1、 绝密启用前绝密启用前 韶关市韶关市 2023 届高三综合测试（二）届高三综合测试（二）数数 学学 本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1若()i 11z=，则z=（）A1 B2 C3 D2 2若集合1Mxx=，3ln2Nx yx=，则MN=（）A02xx B312xx C312xx D312xx时，曲线 C 是焦距为4 1+的双曲线 B当1 时，曲线 C 是焦
2、距为4 1的双曲线 C曲线 C 不可能为圆 D当10 时，曲线 C 是焦距为4 1+的椭圆 10下列命题中，正确的是（）A已知随机变量 X 服从二项分布1,3B n，若()316EX+=，则5n=B已知随机变量 X 服从正态分布()21,N，若()40.7P X=，则()210.1PX，()0P B，()()|P B AP B=，则()()|P A BP A=D已知()12P A=，()23|P B A=，()14|P B A=，则()1724P B=11如图所示，正方体ABCDA B C D 的棱长为 1，E，F 分别是棱AA，CC的中点，过直线 EF 的平面分别与棱BB，DD交于点 M，N
3、，以下四个命题中正确的是（）A四边形 EMFN 一定为矩形 B平面EMFN 平面DBB D C四棱锥AMENP体积为16 D 四边形 MENF 的周长最小值为2 5 12已知()f x是周期为 4 的奇函数，且当02x时，(),012,12xxf xxx上存在一点 M，使得90PMQ=，则实数 a 的取值范围为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题 10 分）设等比数列 na的前 n 项和为nS，已知11nnaS+=+，*nN（1）求数列 na的通项公式；（2）设()(
4、)1nnnban=+，求数列 nb的前 2n 项和2nT 18（本小题 12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，E 为 AC 的中点，1AB=，2BC=，5AC=，点1B在底面上的射影为点 C（1）求证：1AB 平面1BEC；（2）若12 2BB=，求平面1BEC与平面11AEC A所成角的正弦值 19（本小题 12 分）在ABC中，2ABC=，2ABBC=，点 P 为ABC内一点（1）若32PAPB=（图 1），求PBC的面积；（2）若34APB=（图 2），求 PC 的最小值 20（本小题 12 分）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率
5、，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差 x（）4 7 8 9 14 12 新增感冒就诊人数 y(位)1y 2y 3y 4y 5y 6y 参考数据：6213463iiy=，()621289iiyy=（1）已知第一天新增感冒就诊的学生中有 4 位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随 机抽取 2 位，其中男生人数记为 X，若抽取的 2 人中至少有一位女生的概
6、率为56，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（2）已知两个变量 x 与 y 之间的样本相关系数1617r=，请用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程ybxa=+，据此估计昼夜温差为 15时，该校新增感冒就诊的学生人数 参考公式：()()()121niiiniixxyybxx=，()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy=21（本小题 12 分）已知双曲线 C：()222210 xybab=的左右焦点为1F，2F，经过 F 的圆 O（O 为坐标原点）交双曲线 C 的左支于 M，N，且OMN为正三角形（1）求双曲线 C 的标准方程及渐近线方程；（2）若点 P 为双曲
7、线 C 右支上一点，射线1PF，2PF分别交双曲线 C 于点 A，B，试探究1212PFPFAFBF是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由 22（本小题 12 分）已知()sinf xx=，()g xxm=，mR（1）求曲线()yf x=在点3,32处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）若()()()h xf xg x=，,2x+，设123,nx xxx（其中1nnxx+，*nN）为()h x的极值点，若()()120h xh x+=，求 m 的值 20232023 届高三综合测试（二）届高三综合测试（二）数学参考答案与评分标准数学参考答案与评分标准 评分说明评分说明:1.本
8、解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.只给整数分数,选择题不给中间分。一、单项选择题一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D D B A C 1.【解析】化简得1
9、,1,2,zi zi z=+=选 B.2.【解析】依题意132xx，即312x，选 B.3.【解析】13ECEBBCABAD=+=+,所以43u+=，选 C.4.【解析】按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，令，有一个，所以有,选 D.5.【解析】设棱台的上底面矩形边长分别为ba，则下底面矩形边长分别为ba 22，则 棱台的体积为：63)44(331=+=abababbaV，所以9b=a，棱台的上底面的周长为,124)2=+abba（当3=ba时，上底面的周长最小值为22221(0)xyabba+=yc=2bxa=2110244acba+=2211022acaca+=22110ac
10、a=45cea=12，选 D.6.【解析】由图可知，1521433T=，所以4T=，2=；一条对称轴为23x=，所 以2232k+=+，因为2，所以6=；故()3sin26f xx=+，所以()3sin 23g xx=+.所以()g x的图象的最小正周期为T=，A 正确；因为02x，所以42333x+，B 错误；对于 C:令2+()22123kxkxkZ+=+，所以 C 正确；对于 D：令2()326kxkxkZ+=，所以 D 正确.故选 B.7.【解析】由方程5ln0 xx+=和50 xxe+=，可得 ln5xx=和5xex=，因为方程的根分别是，且lnyx=与xye=互为反函数，所以分别与
11、 lnyx=和xye=的交点的横坐标为，故有5yxyx=，解得5252xy=，所以5=-22+，的单调递减区间是，故选 A.8.【解析】当时，则，；当时，则，；当时，则，；当时，则，；,5yx=,222525()()5()24f xxxxxx=+=+=+()f x5(,212n 0.51.5n()1fn=()11fn=36n1.52.5n()2fn=()112fn=712n2.53.5n()3fn=()113fn=1320n3.54.5n()4fn=()114fn=当时，此时，包含，共个整数，所以将分组为，第组有个数，且每一组中所有数之和为，)100(1)99(1)90(1)5(1)4(1)3
12、(1)2(1)1(1ffffffff+=41414141414141413131313131312121212111 11111111 2468101218101923456910=+=，故选 C.二、多项选择题多项选择题：本题共 4 小题，全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分.题号 9 10 11 12 答案 AD ACD BC BCD 9.【解析】对于 A,曲线 C 表示双曲线，224,4ab=24(1)c=+，A 正确;对于 B,曲线 C 表示椭圆，224(),4ab=，24(1)c=，B 不对;对于 C,1=时，曲线 C 表示圆224xy+=，C 不对;对于 D
13、,曲线 C 表示椭圆,224,4ab=,24(1)c=+,D 正确.10.【解析】对于 A,由二项分布的期望公式，1()3E Xn=，由期望的运算性质，(31)3()116EXE Xn+=+=+=，则 n=5，所以 A 正确;对于 B,由正态分布曲线的性质可知，(4)1 0.70.3P X=，根据对称性，(2)0.3P X =，于是(21)0.50.30.2PX=，B 错误;对于 C,因为()()0,()0,(|)()()()()()P ABP AP BP B AP BP ABP A P BP A=()212122kknk+N()11kfn=221144kknkk+21kk+22kk+2kk+
14、2k()1fn()1,11 1 1 1,2 2 2 21 1 1 1 1 1,3 3 3 3 3 31 11,n nnn2n122nn=所以()(|)()()P ABP A BP AP B=，所以 C 正确;对于 D,因为()12P A=，()14P B A=，所以()12P A=，()34P B A=，又因为()23P B A=，由全概率公式，可得121317()()(|)()(|)232424P BP AP B AP AP B A=+=+=,故选：ACD.11.【解析】对于 A,由正方体性质得：平面/BCC B平面ADD A，平面BCC B平面EMFNMF=，平面ADD A平面EMFNEN
15、=，故/MF EN，同理得/ME NF，又EFMN，所以四边形MENF为菱形，故 A 不正确；对于 B,连接BD，BD，MN由题易得EFBD，EFBB，BDBBB=，所以EF 平面BDDB，平面EMFN平面DDBB，故 B 正确；对于 C 选项，四棱锥AMENF的体积,1112123346MAEFNAEFAEFVVVDB S=+=，故 C 正确；对于 D 选项，由于四边形MENF是菱形，所以周长222244442222+=+=+=MNMNEFMNl，所以当点M，N分别为BB，DD的中点时，四边形MENF的周长最小，此时2MNEF=，即周长的最小值为 4,故 D 不正确故选：BC 12.【解析】
16、由()()4f xf x+=，所以()()()()()()4431F xf xf xf xf xF x+=+=+=，所以()yF x=是以 4 为周期的周期函数，又(0)(0)(1)10Fff=+=，所以()yF x=不是是奇函数，A 错误.可求得23,211,10()21,011,12xxxyF xxxx =，所以函数()yF x=的最大值为 1，B 正确.当()2022,2023x时，()20242,1x，所以()()202424045F xF xx=+，单调递减，C 正确.因为()()xFxF=1，()F x关于12x=成轴对称，因为()()xFxF=1，()F x 关于1,02成中心对
17、称，D 正确.选 BCD.三、填空题填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.21 14.552 15.34 16.22(3)(2)16xy+=（2 2 分）分）,2,9 2（3 3 分）分）13.【解析】所求概率 32324412A APA=14.【解析】由已知可得，tan2=，再由同角关系可得，2 5sin5=，所以 2 5sin()5=15.【解析】设圆锥底面半径为 R，母线长为 L，则=3222LRRL解 得.6L36R=，,易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中3626=BCACAB，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆的圆心为 O
18、，由于334=AM，故32433436221=ABCS，设内切圆半径为 r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS=+r212r21+=BCAB,解得：33r=，其表面积：223444()33Sr=.16.【解析】：过抛物线2:4C yx=的焦点(1,0)F且斜率为1的直线为1yx=+，由241yxyx=+消 去x，得2610 xx+=，所 以AB的 中 点 为(3,2)D且128ABxxp=+=，所 以 以 线段AB为 直 径的 圆 的 半径 为4r=，方 程为22(3)(2)16xy+=，对圆D内任意一点M，必可作互相垂直的两直线与相交，故存在圆D上两点,P Q，使90PMQ=；对圆D外任意
19、一点M，,P Q是圆D上两点，当,MP MQ与 圆D相 切 时，PMQ最 大，此 时DPMQ为 矩 形，24 2DMr=，所以若以线段AB为直径的圆上存在两点,P Q，在圆22:()1Txay+=上存在一点M，使得90PMQ=，等价于以D为圆心以22 2DMr=为半径的圆与圆222:(2)(7)(0)Txya a+=有公共点，所以224 2(23)(72)4 2aDTa=+，解得29 2a，所以填 2,9 2.四、四、解答题解答题：本题共 6 小题，共 70 分 17.（10 分）解：（1）令 na是等比数列，设公比为，时，有当qaaan11211=+=1 分,11211+=+=+nnnnSa
20、San，时，有当2 分 112nnnnnaaaaa+=相减得:，有，,2=q所以有 3 分 4 分 q.2,111=nnaa故有代入解得（2）由（1）知：()()nbnnn+=121 5 分 122222212122+=+=nbnbnnnn，7 分 141122+=+nnnbb 8 分 n n10 分 18.（12 分）证明：（1）连接1CB交1BC于点F，连接EF,则F是CB1的中点 1 分 由于FE、分别是1,AC BC的中点，所以1/EFAB2 分 由于111,ABBEC EFBEC面面，所以11/ABBEC面 4 分（2）由点1B在底面上的射影为点C,所以ABCCB平面1 5分 在AB
21、C中5,2,1=ACBCAB BCAB 过B作CB1的平行线为 Z 轴易知,AB CB Z两两垂直，如图以B为原点，分别以,AB CB Z 所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系6 分)0,1,21(220)0,2,0()0,0,1(),0,0,0(1EBCAB），（，BCCB=11，得），（2401C 7 分），（），（232101211=ECAE)0,1,21(=BE，)2,4,0(1=BC 设平面EBC1的法向量），（zyxm=()()()()1212342121 4437(41)nnnnSbbbbbbn+=+()()()()1212342121 4437(41)nnnnSbbbb
22、bbn+=+21 441(21)21 43nnnnnn=+=+0240211=+=+=zymBCyxmBE )2,1,2(=m8 分 设平面11AAEC的法向量为),(zyxn=023210211=+=+=zyxnECyxnAE )1,1,2(=n 9 分 设平面1BEC与平面11AAEC所成角为 186691 cos=nmnm11 分 183186311sin2=所以，平面1BEC与平面11AAEC所成角的正弦值为1831812 分 19.（12 分）解：（1）在APB中，23=PBPA，2AB=，由余弦定理得2223cos22ABPBPAPBAAB PB+=36 2 分 又2=ABC 6s
23、in3PBC=3 分 11631sin222322PBCSPBBCPBC=136122232=5 分（2）法 1：设PAB=，则(0,)4，在APB中，因为34APB=，所以344PBA=，6 分 由正弦定理，得sinsinPBABPABAPB=，从而2sinPB=，7 分 在CPB中，()244PBC=+，由余弦定理得：2222cos()4PCPBBCPB BC=+8 分224sin22 2sin2cos()4=+=22cos224sin(cossin)=+62(2cos2sin2)=+62 5sin(2)=+（其中tan2,(0,)2=），10 分 因为(0,)4，所以2(,)2+，11
24、分 所以当22+=时，222min62 5(5)2 151PC=+，从而，min51PC=。12 分（2）法 2：设PBA=，在APB中，因为34APB=，所以 344PAB=，则(0,)4，6 分 由正弦定理，得sinsinPAABPBAAPB=，从而2sinPA=，7 分 在PAC中，因为4CAB=，所以PAC=，8 分 由余弦定理得2222cosPCPAACPA AC=+224sin22 2sin2cos=+=22cos244sin2=+62(cos22sin2)=+62 5sin(2)=+（其中1tan,(0,)22=）10 分 因为(0,)4，所以2(,)2+，11 分 所以当22+
25、=时，222min62 5(5)2 151PC=+，从而min51PC=.12 分 法 3：利用定角定弦模型中的隐圆处理亦可给分。20.（12 分）解：（1）因为1242516yCC=，所以114 31(1)6y y=1 分 所以111(1)4 3 69 89y yy=2 分 即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生 4 位，女生5位 则随机变量X的可能取值为：0,1,2 3 分 且X服从超几何分布，其中9,4,2NMn=25295(0)18P XCC=，1154295(1)9P XC CC=，24293(2)18P XCC=5 分 即X的分布列为 X 0 1 2 P 518 59 31
26、8 数学期望()5538012.189189E X=+=7 分（或48()2.99ME xnN=）（2）6621154,9,()64iiiixxxx=8 分 由于6611662211()()()()168 1717()()iiiiiiiiiixx yyxx yyrxxyy=所以 61()()16 8iiixx yy=所以 b6121()()16 8264()iiiniixx yyrxx=9 分 因为26666622222111113463,()26628923iiiiiiiiiiyyyyyyyyyy=+=10 分 所以232 95aybx=11 分 所以25yx=+，当15x=时，2 1553
27、5y=+=所以可以估计，昼夜温差为15 C。时，该校新增患感冒的学生人数35人12 分 21.（12 分）解：（1）因为OMN为正三角形，由对称性知130MOF=，1 分 又因为22OMcab=+，所以11122MFMOc=，13322cOFMO=，2 分 不妨设3(,)22c cM，因为MC，所以得222342ccb=，2222)(38bcb=，2222)(2)(38bbb=+，424043bb=，222)(0)(23bb+=，所以22b=，3 分 所以双曲线C的标准方程为22122xy=.4 分 渐近线方程为xy=.5 分 法 2：因为OMN为正三角形，由对称性知130MOF=，1 分 又
28、因为22OMcab=+，所以3(,)22cMc，2 分 由双曲线定义得 222221332()(0)()(0)2222ccaMFMFcccc=+(2323)c=+所以22224(2323)2acc=+=因为2a=.3 分 所以24c=，2222bca=，所以双曲线C的标准方程为22122xy=.4 分 渐近线方程为xy=.5 分（2）由（1）可得1(2,0)F，2(2,0)F.当点2PFx轴时，由对称性不妨设点()2,2P，()2,2B，12:(2)22PFyx=+，联立方程组：222(2)42yxxy=+=消x得：278 220yy+=，27Ay=，所以107Ax=，所以117PAPFyAF
29、y=，221PBPFyBFy=，所以12126PFPFAFBF=.6 分 当点2PF不垂直x轴时，由对称性不妨设()000,(0)P xyy，()11,A x y，()22,B xy，直线00:(2)2yPA yxx=+，联立方程组：0022(2)2122yyxxxy=+=消去x得：22002(2)2xyyy+=，.7 分 因为22002xy=，所以200200464(2)20 xxyyyy+=，.8 分 由韦达定理：2010023yy yx=+所以010023yyx=+，.9 分 同理，020023yyx=，.10 分 所以1212PFPFAFBF0000012121211()yyyyyyy
30、yyyy=+000002323()6xxyyy+=所以1212PFPFAFBF为定值，且定值为6.12 分 22.（12 分）解：（1）.1 分 以点为切点的切线方程为2 分 易知，切线与坐标轴交点的坐标分别为，.3 分 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.4 分（2）()=sinf xx()cosfxx=1()cos332kf=3,3231()223yx=(3,0)33(0,)262131S3(3)232643=()()()()sinh xf xg xxmx=当时，.5 分 由函数在区间上递增，且值域为，故存在唯一，使得.6 分 此时当时，单调递减；当时，单调递增，因此.7 分 同理，存在
31、唯一，使得 此时当时，单调递增；当时，单调递减，因此.8 分 由 同理：.9 分 由，整理得：.10 分 又，故，则有 由，故或.11 分 又，当时，不满足，舍去.所以，即，则.综上所述，.12 分()()sincosh xxxmx=+22x()()costanh xxxxm=+tanyxx=+,2 2R0,2 2x 00tanxxm+=02xx()()0,hh xx02xx()()0,hh xx10 xx=0 3,22x 00tanxxm+=02xx()()0,hh xx032xx()()0,hh xx20 xx=()()211111111sin10,tan,coscoscosxh xxmx h xxxx=()222222sin1coscoscosxh xxxx=()()120h xh x+=()12121coscos10cos cosxxxx+=123222xx12cos cos1xx()122coscoscosxxx=222x12xx=()12xx=1122tantanmxxxx=+=+12xx=()12xx=12xx+=1122tantan22xxxxm+=2m=
