PAsin60=PA，又PABD=PBAE，BD=AE，线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数）AEBD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在RtPBA中，PB=ABtan60=（2+）=3+2在RtPBE
13、中，tanBPF=2，FPA=BPF，tanFPA=2【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用7如图，AN是M的直径，NBx轴，AB交M于点C（1）若点A（0，6），N（0，2），ABN=30，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线【答案】(1) B（，2）(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在RtABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC只要证明MCD=90即可试题解析：（1）A的坐标为（0，6），N（0，2），AN=4，ABN=30
14、，ANB=90，AB=2AN=8，由勾股定理可知：NB=，B（，2）（2）连接MC，NC AN是M的直径，ACN=90，NCB=90，在RtNCB中，D为NB的中点，CD=NB=ND，CND=NCD，MC=MN，MCN=MNC，MNC+CND=90，MCN+NCD=90，即MCCD直线CD是M的切线考点：切线的判定；坐标与图形性质8如图，AB是O的直径，弦BCOB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G（1）求DGE的度数；（2）若，求的值；（3）记CFB，DGO的面积分别为S1，S2，若k，求的值（用含k的式子表示）【答案】(1)DGE60；(2)；(3)=.【解
15、析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得DGE的度数；（2）过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得FGOFCB，进而求得的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值【详解】解：(1)BCOBOC，COB60，CDBCOB30，OCOD，点E为CD中点，OECD，GED90，DGE60；(2)过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3COB60OHOF1，HFOH，HBOBOH2，在RtBHF中，BF，由OCOB，COB60得：OCB60，又OGB
16、DGE60，OGBOCB，OFGCFB，FGOFCB，GF=，=.(3)过点F作FHAB于点H，设OF1，则CFk，OBOCk+1，COB60，OHOF=，HF，HBOBOHk+，在RtBHF中，BF，由(2)得：FGOFCB，即，GO，过点C作CPBD于点PCDB30PCCD，点E是CD中点，DECD，PCDE，DEOE，= 【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答9在中，为直径，C为上一点.（）如图，过点C作的切线，与的延长线相交于点P，若，求的大小；（）如图，D为弧的中点，连接交于点E，连接并延长，与的延长线相交于
17、点P，若，求的大小.【答案】（1）P34；（2）P27【解析】【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得A的度数，然后由圆周角定理，求得POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以ODAC，继而求得答案【详解】（1）连接OC，OAOC，AOCA28，POC56，CP是O的切线，OCP90，P34；（2）D为弧AC的中点，OD为半径，ODAC，CAB12，AOE78，DCA39，PDCACAB，P27【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键10如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为
18、1cm/s，若，点O到AC的距离为4cm（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，APC是等腰三角形【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或s时，APC是等腰三角形；【解析】【分析】（1）过O作ODAC于D，根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.【详解】（1）如图1，过O作ODAC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，AC=2AD=6；（2）设经过t秒APC是等腰三角形，则AP=10t如图2，若AC=PC，过点C作CHAB于H，A=A，AHC=ODA=90，AHCADO，AC：AH=OA：AD，即AC：
19、 =5：3，解得t=s，经过s后APC是等腰三角形；如图3，若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10x，又AC=6，则10t=6，解得t=4s，经过4s后APC是等腰三角形；如图4，若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，经过5s后APC是等腰三角形综上可知当t=4或5或s时，APC是等腰三角形【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况11如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且PDA=PBD延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为O的切线，并说明理由；(2)如果BE
20、D=60，PD=，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得ADB=90，进而求得ADO+PDA=90，即可得出直线PD为O的切线；（2）根据BE是O的切线，则EBA=90，即可求得P=30，再由PD为O的切线，得PDO=90，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得ADF=PDA=PBD=ABF，由AB是圆O的直径，得ADB=90，设PBD=x，则可表示出DAF=PAD=90
21、+x，DBF=2x，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出BDE是等边三角形进而证出四边形DFBE为菱形【详解】（1）直线PD为O的切线，理由如下：如图1，连接OD，AB是圆O的直径，ADB=90，ADO+BDO=90，又DO=BO，BDO=PBD，PDA=PBD，BDO=PDA，ADO+PDA=90，即PDOD，点D在O上，直线PD为O的切线；（2）BE是O的切线，EBA=90，BED=60，P=30，PD为O的切线，PDO=90，在RtPDO中，P=30，PD=，解得OD=1，=2，PA=POAO=21=1；（3）如图2，依题意得：ADF=PDA，PAD=DAF，PDA=PBDADF=AB
22、F，ADF=PDA=PBD=ABF，AB是圆O的直径，ADB=90，设PBD=x，则DAF=PAD=90+x，DBF=2x，四边形AFBD内接于O，DAF+DBF=180，即90+x+2x=180，解得x=30，ADF=PDA=PBD=ABF=30，BE、ED是O的切线，DE=BE，EBA=90，DBE=60，BDE是等边三角形，BD=DE=BE，又FDB=ADBADF=9030=60DBF=2x=60，BDF是等边三角形，BD=DF=BF，DE=BE=DF=BF，四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大12如图1
23、，等腰直角ABC中，ACB=90，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC于点E，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长（2）如图2，连结CD，若CE=3，ACD的面积为10，求tanBCD（3）如图3，在圆上取点P使得PCD=BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D是CPF的内心请你画出CPF，说明画图过程并求CDF的度数设PC=a，PF=b，PD=c，若（a-c）（b-c）=8，求CPF的内切圆半径长【答案】（1）DE=1，CE=；（2）tanBCD= ；（3）135；2.【解析】【分析】（1）由A、C、E、D四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找BDF与ODA
24、为对顶角，在O中，COD=2CAD，证明OCD为等腰直角三角形，从而得到EDC+ODA=45，即可证明CDF=135；（3）过点D做于点H，以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做切线PF交CB的延长线于点F，结合圆周角定理得出CPD=CAD=45，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出CPF=90，然后根据角平分线性质得出，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明DCF+CFD=45，从而证明CPF是直角，再求证四边形PKDN是正方形，最后以PCF面积不变性建立等量关系，结合已知（a-c）（b-c）=8，消去字母a，b求出c值，即求出CPF的内切圆半径长为c【详解】（1）由图可知：设
25、BC=x在RtABC中，AC=BC由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，AB=AD+BD，AD=7，BD=1，x2+x2=82，解得：x=O内接四边形，ACD=90，ADE=90，EDB=90，B=45，BDE是等腰直角三形DE=DB，又DB=1，DE=1，又CE=BC-BE，CE=（2）如图所示：在DCB中过点D作DMBE，设BE=y，则DM=y，又CE=3，BC=3+y，SACB=SACD+SDCB，解得：y=2或y=-11（舍去）EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又BCD=MCD，tanBCD=tanMCD，在RtDCM中，tanMCD=，tanBCD=（3）如下图所示：过点D做于
26、点H，以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做切线PF交CB的延长线于点FCAD=45，CPD=CAD=45，又点D是的内心，PD、CD、DF都是角平分线，FPD=CPD =45，PCD=DCF，PFD=CFDCPF=90PCF+PFC=90CDF=180-DCF-CFD F=90+45=135，即CDF的度数为135如下图所示过点D分别作DKPC，DMCF，DNPF于直线PC，CF和PF于点K，M，N三点，设PCF内切圆的半径为m，则DN=m，点D是PCF的内心，DM=DN=DK，又DCF+CFD+FDC=180，FDC=45，DCF+CFD=45，又DC，DF分别是PCF和PFC的角平分线，P
27、CF=2DCF，PFC=2DFC，PCF+PFC=90，CPF=90在四边形PKDN中，PND=NPK=PKD=90，四边形PKDN是矩形，又KD=ND，四边形PKDN是正方形又MBD=BDM=45，BDM=KDP，KDP=45PC=a，PF=b，PD=c，PN=PK=，NF=，CK=，又CK=CM，FM=FN，CF=CM+FM，CF=，又SPCF=SPDF+SPDC+SDCF，c），化简得：ab=-（），又若（a-c）（b-c）=8化简得：-（），将（）代入（）得：c2=8，解得：，或（舍去），m=，即CPF的内切圆半径长为2【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧
28、（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求CPF的内切圆半径长13如图,在RtABC中,ACB=60,O是ABC的外接圆,BC是O的直径,过点B作O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是O的切线;(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）过O作OMEF于M,根据SA
29、S证明OAFOBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分BEF，从而得到结论;（2）存在，先证明OAC为等边三角形，从而得出OAC=AOC=60,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.【详解】(1)证明:如图,过O作OMEF于M,OA=OB,OAF=OBE=90,BOE=AOF,OAFOBE,OE=OF, EOF=AOB=120,OEM=OFM=30,OEB=OEM=30,即EO平分BEF, 又OBE=OME=90,OM=OB,EF为O的切线. (2)存在.BC为O的直径,BAC=90,ACB=60,ABC=30, 又ACB=60,OA=OC,OAC为等边三角形,即OAC
30、=AOC=60,AF为O的切线,OAF=90,CAF=AFC=30,ABC=AFC,AB=AF. 当点P在(1)中的点M位置时,此时OPF=90,OAF=OPF=90,又OA=OP,OF为公共边,OAFOPF,AF=PF,BFE=AFC=30. 又FOP=OBP=OPB=30,BP=FP,AB=AF=FP=BP,四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可14如图，已知等边ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DFAC，垂足
31、为F，过点F作FGAB，垂足为G，连结GD（1）求证：DF是O的切线；（2）求FG的长；（3）求tanFGD的值【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出A=B=C=60，根据OD=OB得到ODB=60，得到ODAC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据RtCDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据RtAFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DHAB，根据垂直得出FGDH，根据RtBDH求出BH、DH的长度，然后得出GDH的正切值，从而得到FGD的正切值.试题解析：(1)如图，连结OD， ABC为
32、等边三角形， CAB60，而ODOB， ODB是等边三角形，ODB60， ODBC，ODAC，DFAC，ODDF，DF是O的切线(2)ODAC，点O为AB的中点，OD为ABC的中位线，BDCD6.在RtCDF中，C60，CDF30，CFCD3，AFACCF1239 在RtAFG中，A60，FGAFsinA9(3)如图，过D作DHAB于H.FGAB，DHAB，FGDH，FGDGDH.在RtBDH中，B60，BDH30，BHBD3，DHBH3.tanGDH，tanFGDtanGDH考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.15结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答题目：如图，RtABC的内切圆与
33、斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求ABC的面积解：设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2整理，得x2+7x=12所以SABC=ACBC=（x+3）（x+4）=（x2+7x+12）=（12+12）=12小颖发现12恰好就是34，即ABC的面积等于AD与BD的积这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索已知：ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n可以一般化吗？（1）若C=90，求证：ABC的面积等于mn倒过来思考呢？（2）若ACBC=2mn，
34、求证C=90改变一下条件（3）若C=60，用m、n表示ABC的面积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）SABC=mn；【解析】【分析】（1）设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（xm）2（xn）2（mn）2，再根据SABCACBC，即可证明SABCmn.（2）由ACBC2mn，得x2（mn）xmn，因此AC2BC2（xm）2（xn）2AB2，利用勾股定理逆定理可得C90.（3）过点A作AGBC于点G，在RtACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BGBCCG得到BG .在RtABG中，根据勾股定理可得x2（mn）x3mn，由此SAB
35、CBCAGmn.【详解】设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AEADm、BFBDn、CFCEx，（1）如图1，在RtABC中，根据勾股定理，得：（xm）2（xn）2（mn）2，整理，得：x2（mn）xmn，所以SABCACBC（xm）（xn） x2（mn）xmn（mnmn）mn;（2）由ACBC2mn，得：（xm）（xn）2mn，整理，得：x2（mn）xmn，AC2BC2（xm）2（xn）22x2（mn）xm2n22mnm2n2（mn）2AB2，根据勾股定理逆定理可得C90；（3）如图2，过点A作AGBC于点G，在RtACG中，AGACsin60（xm），CGACcos60（xm），BGBCCG（xn）（xm），在RtABG中，根据勾股定理可得：（xm）2（xn）（xm）2（mn）2，整理，得：x2（mn）x3mn，SABCBCAG（xn）（xm） x2（mn）xmn（3mnmn）mn【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
