1、5 月三校联考数学第 1 页 共 2 页 2023 年高三下学期 5 月三校联考 高三数学试题 高三数学试题 考试时间：2023年5月3日下午300-5:00 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数2i()2iazaR是纯虚数，则a（）A2 B2 C1 D1 2已知aR，若集合1,1,0,1 MaN，则“0a”是“MN”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不
2、充分也不必要条件 3已知实数 a，b 满足lglglg2abab，则2ab的最小值是（）A5 B9 C13 D18 4设,a b是两个单位向量，若ab在b上的投影向量为34b，则cos,a b（）A34B14 C14D345若6260126(21)xaa xa xa x，则246aaa（）A366 B365 C364 D363 6血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者 A 给药 3 小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过 2 小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的
3、1.024%时，给药时间为（）A11 小时 B13 小时 C17 小时 D19 小时 7关于函数()sin(2)f xAx，有下列四个命题：甲：6是()f x的一个极小值点；乙：3是()f x的一个极大值点；丙：()f x在275,5单调递增；丁：函数()yf x的图象向左平移3个单位后所得图象关于y轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（）A.甲B.乙 C.丙 D.丁8设nN，函数 1xfxxe，21fxfx，321,nnfxfxfxfx，曲线 nyfx的最低点为nP，12nnnPP P的面积为nS，则（）A nS是递增数列 B nS是递减数列 C21nS是递增数列D nS是摆动数列二、多
4、项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，有多项符分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了 30 名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有（）党史学习时间（小时）7 8 9 10 11 党员人数 4 8 7 6 5 A众数是 8 B第 40 百分
5、位数为 8 C平均数是 9 D上四分位数是 10 10已知 P 是圆22:+4O xy 上任意一点，定点 A 在 x 轴上，线段 AP 的垂直平分线与直线 OP 相交于点 Q，当 P 在圆 O 上运动时，Q 的轨迹可以是（）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 11阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为122131112kkkQPQQ PQQPQQ PQ，其中1,2,3iQ ik k为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面12Q PQ，平面23Q PQ，平面1kkQPQ和平面1kQ PQ为多面体M的所有以P为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱1111ABCDA
6、BC D中，底面ABCD为菱形，1AAAB，则下列结论正确的是（）A直四棱柱1111ABCDABC D在其各顶点处的离散曲率都相等 B若ACBD，则直四棱柱1111ABCDABC D在顶点A处的离散曲率为14C若四面体1A ABD在点1A处的离散曲率为712，则1AC 平面1ABDD若直四棱柱1111ABCDABC D在顶点A处的离散曲率为13，则1BC与平面1ACC所成角的 正弦值为2412已知双曲线22:13yE x 的左右焦点分别为1F、2F，过点1,2C斜率为k的直线l与双曲线E的左右两支分别交于P、Q两点，下列命题正确的有（）A3,3k B当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为32
7、C若(1,0)A，则222QF AQAF D2122PFPFPO 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.若sin 2cos236，则tan_ 14.,P x y为椭圆22:13xCy上任意一点，且点P到直线1l：240 xy和2l：20 xym的距离之和与点P的位置无关，则m的取值范围是_ 5 月三校联考数学第 2 页 共 2 页 15.在四面体ABCD中，1AB，2CD，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的角为060，则四面体ABCD的体积为_ 16.某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没
8、有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为12，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为12p，若上局未获胜，则该局获胜的概率为12p，且一方第一局、第二局连胜的概率为516则p _；打完 4 场结束比赛的概率为_ 四、解答题：（本大题共四、解答题：（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知各项均为正数的数列 na满足11a，2121nnaSnnN，其中nS是数列 na的前n项和（1）求数列 na的通项公式；（2）数列
9、nb满足sin2nnbna，求 nb的前100项和100T 18（本小题满分 12 分）某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的 关系，设 A=“患有地方性疾病”，B=“卫生习惯良好”.据临床统计显示，3()4P A B，12()13P B A，该地人群中卫生习惯良好的概率为45.（1）求()P A和()P A B；（2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为m mN的样本，利用独立性检验，计算得22.640.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的k kN倍，使得能有 99.9%的把握肯定（1）中的判
10、断，试确定k的最小值.附表及公式：22()()()()()n adbcab cd ac bd，nabcd 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19（本小题满分 12 分）在ABC中，角ABC、所对的边分别为abc、，且3coscoscoscos cosbcaaBCABC（1）求tantanBC；（2）求tan A的最大值 20（本小题满分 12 分）在三棱柱111ABCABC中，四边形11AABB是菱形，ABAC，平面11AAB B 平面ABC，平面111ABC与平面1ABC的交线为l（1）证明：11ABBC
11、；（2）已知1060ABB，2ABAC，l上是否存在点P，使1AB与平面ABP所成角的正弦值为1010？若存在，求1B P的长度；若不存在，说明理由 21（本小题满分 12 分）已知抛物线2:2xpy过点2,2M，O为坐标原点（1）直线 l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，若弦 AB的长等于 6，求OAB的面积；（2）抛物线上是否存在异于 O，M的点 N，使得经过 O，M，N 三点的圆 C和抛物线在点 N处有相同的切线，若存在，求出点 N的坐标，若不存在，请说明理由 22（本小题满分 12 分）设函数 2sin1xf xeaxaxa x（1）当0a 时，讨论 f x的单调性；（
12、2）若函数 f x在 R 上单调递增，求实数a的取值 5 月三校联考数学第 1 页 共 2 页 2023 年高三下学期 5 月三校联考 高三数学参考答案 一、一、单项单项选择题：选择题：1-4 DABC 5-8 CBCB 二二、多项多项选择题选择题：9ACD 10ABC 11BCD 12BC 三、填空题三、填空题 13.23 14.13m 15.32 16.14；165512 四四解答题解答题 17解：解：（1）当1n 时，22a，当2n时，递推得212nnaSn，22121nnnaaa，2221+21=1nnnnaaaa，因为数列 na各项均为正数，所以11nnaa，又211aa，数列 na
13、为等差数列，故11naann.5 分（2）由sin2nbnn得，434343 sin432kbkkk，424242sin02kbkk，414141 sin412kkkkb，40kb；令43424142kkkkkcbbbb，则 1001231001225+=25-2=-50Tbbbbccc10 分18解：解：（1）11(),()413P A BP B A，11113()()()()(),()451320P A BP BP B AP AP AP A，720P A，4 分 而()()()()()P AP B P A BP B P A B 74131205544A BPA BP，8 分（2）不够良好
14、良好 总计 患有该病 ka kb k ab 未患该病 kc kd k cd 总计 k ac k bd k abcd 2222k abcdk adk bck abk cdk ack bd 2()2.6410.8284.10k abcdadbckkabcdacbd，故min5k.12 分 19解：解：（1）3coscoscoscos cosbcaaBCABC，coscoscoscoscos3cosbCcBAaBCA，1 分 由正弦定理得sin cossin coscossincoscos3cosBCCBAABCA，sincossincoscos3cosBCAABCA，3 分 0A，则sin0A，故
15、coscos2cos0BCA，4 分 即coscos2cos0BCBC，2sinsincoscosBCBC，即1tantan2BC 6 分（2）由1tantan2BC 知，,B C均为锐角，故tantantantan2 tantan4 tantan2 21 tantanBCABCBCBCBC ，当且仅当2tantan2BC时，等号成立 故tan A的最大值为2 212 分 20解：解：（1）因为四边形11AAB B为菱形，所以11ABAB，平面11AAB B 平面ABC，平面11AAB B平面,ABCAB AC平面,ABC ACAB，所以AC 平面11AAB B，2 分 又1AB 平面11AA
16、B B，所以1ACAB，又1ABACA，所以1AB 平面1B AC，又1BC 平面1B AC，所以11ABBC.5 分（2）l 上存在点 P，使 A1B 与平面 ABP 所成角的正弦值为1010，且12BP 理由如下：取11AB中点 D，连接AD，因为160ABB，所以1160AAB，又11AAAB，所以11AAB为等边三角形，所以11ADAB，因为1 1/ABAB，所以ADAB，又平面11AAB B 平面ABC，平面11AAB B平面,ABCAB AD平面11AAB B，所以AD 平面ABC，6 分 以 A 为原点，以,AB AC AD方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标
17、系Axyz，11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,3),(1,0,3)ABCAB，1(0,2,0),(2,0,0),(1,0,3)ACABAB 因为11/,AC AC AC 平面11111,ABC AC 平面111ABC，所以/AC平面111ABC，又AC 平面1ABC，平面111ABC平面1ABCl，所以/AC l，假设 l 上存在一点 P，使1AB与平面ABP所成角为30，设1RBPAC，8 分 则1(0,2,0)BP，所以11(1,2,3)APABBP，设(,)nx y z为平面ABP的一个法向量，5 月三校联考数学第 2 页 共 2 页 则00n ABn AP，
18、即20230 xxyz，令3y ，则2z，可取(0,3,2)n，10 分又1(3,0,3)AB，所以1121|2 3|10sin|cos,102 334|n ABn ABnAB，即223410，解得212，此时12BPAC；因此 l 上存在点 P，使 A1B与平面 ABP 所成角的正弦值为1010，且12BP 12 分 21解：解：（1）抛物线2:2xpy过点2,2M，1p，抛物线1C方程22xy1 分 设直线1:2l ykx，设11,A x y，22,B xy由2212kxxyy，得2210 xkx，直线 l 与抛物线有两个交点 A，B，所以2440k，得122xxk，1 21x x ，3
19、分 于是22212121 2114ABkxxkxxx x2221 44216kkk，解得2k ，直线 l 的方程为1202xy，原点 O 到直线 l 距离36d，OAB的面积为3136622S 5 分（2）已知 O，M 的坐标分别为0,0，2,2，抛物线方程22xy，假设抛物线上存在点2,2tN t（0t 且2t），使得经过 O，M，N 三点的圆 C 和抛物线在点 N 处有相同的切线.设经过 O，M，N 三点的圆的方程为220 xyDxEyF，则24202284244FDEFtDt EFtt ，整理得322440tEtE，7 分 22xy，两边同时对x求导得，yx，抛物线在点2,2tN t处的
20、切线的斜率为t，经过 O，M，N 三点的圆 C 在点2,2tN t处的切线斜率为t，8 分 0t，直线 NC 的斜率存在.圆心的坐标为,22DEC，22212tEtDt ，即320tEtD，即3240tEtE，10 分 由消去 E，得324tE ，又0t，得32340tt，即 2210tt.2t，1t ，故满足题设的点 N 存在，其坐标为11,212 分 22解：解：（1）cos211cos21xxfxeaxaxaeaxx，1 分 令 cos21xxx，则 sin20 xx，x在R上单调递减，3 分又 00，0a，所以当0 x 时，0 x，此时 0fx；当0 x 时，0 x，此时 0fx；故
21、f x在,0上单调递减，在0,上单调递增5 分（2）由题意知，cos210 xfxeaxaxa对xR 恒成立 令 cos21xg xeaxaxa，又 00g，则 0g xg恒成立；0 x 不是函数 g x的区间端点，故0 x 是 g x的最小值点，同时也是极小值点则必有 00g，由 sin2xg xeaxa，01 20ga，则12a 7 分 下面证明：当12a 时，13cos022xfxexx对xR 恒成立 即证31cos221xxxe9 分令 31cos22xxxh xe，则 111sincos222xxxxh xe，令 111sincos222t xxxx，则 112cossin1cos102224t xxxx ，t x在R上单调递减，又 00t，h x在在,0上单调递增，在0,上单调递减；01h xh，得证！故12a 12 分
