1、勾股定理 单元培优练习题一选择题1下列命题中，是假命题的是（）A有一个内角等于60的等腰三角形是等边三角形B在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半C在直角三角形中，最大边的平方等于其他两边的平方和D三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等2下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A4，5，6B1，1，C6，8，11D5，12，233如图，在ABC中，ACB90，AC8，AB10，CDAB于D，则CD的长是（）A6BCD4有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A3BC3或D以上都不对5如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，
2、其中AE5，BE12，则EF的长是（）A7B8C7D76在下列各组数中，是勾股数的是（）A1、2、3B2、3、4C3、4、5D4、5、67在同一平面上把三边BC3，AC4，AB5的三角形沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC的长等于（）ABCD8如图，ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D，则BD的长为（）ABCD9“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A9B6C
3、4D310从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（）mA2B4C6D811如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A9cmB8cmC7cmD6cm12若ABC的三边a、b、c满足（ab）2+|a2+b2c2|0，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形二填空题13直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是 cm14若ABC得三边a，b，c满足（ab）（a2+b2c2）0，则ABC的形状为 15
4、已知a，b是互质的正整数，且a+b，3a，a+4b恰为一直角三角形的三条边长，则a+b的值等于 16如图，在RtABC中，A90，ABAC4，点D为AC的中点，点E在边BC上，且EDBD，则CDE的面积是 17将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ， ， 18将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB20cm，则阴影部分的面积是 cm219三角形的三边长a，b，c满足2ab（a+b）2c2，则此三角形的形状是 三角形20若3，4，a和5，b，13是两组勾股
5、数，则a+b的值是 21如图，小正方形边长为1，则ABC中AC边上的高等于 22如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”若AB5，AE4，则正方形EFGH的面积为 三解答题23在ABC中，ACB90，AC5，ABBC+1，求RtABC的面积24如图，在ABD中，D90，C是BD上一点，已知BC9，AB17，AC10，求AD的长25操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c（如图），分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图的形状，图中的两个小正方形的面积S2、S3与图中小正方形的面积S1有什么关系？
6、你能得到a、b、c之间有什么关系？26观察下表 列举猜想3、4、5324+55、12、135212+137、24、257224+2513、b、c132b+c请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？27如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2c2；（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a2，b4时，求这个四边形的周长参考答案一选择题1解：A、等腰三角形底角相等，若底角为60，则顶角为180606060，若顶角为60，则底角为60，
7、所以有一个角为60的等腰三角形即为等边三角形，故A选项正确；B、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合，故B选项错误；C、在直角三角形中，最大的边为斜边，根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和，故C选项正确；D、过三角形角平分线的交点作各边的垂线，则三角形分成3对小三角形，其中各顶点所在的两个直角三角形全等，即过角平分线作的高线相等，故D选项正确；即B选项中命题为假命题，故选：B2解：A、42+5262，不能构成直角三角形，故A错误；B、12+12，能构成直角三角形，故B正确；C、62+82112，不能构成直角三角形，故C错误；D
8、、52+122232，不能构成直角三角形，故D错误故选：B3解：ACB90，AC8，AB10，BC6，ABC的面积ABCDACBC，即10CD86，解得，CD，故选：C4解：当长为4和5的两边都是直角边时，斜边是：；当长是5的边是斜边时，第三边是：3第三边长是：或3故选：C5解：AE5，BE12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长1257，EF；故选：C6解：A、12+22532，不是勾股数，故本选项不符合题意B、22+321342，不是勾股数，故本选项不符合题意C、32+4252，是勾股数，故本选项符合题意D、42+524162，不是勾股数，故本选项不符合题意故选：C7解：如图所示，
9、连接CC，根据对称的性质可知CCAB，且CC2CE，ACBCABCE，CE，CC2CE故选：D8解：如图所示：SABCBCAEBDAC，AE4，AC5，BC4即445BD，解得：BD故选：C9解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为： ab84，4ab+（ab）225，（ab）225169，ab3，故选：D10解：由题意得，在RtABC中，AC8，AB10，所以BC6故选：C11解：由题意，可得这只烧杯的直径是：6（cm）故选：D12解：（ab）2+|a2+b2c2|0，ab0，a2+b2c20，解得：ab，a2+b2c2，ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C二填
10、空题（共10小题）13解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，则该三角形的斜边的长为：5（cm）当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：（cm）故答案为：5或14解：（ab）（a2+b2c2）0，ab或a2+b2c2当只有ab成立时，是等腰三角形当只有第二个条件成立时：是直角三角形当两个条件都成立时：是等腰直角三角形15解：在直角三角形中，（1）若a+4b为斜边，则（a+4b）2（a+b）2+9a29a26ab15b20，（a+b）（3a5b）0a+b0，且a，b互质，a5，b3三条边长分别为8，15，17，a+b8（2）若3a为斜边
11、，则9a2（a+b）2+（a+4b）2，7a210ab17b20，（a+b）（7a17b）0a+b0，7a17b，a，b互质，a17，b7三条边长分别为24，45，51，a+b24综上得a+b8或a+b2416解：点D为AC的中点故ADDCAC2，SABDSBDCSABC12，由勾股定理得BC4，过D点作DF垂直于BC于F点，DF，BD2AD2+AB212+4860，BD2，由勾股定理得BF3，由射影定理得BD2BFBE，BECEBCBE4，SCDECEDF2故答案为：217解：符合a2+b2c2即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41（答案不唯一）18解：B30，ACB90，
12、AB20cm，AC10cmAEDACB90，BCED，AFCADE45，ACCF10cm故SACF101050（cm2）故答案为5019解：2ab（a+b）2c2，2aba2+2ab+b2c2，a2+b2c2，三角形的三边长a，b，c满足2ab（a+b）2c2，此三角形是直角三角形，故答案为：直角20解：3，4，a和5，b，13是两组勾股数，a5，b12，a+b17，故答案为：1721解：过B作BGAC，交AC于点G，在RtACF中，AF2，CF1，根据勾股定理得：AC，SABCS正方形AFEDSBCESABDSACF411221，SABCACBG，BG，则BG故答案为：22解：直角三角形直角
13、边的较短边为3，正方形EFGH的面积55432425241故答案为：1三解答题（共5小题）23解：如图所示：设ABx，则BCx1，故在RtACB中，AB2AC2+BC2，故x252+（x1）2，解得；x13，即AB13BC12，SABCACBC5123024解：设CDx，则BDBC+CD9+x在ACD中，D90，AD2AC2CD2，在ABD中，D90，AD2AB2BD2，AC2CD2AB2BD2，即102x2172（9+x）2，解得x6，AD21026264，AD8故AD的长为825解：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2、图3的形状，观察图2、图3可发现，图2中的两个小正方形的面积之和等于图3中的小正方形的面积，即S2+S3S1，这个结论用关系式可表示为a2+b2c226解：根据图表，由图可得规律：，解得所以b84；c85132+8427225，8527225，13，84，85是勾股数27解（1）由图可得：，整理得：，整理得：a2+b2c2；（2）当a2，b4时，根据勾股定理得：；如图1：则四边形的最大周长为2b+2c
